高考数学总复习《抛物线》专项测试卷有答案

第第页高考数学总复习《抛物线》专项测试卷有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．(2024·山西临汾第一次适应性训练)已知抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则C的方程为()A．x2＝6y B．x2＝12yC．x2＝18y D．x2＝36y2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，则x0＝()A．1 B．2C．4 D．83．抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准线l的距离为()A．6 B．8C．4 D．14．(2024·山东滨州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－eq\r(3)，则△PAF的面积为()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．8 D．8eq\r(3)5．(2024·湖北四地七校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))在抛物线C上，若|PF|＝4，则以线段PF为直径的圆的方程为()A．x2＋y2－4x－4y＋2＝0B．x2＋y2－2x－2y＋4＝0C．x2＋y2－4x－4y＋4＝0D．x2＋y2－2x－2y＋2＝06．(2024·湖南长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝()A．2 B．4C．6 D．87．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则d＋|PQ|的最小值为()A．5 B．eq\r(30)＋1C．eq\r(30)－1 D．48．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值为()A．1 B．2C．3 D．49．(2024·山东日照模拟)如图，PQ为经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任一弦，抛物线的准线为l，PM垂直l于M，QN垂直l于N，PQ绕l旋转一周所得旋转面的面积为S1，以MN为直径的球的面积为S2，则()A．S1>S2 B．S1<S2C．S1≥S2 D．S1≤S2二、多项选择题10．(2024·河北衡水联考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是()A．焦点F到抛物线准线的距离为2B．若|PF|＝2，则点P的坐标为(1,2)C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2D．若点M的坐标为(1,4)，则|PM|＋|PF|的最小值为411．(2024·辽宁大连二十四中、八中、育明联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，焦点到准线的距离为2，Q为C上的一个动点，则()A．C的焦点坐标为(1,0)B．若M(3,5)，则△QMF周长的最小值为11C．若M(0,4)，则|QM|的最小值为2eq\r(,3)D．在x轴上不存在点E，使得∠QEF为钝角三、填空题与解答题12．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．13．(2024·广东茂名模拟)以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________.14．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．高分推荐题15．(2024·重庆巴蜀中学月考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作l的垂线，垂足为Q.若M(3,0)，N(－1，0)，PF与MQ相交于点T，且eq\o(TN,\s\up6(→))＋eq\o(TP,\s\up6(→))＝eq\o(MT,\s\up6(→))，则△TMF的面积为________．解析版一、单项选择题1．(2024·山西临汾第一次适应性训练)已知抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则C的方程为()A．x2＝6y B．x2＝12yC．x2＝18y D．x2＝36y解析：由题可知，抛物线C开口向上，设C的方程为x2＝2py(p>0)，则抛物线C的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，准线方程为y＝－eq\f(p,2)，所以eq\f(\f(p,2)＋－9,2)＝－eq\f(p,2)，解得p＝6，所以C的方程为x2＝12y.故选B．答案：B2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，则x0＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：由题意知抛物线的准线方程为x＝－eq\f(1,4).因为|AF|＝eq\f(5,4)x0，所以根据抛物线的定义可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1.故选A．答案：A3．抛物线C：x2＝8y的焦点为F，在C上有一点P，|PF|＝8，PF的中点M到C的准线l的距离为()A．6 B．8C．4 D．1解析：过P作PD⊥l于D(图略)，由抛物线的定义可知|PF|＝|PD|＝8，设抛物线的准线l与y轴交于点A，则|FA|＝4，故PF的中点M到C的准线l的距离为eq\f(1,2)(|FA|＋|PD|)＝6.故选A．答案：A4．(2024·山东滨州模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率为－eq\r(3)，则△PAF的面积为()A．2eq\r(3) B．4eq\r(3)C．8 D．8eq\r(3)解析：由题意，抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，如图，设抛物线y2＝4x的准线与x轴的交点为D，则|DF|＝2.又直线AF的斜率为－eq\r(3)，所以∠AFD＝60°，因此|AF|＝2|DF|＝4，∠FAP＝60°.由抛物线的定义可得|PA|＝|PF|，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为eq\f(1,2)×4×4×sin60°＝4eq\r(3).故选B．答案：B5．(2024·湖北四地七校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))在抛物线C上，若|PF|＝4，则以线段PF为直径的圆的方程为()A．x2＋y2－4x－4y＋2＝0B．x2＋y2－2x－2y＋4＝0C．x2＋y2－4x－4y＋4＝0D．x2＋y2－2x－2y＋2＝0解析：因为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，a))在抛物线C上，所以a2＝2p×eq\f(a,2)，得a＝p，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以PF⊥x轴，|PF|＝p＝4，则以线段PF为直径的圆的圆心坐标为(2,2)，半径为2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4x－4y＋4＝0.答案：C6．(2024·湖南长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p＝()A．2 B．4C．6 D．8解析：依题意得，△OFM的外接圆半径为6，△OFM的外接圆圆心应位于线段OF的垂直平分线x＝eq\f(p,4)上，圆心到准线x＝－eq\f(p,2)的距离等于6，即有eq\f(p,4)＋eq\f(p,2)＝6，解得p＝8.故选D．答案：D7．已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，点P到y轴的距离为d，Q(－3,3)，则d＋|PQ|的最小值为()A．5 B．eq\r(30)＋1C．eq\r(30)－1 D．4解析：∵抛物线的准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)，∴P到直线x＝－1的距离等于|PF|，∴P到y轴的距离d＝|PF|－1，∴d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1.又点Q在抛物线外部，∴当F，P，Q三点共线时，|PF|＋|PQ|取得最小值|QF|.∵Q(－3，3)，F(1，0)，∴|QF|＝5，∴d＋|PQ|的最小值为5－1＝4.故选D．答案：D8．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意可知，点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又F为△ABC的重心，故eq\f(xA＋xB＋xC,3)＝eq\f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq\f(3,2).又由抛物线的定义可知|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.故选C．答案：C9．(2024·山东日照模拟)如图，PQ为经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任一弦，抛物线的准线为l，PM垂直l于M，QN垂直l于N，PQ绕l旋转一周所得旋转面的面积为S1，以MN为直径的球的面积为S2，则()A．S1>S2 B．S1<S2C．S1≥S2 D．S1≤S2解析：设PQ与x轴的夹角为θ，令|PF|＝m，|QF|＝n，则|PM|＝m，|QN|＝n，则S1＝π(|PM|＋|QN|)·|PQ|＝π(m＋n)2，S2＝π|MN|2＝π(m＋n)2sin2θ，所以S1≥S2，当且仅当θ＝90°时等号成立，故选C．答案：C二、多项选择题10．(2024·河北衡水联考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是()A．焦点F到抛物线准线的距离为2B．若|PF|＝2，则点P的坐标为(1,2)C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2D．若点M的坐标为(1,4)，则|PM|＋|PF|的最小值为4解析：由抛物线的解析式知p＝2，所以抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，所以焦点F到抛物线准线的距离为2，故A正确；设抛物线上点P(x，y)，则|PF|＝x＋1＝2，解得x＝1，故y＝±2，则点P的坐标为(1,2)或(1，－2)，故B错误；过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2p＝4，故C错误；如图，当M，P，F三点共线时，|PM|＋|PF|取得最小值，即|MF|＝eq\r(,1－12＋42)＝4，故D正确．故选AD．答案：AD11．(2024·辽宁大连二十四中、八中、育明联考)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，焦点到准线的距离为2，Q为C上的一个动点，则()A．C的焦点坐标为(1,0)B．若M(3,5)，则△QMF周长的最小值为11C．若M(0,4)，则|QM|的最小值为2eq\r(,3)D．在x轴上不存在点E，使得∠QEF为钝角解析：选项A，抛物线C：x2＝2py(p>0)，焦点到准线的距离为p＝2，则C：x2＝4y，焦点F(0,1)，故A错误．选项B，∵M(3,5)，F(0,1)，∴|MF|＝eq\r(,32＋42)＝5.设点Q到准线y＝－1的距离为d，点M到准线y＝－1的距离为d′＝5－(－1)＝6，则△QMF的周长为|MF|＋|FQ|＋|QM|＝5＋d＋|QM|≥5＋d′＝5＋6＝11，当且仅当QM⊥x轴时等号成立，故B正确．选项C，设Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x\o\al(2,0),4)))，M(0,4)，则|QM|＝eq\r(,x\o\al(2,0)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,0),4)－4))2)＝eq\f(1,4)eq\r(,x\o\al(4,0)－16x\o\al(2,0)＋256)＝eq\f(1,4)eq\r(,x\o\al(2,0)－82＋192)，当xeq\o\al(2,0)＝8时，|QM|取得最小值2eq\r(,3)，故C正确．选项D，设E(t,0)，∵Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x\o\al(2,0),4)))，F(0,1)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－t,1)，eq\o(EQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－t，\f(x\o\al(2,0),4)))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EQ,\s\up6(→))＝(－t,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－t，\f(x\o\al(2,0),4)))＝－tx0＋t2＋eq\f(x\o\al(2,0),4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(x0,2)))2≥0，∴cos∠QEF＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(EQ,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(EQ,\s\up6(→))|)≥0，则∠QEF不可能为钝角，故D正确．故选BCD．答案：BCD三、填空题与解答题12．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝eq\r(,x－22＋y2)＝eq\r(,x－22＋x)＝eq\r(,x2－3x＋4)＝eq\r(,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).所以当x＝eq\f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq\f(\r(,7),2).答案：eq\f(\r(,7),2)13．(2024·广东茂名模拟)以抛物线C：y2＝4x的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知|AB|＝8，则|DE|＝________.解析：由抛物线方程知eq\f(p,2)＝1，∴F(1,0)．不妨设点A在第一象限，如图所示，由|AB|＝8，y2＝4x得A(4,4)，∴圆的半径为r＝eq\r(,32＋42)＝5，∴|DE|＝2eq\r(,r2－p2)＝2eq\r(,25－4)＝2eq\r(,21).答案：2eq\r(,21)14．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上一点，横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)由(1)知，点A的坐标是(4,4)．由题意，得B(0,4)，M(0,2)，又∵F(1,0)，∴kFA＝eq\f(4,3).∵MN⊥FA，∴kMN＝－eq\f(3,4)，∴直线FA的方程为y＝eq\f(4,3)(x－1)①，直线MN的方程为y＝－eq\f(3,4)x＋2②，由①②联立，得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，∴点N的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\