2024年沪教版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教版高二数学下册月考试卷695考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、某城市的街道如图；某人要从A地前往B地，则路程最短的走法有（）

A.8种。

B.10种。

C.12种。

D.32种。

2、设椭圆+=1与双曲线-y2=1有公共焦点为F1，F2，P是两条曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2的值等于（）

A.

B.

C.

D.

3、【题文】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是（）A.B.C.D.4、【题文】不等式的解集为（）A.B.C.D.或5、【题文】函数在一个周期内的三个零点可能是()A.B.C.D.6、【题文】正项的等差数列中，数列是等比数列，且则b6b8的值为。

A．B．D．7、函数的导数是（）A.B.﹣sinxC.D.8、不等式|x+3|-|x-1|≤2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A.（﹣∞，﹣2]B.（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C.[2，+∞）D.a∈R9、已知点P是抛物线y2=4x上一点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x+2y-12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是（）A.5B.4C.D.评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、5个人各拿一只水桶到水龙头旁等待接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟，8分钟，6分钟，10分钟，5分钟，如果要将所有的水桶都装满，则他们等待的总时间最少为____分钟．11、已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={1，2，4}，则CU（A∪B）=____．12、【题文】在中，=____.13、【题文】现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______．14、已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为____．15、用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设____．16、已知向量=（2，3），=（-2，1），则在方向上的投影等于______．17、代数式1+11+11+鈰�

中省略号“

”代表以此方式无限重复，因原式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t

则1+1t=t

则t2鈭�t鈭�1=0

取正值得t=5+12

用类似方法可得6+6+6+=

______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共8分)25、已知数列{an}

的前n

项和为Sn

且满足Sn=2an鈭�n

求数列{an}

的通项公式.

勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．

思路1

先设n

的值为1

根据已知条件，计算出a1=

______，a2=

______，a3=

______．

猜想：an=

______

然后用数学归纳法证明.

证明过程如下：

垄脵

当n=1

时；______，猜想成立。

垄脷

假设n=k(k隆脢N*)

时；猜想成立，即ak=

______．

那么；当n=k+1

时，由已知Sn=2an鈭�n

得Sk+1=

______．

又Sk=2ak鈭�k

两式相减并化简，得ak+1=

______(

用含k

的代数式表示)

．

所以；当n=k+1

时，猜想也成立．

根据垄脵

和垄脷

可知猜想对任何k隆脢N*

都成立．

思路2

先设n

的值为1

根据已知条件，计算出a1=

______．

由已知Sn=2an鈭�n

写出Sn+1

与an+1

的关系式：Sn+1=

______；

两式相减；得an+1

与an

的递推关系式：an+1=

______．

整理：an+1+1=

______．

发现：数列{an+1}

是首项为______；公比为______的等比数列．

得出：数列{an+1}

的通项公式an+1=

______，进而得到an=

______．评卷人得分五、综合题(共4题，共28分)26、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为29、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

根据题意；要求从A地到B地路程最短，必须只向下或向右行走即可；

分析可得；需要向下走2次，向右3次，共5次；

从5次中选3次向右；剩下2次向下即可；

则有C53=10种不同的走法；

故选B．

【解析】【答案】根据题意；分析可得要从A地到B地路程最短，需要向下走2次，向右3次，共5次，则从5次中选3次向右，剩下2次向下即可满足路程最短，由组合数公式计算可得答案．

2、B【分析】

由题意知F1（-2，0），F2（2；0）；

解方程组得取P点坐标为（），

cos∠F1PF2==

故选B．

【解析】【答案】先求出公共焦点分别为F1，F2，再联立方程组求出P，由此可以求出cos∠F1PF2=

3、C【分析】【解析】

试题分析：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数的图象，再向右平移个单位长度，可得的图象，故令得到则得图象的一条对称轴是．

考点：函数的图象变换规律、函数的图象的对称轴．【解析】【答案】C4、D【分析】【解析】所以不等式的解集为【解析】【答案】D5、B【分析】【解析】本题考察正弦型函数的图像知识，首先确定周期为4π，由于每隔半个周期2π有一个零点，根据此可排除D选项，然后再依次带入前三个选项中的的第一个角，只有-为零点，故选B【解析】【答案】B6、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D7、C【分析】【解答】解：根据导数的运算法则可得，y′==

故选C

【分析】根据导数的运算法则可得，y′=可求8、C【分析】【解答】解：令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|=

作出图象如图；

∴f（x）≤4；

∵不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a对任意实数x恒成立；

∴2a≥4；得a≥2．

∴实数a的取值范围是[2；+∞）．

故选：C．

【分析】令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|，写出分段函数，求得f（x）的最大值4，由2a≥4求得实数a的取值范围．9、C【分析】解：∵点P到抛物线y2=4x的准线的距离为d1等于P到抛物线y2=4x的焦点的距离|PF|；

则d1+d2的最小值即为F到直线x+2y-12=0的距离．

由抛物线y2=4x得F（1；0）；

∴=．

故选：C．

直接把P到准线的距离转化为P到抛物线焦点的距离；求焦点到直线x+2y-12=0的距离得答案．

本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了数学转化思想方法，是基础题．【解析】【答案】C二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

接水顺序是：4分钟；5分钟、6分钟、8分钟、10分钟．

这样5人打水和等待所用的时间总和最少．

4×5+5×4+6×3+8×2+10；

=20+20+18+16+10；

=84（分钟）；

故答案为：84．

【解析】【答案】要使他们等候时间（等候时间包括接水时间）的总和最少；应该让接水用时少的先接水，即接水顺序是：4分钟；5分钟、6分钟、8分钟、10分钟．把5次等待时间加起来，就是等待所用的最少时间．

11、略

【分析】

A∪B={1；2，4}；

∴CU（A∪B）={3；5}

故答案为：{3；5}．

【解析】【答案】首先求出A∪B，进而求出CU（A∪B）．

12、略

【分析】【解析】解：因为【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】∵以1为首项，－3为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，－27，，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是＝【解析】【答案】14、6【分析】【解答】解：设圆锥N的底面直径为2r，则高为r；

∵圆柱M的底面半径为2；高为6，圆柱M和圆锥N的体积相同；

∴

∴r=2

∴高为r=6；

故答案为：6．

【分析】设圆锥N的底面直径为2r，则高为r，利用圆柱M的底面半径为2，高为6，圆柱M和圆锥N的体积相同，建立方程求出r，即可得出结论．15、三个内角都大于60°【分析】【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤；先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”；

故答案为三个内角都大于60°．

【分析】根据命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，得到答案．16、略

【分析】解：根据投影的定义可得：

在方向上的投影为||cos＜＞==-．

故答案为：-

根据投影的定义，应用公式||cos＜＞=求解．

本题主要考查向量投影的定义，要求熟练应用公式．【解析】-17、略

【分析】解：由已知代数式的求值方法：先换元；再列方程，解方程，求解(

舍去负根)

可得要求的式子．

令6+6+6+=m(m>0)

则两边平方得，6+6+6+6+篓Tm2

即6+m=m2

解得，m=3(鈭�2

舍去)

．

故答案为：3

．

通过已知得到求值方法：先换元；再列方程，解方程，求解(

舍去负根)

再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可．

本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．【解析】3

三、作图题(共7题，共14分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．23、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．24、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共8分)25、略

【分析】本题满分8

分)

解：思路1

隆脽Sn=2an鈭�n

隆脿a1=1(1

分)

由1+a2=2a2鈭�2

得：a2=3(2

分)

同理可得；a3=7(3

分)

猜想：an=2n鈭�1(4

分)

a1=21鈭�1=1(5

分)

ak=2k鈭�1(6

分)

Sk+1=2ak+1鈭�(k+1)(,(7

分)

ak+1=2k+1鈭�1.(8

分)

思路2

a1=1(1

分)

Sn+1=2an+1鈭�(n+1)(2

分)

an+1=2an+1(3

分)

an+1+1=2(an+1)(4

分)

2(5

分)

2(6

分)

an+1=2n(7

分)

an=2n鈭�1.(8

分)

思路1

由Sn=2an鈭�n

可求得a1a2a3

故可猜想：an=2n鈭�1

然后用数学归纳法证明．

思路2

先设n

的值为1

根据已知条件，计算出a1

再由已知Sn=2an鈭�n

写出Sn+1

与an+1

的关系式：Sn+1=2an+1鈭�(n+1)

两式相减，得an+1

与an

的递推关系式：an+1=2an+1

．

继而发现：数列{an+1}

是首项为2

公比为2

的等比数列，于是可得：数列{an+1}

的通项公式，进而得到an

．

本题考查数列递推式的应用，熟练掌握数学归纳法与等比数列的判断及通项公式的应用是解决问题的关键，属于中档题．【解析】1372n鈭�1a1=21鈭�12k鈭�12ak+1鈭�(k+1)2k+1鈭�112an+1鈭�(n+1)2an+12(an+1)222n2n鈭�1

五、综合题(共4题，共28分)26、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB