江苏省2024-2025学年高一上学期数学期末专题复习讲义03：指数与对数部分

2024-2025学年度江苏省高一上学期数学期末专题复习--指数与对数部分一、指数及其运算1、根式的概念及性质（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．（2）性质：①(且)；②当为奇数时，；当为偶数时，2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①；②；③.4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．（2）指数函数的图象和性质二、对数及其运算1．对数的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝eq\f(n,m)logaM.(2)对数的性质①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图象与性质一、单选题1．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若实数，满足，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若，，则下列答案不正确的是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·江苏盐城·期末）我们知道，任何一个正数可以用科学记数法表示成（为正整数），此时，当时，称的位数是.根据以上信息可知的位数是（

）（）A．27 B．28 C．29 D．305．（22-23高一上·江苏南通·期末）设，则（

）A． B．C． D．6．（24-25高一上·江苏南京·期中）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时，当时，是位数，则是（

）位数（参考数据：，）A．14 B．15 C．55 D．567．（22-23高一上·江苏无锡·期末）设，计算机程序中用表示不超过x的最大整数，则称为取整函数．例如；．已知函数，其中，则函数的值域为（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）人类是数据的创造者和使用者，自结绳记事起，它就已慢慢产生，随着计算机和互联网的广泛应用，人类产生创造的数据量呈爆炸式增长，中国已成为全球数据总量最大、数据类型最丰富的国家之一，人类采集、存储和处理数据能力大幅提升，使数据应用渗透到我们生活中的每个角落．目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2024年全球产生的数据量是2023年的（

）倍．A．0.5 B．2.25 C．1.5 D．15二、多选题9．（22-23高一上·福建厦门·期中）已知实数满足，下列选项中正确的是（

）A． B． C． D．10．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，，且，，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．11．（23-24高一上·江苏无锡·期末）若时，不等式恒成立，则实数可取下面哪些值（

）A． B． C． D．三、填空题12．（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知，，则.（用数字作答）13．（23-24高一上·江苏连云港·期末）设，则（用来表示．）14．（24-25高一上·江苏扬州·期中）设为正实数，，，则．四、解答题15．（23-24高一上·江苏南京·期末）（1）已知，求的值；（2）求值：.16．（23-24高一上·江苏常州·期末）（1）计算：；（2）已知，计算的值并证明．17．（24-25高一上·江苏连云港·期中）（1）求值：；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值.18．（24-25高一上·江苏镇江·期中）（1）计算：；（2）因式分解：；（3）已知，，，，求的值.19．（24-25高一上·江苏徐州·期中）我们知道，任何一个正实数都可以表示成．当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如．(1)求，，并写出的表达式（不必写出过程）；(2)若，且取，求以及；(3)已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论．

参考答案：1．B【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解.【详解】由，可得.故选：B.2．A【分析】把指数式转化为对数式，利用对数的运算法则进行计算.【详解】因为，所以，，由换底公式得：，.所以.故选：A3．C【分析】根据题意，，，结合对数性质，基本不等式，指数性质判断四个选项即可.【详解】依题意，，所以，.对于A，，A正确.对于B，，B正确.对于C，，C错误.对于D，，，,所以，D正确.故选：C.4．C【分析】通过求，根据已知估值计算即可求解．【详解】，则的位数是是．故选：C．5．A【分析】根据基本不等式，结合指数函数的单调性、函数单调性的性质进行判断即可.【详解】因为，且，所以，即，因为函数是单调递增函数，所以函数是单调递增函数，所以当时，有，因为，所以有，由，因为函数是单调递减函数，所以函数是单调递减函数，因为，所以，因此，故选：A【点睛】关键点睛：根据等式的形式构造函数，利用指数函数的单调性是解题的关键.6．B【分析】根据对数的运算性质即可求解.【详解】，所以是15位数.故选：B7．B【分析】化简，令，，由二次函数的性质求出函数的值域，根据定义求函数的值域.【详解】因为，令，因为，所以，所以，因为的对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，.所以的值域为.当时，，当时，，当时，，当时，，所以函数的值域为，故选：B.8．C【分析】根据题意数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解.【详解】由题意，，，又，解得，.所以2024年全球产生的数据量是2023年的倍.故选：C.9．BCD【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之间的内在联系即可求得.【详解】因为，所以，对于A选项，由，可得，故A项错误；对于B选项，，故B项正确；对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确；对于D选项，因故D项正确.故选：BCD.10．BD【分析】根据指数幂、对数的运算法则逐项判断即可.【详解】对于A：，故错误；对于B：，正确；对于C：，故错误；对于D：，正确.故选：BD11．BC【分析】由排除法和对数的运算性质，对各个选项一一判断可得正确答案．【详解】当时，时，，不等式不恒成立，故A错误；当时，不等式即为，当，，时，原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故B正确；当时，不等式即为，当，，时，原不等式恒成立；时，原不等式恒成立，故C正确；当时，不等式即为，当时，，，原不等式不恒成立，故D错误．故选：BC.【点睛】关键点点睛：解题的关键点举例解决不等式恒成立问题，以及对数的运算性质的运用．12．45【分析】利用指对数互化和指数幂的运算法则计算即得.【详解】由，可得，又，则.故答案为：45.13．【分析】根据对数的运算性质求解即可.【详解】因为所以，，两式相减可得：，解得：，.故答案为：14．/0.5【分析】根据题意可得，进一步变形为，再利用基本不等式得，从而得，解出的值，代入即可求解.【详解】因为为正实数，，则，即，，故，因为，所以，又，，则由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.综上，，则，解得，则.故答案为：.15．（1）；（2）4【分析】（1）将平方，结合指数幂的运算，即可得答案；（2）根据对数的运算法则，即可求得答案.【详解】（1）由于，则，故，因为，所以.（2）.16．（1）2（2）；证明见解析【分析】（1）结合指数幂的运算性质即可求解；（2）结合指数与对数的转化及对数的换底公式可求，然后结合基本不等式即可求证.【详解】（1）（2）因为，所以，，，因为，，所以，且，所以，即.17．（1），（2）1，（3）【分析】（1）根据指数幂的运算化简求解；（2）将指数式化成对数式得，再根据对数的运算求解；（3）将平方求得，再利用立方和公式化简求解.【详解】（1）．（2）依题意有，所以，所以．（3）因为，设，平方得，即．．18．（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用分数指数幂，及分母有理化与根式的化简可求值；（2）利用十字相乘法可因式分解；（3）由已知可求得，利用立方和因式分解可求值.【详解】（1）（2）；（3