2025届高考数学二轮总复习专题4立体几何专项突破4突破2立体几何中的翻折问题探究性问题课件

突破2立体几何中的翻折问题、探究性问题考点一翻折问题例1(2024浙江金华模拟)如图,在等腰梯形ABCD'中,AB∥CD',AB=BC=2,∠ABC=120°,E,F,G分别为D'C,AE,BC的中点,将△D'AE绕AE翻折至△DAE的位置,H为CD的中点.(1)求证:DF∥平面HGE;(2)当平面DAE垂直于平面ABCD'时,求平面DAE与平面HGE的夹角的余弦值.(1)证明

如图,在等腰梯形ABCD'中,∵AB∥CD',∠ABC=120°,∴∠BAD'=120°,∠AD'E=∠BCD'=60°.连接BD'.∵AB=AD',∠BAD'=120°,∴∠ABD'=∠AD'B=30°.又∠ABC=120°,∴∠D'BC=90°.又∠BCD'=60°,BC=2,∴CD'=4,∴D'E=2.又∠AD'E=60°,∴△AD'E为等边三角形,且BD'为∠AD'E的角平分线,∴BD'与AE的交点即为点F,且D'F⊥AE.∵点E为CD'的中点,点G为BC的中点,∴BF∥EG.连接CF,交EG于点M,连接HM,易证△EMF≌△GMC,∴点M为CF的中点,∴HM为△CDF的中位线,∴DF∥HM.又HM⊂平面HGE,DF⊄平面HGE,∴DF∥平面HGE.(2)解

∵平面DAE⊥平面ABC,平面DAE∩平面ABCD'=AE,DF⊥AE,DF⊂平面DAE,∴DF⊥平面ABCD'.又AE⊥BD',∴DF,AF,BF两两垂直.以点F为坐标原点,分别以FA,FB,FD所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,[对点训练1](2024湖南株洲模拟)由正方形ABCD、等边三角形ABE和等边三角形BCF组成的一个平面图形如图所示,其中AB=6,将其沿AB,BC,AC折起得三棱锥P-ABC.(1)求证:平面PAC⊥平面ABC;(2)过棱AC作平面ACM交棱PB于点M,且三棱锥P-ACM和B-ACM的体积比为1∶2,求直线AM与平面PBC所成的角的正弦值.(1)证明

如图,取AC的中点O,连接BO,PO.由题可知△APC是等腰直角三角形,AP=6,∴PO⊥AC,且PO=3.同理OB=3.又PB=6,∴PO2+OB2=PB2,∴PO⊥OB.∵AC∩OB=O,AC,OB⊂平面ABC,∴PO⊥平面ABC.又PO⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC.令x=1,则y=z=-1,∴平面PBC的一个法向量为n=(1,-1,-1).设直线AM与平面PBC所成的角为θ,考点二空间中的探究性问题(多考向探究预测)考向1与位置关系有关的探究性问题例2(2024浙江绍兴模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,底面△ABC是边长为2的正三角形,PA=PC=4.(1)求证:PB⊥AC;(2)若平面PAC⊥平面ABC,在线段PB(包含端点)上是否存在一点E,使得平面PAB⊥平面ACE?若存在,求出PE的长;若不存在,请说明理由.(1)证明

如图,取AC的中点O,连接OP,OB.因为△ABC是正三角形,所以OB⊥AC.因为PA=PC,所以OP⊥AC.又OB∩OP=O,OB,OP⊂平面OPB,所以AC⊥平面OPB.又PB⊂平面OPB,所以PB⊥AC.(2)解

存在.由(1)可知OP⊥AC,OB⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OP⊂平面PAC,所以OP⊥平面ABC.以点O为坐标原点,分别以OA,OB,OP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如考向2与空间角有关的探究性问题例3(2024广东广州二模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是菱形,且与平面A1BC垂直,BC⊥AC,AA1=A1C=4,BC=2.(1)证明:BC⊥平面ACC1A1;(2)棱CC1上是否存在一点D,使得直线A1D与平面ABB1A1所成的角为30°?若存在,请确定点D的位置;若不存在,请说明理由.(1)证明

如图,连接CA1与C1A.因为四边形ACC1A1为菱形,所以C1A⊥CA1.又平面ACC1A1⊥平面A1BC,平面ACC1A1∩平面A1BC=CA1,AC1⊂平面ACC1A1,所以AC1⊥平面A1BC.又BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.又BC⊥AC,AC1∩AC=A,AC1,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.(2)解

存在.由(1)知BC⊥平面ACC1A1,BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACC1A1.因为AA1=A1C=AC=4,所以三角形AA1C为等边三角形.取AC中点为O,连接A1O,则A1O⊥AC.又A1O⊂平面ACC1A1,平面ABC∩平面ACC1A1=AC,所以A1O⊥平面ABC.取AB中点为E,连接OE,则OE∥BC.因为BC⊥AC,所以OE⊥AC.[对点训练2](2024辽宁沈阳模拟)如图,在几何体ABCDFE中,四边形ABCD为菱形,四边形DBEF为梯形,BE∥DF,DF=2BD=2BE=4,且AE=CE.(1)求证:平面DBEF⊥平面ABCD;(2)当∠EBD=60°时,平面AEF与平面CEF能否垂直?若能,求出菱形ABCD的边长;若不能,请说明理由.(1)证明

如图,连接AC,交BD于点O,连接OE.因为四边形ABCD为菱形,所以AO=OC,AC⊥BD.又因为AE=CE,所以AC⊥OE.又因为BD,OE⊂平面DBEF,BD∩OE=O,所以AC⊥平面DBEF.又因为AC⊂平面ABCD,所以平面DBEF⊥平面ABCD.(2)解

能垂直.由题可知BE=2,OB=1,∠EBD=60°,所以BE2=OB2+OE2,所以OE⊥BD.又因为AC⊥平面DBEF,OE,BD⊂平面DBEF,所以OE,BD,AC两两垂直.以点O为原点,分别以OA,OB,OE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)证明

如图,连接OD,OC,DC,OE.因为点E是PA的中点,点O是AB的中点,所以OE∥PB.又BP∩BC=B,BP,BC⊂平面PBC,OE∩OD=O,OE,OD⊂平面ODE,所以平面ODE∥平面PBC.又DE⊂平面ODE,所以DE∥平面PBC.(2)解

存在.