宁波大学理学院871高等代数考研强化模拟题

2017年宁波大学理学院871高等代数考研强化模拟题(一)说明：①本资料为VIP学员内部使用，严格按照2017考研专业课大纲及历年常考题型出题。 一、填空题设、为工2卜尸+事=1的外侧，则+1)如位+)(_/+l)dNdx+z(/+1)<Lrdy=【答案】礬【解析】利用高斯公式得+】)/dr=?-y+z2)+3]dv(其中nu2+?+?<]> 设锥面z=与半球面围成的空间区域，£是。的整个边界的外侧，贝IIxdydz+ydzdx+zdxdy= 【答案】(2—j2)7tR3+>dzdx+zdxdy=j|J(l+1+l)dvS n=3jd。]'d"r2sin(pdr(2-V2)7tR33.设C为上半圆周 y=42x~?从。(0，。)到人(2,0)的弧段，-2y)dx+(x2-V)yeyZdy= 【答案】2-六【解析】补线段布则2>)dx+(x2 1>>^d>[(xe>2-2》)&+(x22>)dx+(x2 1>>^d>(工/'—2少L十(工2—Dy/'d)一I(xe,ic+WJ 志=-用曲-jxdi4.若函数KxBE方程广(x)+尸(x)-2f(x)=0及/〃(x)+f(x)=2ex,则Kx)= 【答案】e 【解析】由题意知’函数f(x)的特征方程为『+「一2=0,则特征根为n=i，乓=一2,故齐次微分方程.尸(x)+r(x)-2f(x)=0的通解为f(x)=Clex+C:e2r,CPC2为任意常数。再由f(x)+f(x)=2ex得2(7打一弓检=2"可知q=l,C2=0.故f(x)=e\设曲线C为圖『+)，2=R2,则线积分"尸”2+『枷= c【答案】2牌【解析】§2巧&=0(奇偶性，对称性)C+y+2书)ds=§(/+y2)ds=&2ds=R2•2itR=2江肥c设讓=(1.2.1J.OS-(-2,-1.1｝则以京,冶为边的平行四边形的面积为 【答案】373【解析】由于以两个向量为边的平行四边形的面积，等于这两个向量的向量积的模，贝|応T,oB的向量积为i Jkr)A=1 2 l=3i-3/+3A2 11故以瓜,漆为边的平行四边形的面积，即为京，漆的向量积的模 |O4XOB|=v/3f+(-3),+3,=3>/37.曲线\，=X2+X(X<0)上曲率为生的点的坐标是 2【答案1(-1.0)【解析】将y'=2x+l.矿'=2代入曲率计算公式，有K=ly"— 2一(2严卩心+驴］厂2整理有(2x+1)2=1.解得x=0或-1,又xv0,所以x=-1.这时y=0故该点坐标为(10)8.函数/(x,.y)=x2.y(4-x-y)S由直线；r+y=6,'轴和y轴所围成的闭区域D上的最小值为 【答案】-64【解析】由

=2书=2书(4一H—>)—a^y=0得区域D内驻点(2,11在边界y=0(0W工W6)上，z=0：在边界i=0(0W.y<6)上，z=0：在边界z+y=6 6)上z=2xs—12/(0<iW6>’纭=6?-24工。令睛=°，得1=4,此时)=2,八4,2)=—64,八2,1)=4,/(0,0)=0,则Z=f(X,y)在D上的最大(2,1)=一4,最小值为f(4,2)=一64。9.设封闭曲线L的极坐标方程为「=%3仞-冬0片)，则L所围平面图形的面积是-【答案】§【解析】A=顎产⑹cos2^d^lfjcos2曲=%。10.设曲面|工|+|刃+|/|=1，则g(i+l刃〉dS=【答案】号有【解析】由于X是关于X的奇函数，且积分曲面|1|+|y|+|纪|=1关于yOz对称，故°0又因为积分曲面关于X,y,Z具有轮换对称性，则°0又因为积分曲面关于X,y,Z具有轮换对称性，则=iJ(§S(S为曲面面积〉=jX8X^二、选择题11.f(x)可导,F(x)=f(x)(l+|sinx|>则f(0)=0F(x)在x=0可导的(充分必要条件充分条件但非必要条件必要条件但非充分条件既非充分条件又非必要条件【答案】A【解析】(0)=limF(x)-F(0)x-0lim(0)=limF(x)-F(0)x-0lim£Cr)<l+siar)-/(0)7 1=吧[施；+s半]=r(°〉+/(0).FC(0)=limF(g)_?(。)=]im六尖(】一siar)—之0)7 1—0I- 1=lim[及)严)-/(x)平卜/(O)-/(0).当f(0)=0时，mo)=F_(O)，反之当《(0)=F「(0)时，/(0)=0,因此应选(AI12.设平面n位于平面x—2>+z—2=0和平面_r一2y+z—6=0之间,且将二平面间的距离分成1:3,则n之方程为( Ii—2y+z—5=0或工一2y+z—3=0i+2y+w+8=0C・x+2y-4N=0D.x—2jr4-x—8=0【答案】A【解析】由于B、C两项多给出的平面方程的各项系数与已知直线不同，故它们与已知直线不平行，故可排除B、C；D项平面与已知直线平行,但是不在两平面之间(可由常数项-8任(-2-6)判断岀)，故H滁D.-13.己知函数z=f(x,y)满足京=2J(l,y)=y+Lf(1,y)=y+2,则f(x,y)=().A.x2+(y-l)x+2A.B.x2+(y+\)x+2B.x2+(y+\)x+2C.j+(y-l)x—2D.x2+(y+l)x-2D.【答案】A【解析】由扌j=2知祭=Rdi=2工+<p(y)，由厶(1,》)=了+1知y+1=2+?(’),=、一1,案=2了+(»—1)*=j[2x4-(y-l)]dx=x*+<>-Dx+^>(y).由/(l,y)=y+2知y+2=1+(y—1)欧(y)=2,t=x*+(y—1)x4-2.14.设lim(x.y)->(O.Ojf(x,y)-f(014.设lim(x.y)->(O.Ojf(x,y)-f(0t0)+2x-y=°则f(x,y)在点(0,0)处()•A.不连续连续但两个偏导数不斑两个偏导数不存在但可微D可微【答案】DI- —/（0,0）-\-2x—y八［解析］由 =咖，-/（0,0）+2工一y=0（p〉（当（x,y）一（0,0）时）八3）—，（。，0）=-2z+y+o（p）由微分的定义可知f（x）在点（0,0）处可微。15.已知。xS+Bxc+cxa=0则必有（ 1&b,c两两互相平行ab,c两两互相垂直Cab,c中至少有一个为零向量D.ab,c共面【答案】D【解析】由axi+fexc+cxa=0知（axb）c+（bxc）c+（cxa）c=0X（bxc）c+（cxa}c=0,则（axb）c=。故ab.c共面。16.设函数z=f（z,y快点（0.0）处连续，且心％_提）+厂七则（fx（0.0）不存在f,（0,0）存在但不为零f（x,y）在（0,0）点取极大值f（x,y）在（0,0）点取极小值【答案】C八工，y）【解析】解法一:由口知］二分亏=_2及f（x,y）在点（0,0）处的连续性知f（0,0）=0,而又由履％。>厂7奈泮亏LTV。及极限的保号性知存在（0,0）八工，y）― V01—cosvx24-y'而1—cos +丁>0,贝!］，（吋）V0,又f（0,0）=0由极值定颇f（X,y）在点（0,0）取极大值。解法二:由于当（工。）-（0,。材1—cosvxM-y〜yCx14->2)

iim*IXC）香咽福尊:中廨演陋4.6L邛(一)/国1=”p(s)/T邛I»jtj «ij»jS'琢&翎还【少釦a［孝新顽*)/：ppjpxp(<^)/T<P°fDXU|J烦3)/JSj用.顷*)/"J・VX )匣"#)/rJ・MJ對¥傳推谢募•机(0・(0・0)/u= =a9(如)(心/心叩（”'勺4［罕国（J=叩（W）J『割，詛狗中好燈甲【鸟翻】0聞］21（0，0）」亍珪目丑幼（］

（0*0）J&珪目五％（0'0）JzL金目丑互日丰一玄V•（）。心次）/，早飼価德登壬迫丑”，）JgjwL颔三aav麴EM凰¥珍酒（o'o）草丑以，x）j曲紳剧*电目0=（0,0）7•初’土滂涇覇舌婴驟習（"+产）一=（《‘，）/潴

。•拝【答案】C【解析】A【解析】A项为正项级数,因为削土一=1史号;

r=r<1'所以根据正项级数的比值判别法可知*收敛:B法可知*收敛:B项为正项级数'因为为”(1・+)~击，又堂±是P级数，Pi收敛，根据比较判别法’知三敛，根据比较判别法’知三与叫1.土)收敛；C项lii/iyHI=y(・I，

MInn一=Innlii/i根据莱布尼茨判别法知辭收敛，M[卩发散，所以根据级数收敛定义知,y•Fy•F福;—发散：D项为正项级数，因为(n+1)!lifiiIlifiiI(〃,1)!/Tn[7n!(E广所以根据正项级数的比值判别法£丄收敛.n20b‘20b‘3-23-2a1--1设A.BGD.c均为单位向量，且a+b+c-O,则a・b+b・c+c・a等于(【答案】B【解析】由于a+b+c二0,则(a+b+c)(a+b+c)=0,即Q‘卜8'+c'+2(<l• + =0其中『=/=甘=1则a・b+6・c+c・G=—三、计算题21.设f(x)是周期为2n的函数，它在l-mQ上的表达式为.f°»xw[-n,0)/，X)=U,xe[0,.)将f(x)展开成傅里叶级数。

【答案】f(X)满足收敛定理的条件,且除了x=u(kEz)外处处连续。=+。加)&=an=—J/(x)cosnxdx=ecosnxex【答案】f(X)满足收敛定理的条件,且除了x=u(kEz)外处处连续。=+。加)&=an=—J/(x)cosnxdx=ecosnxexsine*sinnxexcosnxdx'cosnxdx=—IcoszixdexirJO_(-1)七宣_1

(n2+1)ir而bn=丄Jf(x)sinnxdx=exsinnxdi=—(exsinnx

ITV于是sinmdp*ecos/(x)=n2+1 n2+1 JxgR\]kir\keZ.\.试决定曲线y=揷+bx2+cx+d中的a.b.c,d,使得x=-2处曲线有水平切线,(1,-10)为拐点,且点(24,4)在曲线上。【答案】y'=3ax2+2Z?x+c,yn=6ax+2b根据题意有y(-2)=44.矿(-2)=0,y(l)=-10.y"(l)=0广2c+d=44、"2m,10・16a+26=0,解此方程组得a=1,b=-3,c=-24,d=16o/V2,2.在第一卦限内作椭球面m+很+w=1的切平面，使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小.求这切平面的切点’并求此最小体积.【答案】彻点为MEo.y。％)，F3j,z)=£+*+§-1abc〃=（""）=（务餐号）曲面在点M处的切平面方程为专（耳-«0）+汐，-y＜））+，z-z0）=0即xoxrorzoz.r+r+ =1a2b2c22l22于是’切平面在三个坐标轴上的截距依次为一，——・——，切平面与三个坐标面所围成的四xoToz0面体的体积为V二丄.些6WqZo在WWg=I的条件下’求V的最小值’即求分母xyz的最大值。作拉格朗日函/b‘cL数▲3,y，z）=町］+入份+fl+乒-1）令=32+ =0a(9-II)L.=“+绰=0b"(9-12)(9-13)(9-11)•x+(9-12)•y+(9-13)•z，并由约束条件§+ =1，得x2/=^=±q2b2c23从而ab c于是,得可能极值点•”信会3）。由此问题的性质知，所求的切点为"（言万房），

四面体的最小体积为V=Qabc24.求球面，+y2+?=/含在圆柱面/+,2=q»内部的那部分面积。【答案】如图所示，上半球面的方程为z=/a2-y2o由曲面的对称性得所求面积为TOC\o"1-5"\h\z25.求通过点A(3,0,0)和B(0,0,1)且与xOy面成了靜的平面的方程.X ， Z［答案］设所求平面方程为一+ ］a b c平面过点A(3,0,0),B(0,0,I),故a=3,c=1.这样平面方程为它与xOy面成靜，故毎“"I故所求平面为x+^26y+3z=3或％-y26y+3z=3.四、证明题26.ffi-ABC的BC边五等分，设分点依次外，〃2»3，以，再把各分点与点A连接.试以届*，BC二a表示向量,旧，蓦'和如【答案】如图所示，由题意知8D；= =!<1.。2房=ya,D3D^=ya所以D|4=—(+BDI)=-■:a-c=-(4^+HD^)=—a-c-(AR^BD^)=■-ya-cD^A=_(扁+殒)=-^-a-c27.试证函数F(x,y)=lnx-Iny满足关系式F(xy.uv)=F(«tu)+F(x,v)♦F(y.u)♦F(y.ir)【答案】由题意，得F(.tv,uv)=In(xy)•ln(ui)=(hi.r+Inv)(Inn+hn)=In.v,Inu+In.r・Inr+hiv,\nu+Inv•InrF(x.u)+F(x.v)+F(y.h)+F(y.v)

28.设f(x)在2，正)内连续，且Iim/(x)=le证明函数满足微分方程4—eU牛+y=/(x),并求limy(x)。dx【答案】=e~xVeKf(t)dt+e'x-exf(x)=-y+f(x)dxJ()因此,匸”(两=J：ey(g+J；e*/(f)d/>fe7(r)dz+J；|e^dr=『<f(f)df+ (工一X。)，故当xT+oc时，从而利用洛必达法则，有[：/力 exf(x)limy(x)=lim =lim =1Xfg I4<© 矿 Kffg]29.验证罗尔定理对函数'=lnsinx在区间伟专上的正确性。【答案】函数f(x)=lnsinx在［誇］上连续,在(完)内可导,又/■(#)=临崂=In扣俘)=Insin*Inj.30.证明：(1)由平面图形旋，0<y</(x)(x),绕y轴旋转所成的旋转体的体积为V=2^£xf(x)dx0(2)利用(1)30.证明：(1)由平面图形旋，0<y</(x)(x),绕y轴旋转所成的旋转体的体积为V=2^£xf(x)dx0(2)利用(1)的结论，计算曲线y=sinx(O&或廂x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体积。【答案】(1)取横坐标x为积分变量，在与区间［&b］上任一小区间［x,x+dx］相应的窄条图形绕y轴旋转所成的旋转体近似于一圆柱壳，柱壳的高为f(x),厚为dx,底面圆周长为2nx,故其体积近似等于hxf'x)dx,从而由元素法即得结论。(2)V=2兀ja-sinxdx=/jsinxdx=2tt2.2017年宁波大学理学院871高等代数考研强化模拟题（二）说明：①本资料为VIP学员内部使用，严格按照2017考研专业课大纲及历年常考题型出题。一、填空题1.已知级数£寸孕二收敛，则a应满足【答案】a>j【解析】由于+1lim+1lim—lim尊旦则原级数与级数习土同敛散，而当且仅当2-*时级数笠上才收敛。2.=12.=1，取逆时针方向,贝虬（9/+府）（卜协+裕）【答案】216n【解析】1=Jc(9x2*4/)(|,|&"d>)=36fc(7*j)(lyldx^xdy)

=36jcl》|dx+舛解法一：再用参数方程化为定积分：x=2cos£)=3smt,£e[0,27r],则有/=36I[3|«inr|2(-sinr)♦2com/•3coM]<lr36x6(-J*IsinlIsin/dt36x6(0♦”36x6(-J*IsinlIsin/dt36x6(0♦”)=2I6tt解法二：为了去掉绝对值，把c分成两段：q（i=L2）,分别位于上半平面与下半平面，并配上坐标轴部分，分别构成闭曲线4（1=1，2），均为逆时针方向，见下图。2 236gjyIdx♦xdy=36R'|y|<lx♦idy其中坐标轴部分取积分两次，但方向相反抵消了。W=l，2)围成的区域记为4«=1,2),它们的面积相等为3兀在2(uL2)上用格林公式得/=36(jydx♦xdy♦J-ydx♦xd>)=36(Jo<la♦Jldcr)=36x2x3u=2l6n解法三：直接利用对称性C关于X轴对称,P(x,y)=\y\对y为偶函数，贝Ijjc^x=o于是原积分=Jc36移=216兀3.函数y=火］)由方程In山+寸=arctan乎所确定’则謬=【答案］2尸+匕)【解析】构造函数FGr,y)=yln(x2+/)-arctan。则■T —,/工.业=_乌=-Z±Z_1±(2^L=山drF,y 】/z x—>N+bl+(yWcfy=仁+」｝'=(1+」)(〔一>)-(i+y)(l一J)=2(/+/)<Lr:~\j--yL- (x-y): <x-y)Jt—1y—22—3 X+2y—1z4.设有直线L】:〒=%-=-q-,&飞一=%—=厂则过Li且与L2平行的平面方程为【答案】(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0【解析】设所有平面的法向S^k,由题设知：mix“」10i21

由于所求平面过1,则点(1,2,3)在所求平面上，则所求平面为(x-l)-3(^-2)f(r-3)=0.5.级数£名的和为 fl=iJ9【答案】y【解析】令则有S(x)= ,(lx|<1)«-1 援目则有S(x)= ,(lx|<1)«-1 援目=蜻-咛6.1血(2-业约%—°I。x【答案】Jx-ta(Ux)【解析】晚［2.哗邛啊半)］律「r哩单』7.设£=-3吁)+R(于)’其中f、g均可微,则静= 【答案】必+y,-/‘【解析】设厂|为函数/(如V风第一中间变量的偏导，广2为函数f(払V)对第二中间变量的偏导，g'为函数g对x的导数。贝uJn_a/(_ry口/y)〔3—*/工)M Bx=fi•y+gz(—y/r1)=f一声，8.(1)函数f(x)在［a,b］上有界是f(x)在［a,b］上可积的 条件，而f(x)在［a,b］上连续是f(x)在［a,b］上可积的 条件；(2)对［a,E)上非负、连续的函数f(x),它的变上限积分［7(。力在［a,E)上有界是反常积分［'fMdx收敛的 牛。

（3）绝对收敛的反常积分'/⑴心一 °【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收敛y为有9.第二类曲线积分+Qdzdx+Rdxdy化成第 类曲面积分是 ,其中a,向曲面乏在点〈X，y,z）处的 y为有【答案】JJ（Pcosa+Qcos"+/?cos〃dS,法向量。 10•间荷尸一【答案】y（V2-l） ［解析］晰分鴻，得J3K-^=d.r=甘：7^如=抑-1）二、选择题11.有物质沿函数X=IC：b=f/2(0<f<1)

«=e/3分布,其线密度为“=角，则它的质量m=（ 1 A. A.£/vTTTT^dz B.J\+—+厂山 C C・[+Hdf D.vTT7T?"d/【答案】A【解析】 yrr+yr+tfd/(1)xdy-ydxxdx+ydy(1)xdy-ydxxdx+ydy(3).. 12.下列曲线积分。⑵ Ix+y⑷ 中,有平面线D：x2+），2>0上与路径无关的有（个个个个个个个个1234A.B.C.D.【答案】Bfzdy—yAx dP<9Q【解析】对于］■+}在D内虽有祈=而;成立。但不能断定该线积分在D内与路径无关，因为D不是单连通域，而§牛縛'=§idy—<y&=jj(1+l)tLrd>=2芥尹0fxdv—ydx则线积分J=f车亍一在D上与路径有关。而对于(2)和(3),由于普濬=diin(x2+皿竺竺些=d+y2 Vx2+y2idz+ydyfxdj+ydv即其被积式在d上是某个二元函数的全微分，则线积分疽厂",匕..」在dfxdv+ydx上与路径无关。而对线积分|「2*y2I，由于3,工、=工2+一一2了2=-T

d^x2+yz)_(x2+y)2_&2+—)23(y.=F+. 2,=了2一了2x2+y2)~ (x2+/)2 ~(x2+j2)2r)P fxdv4-vcLr即挙壬*则线积分Iw节戸5。不与路径有关。13.设函数代x,y)•且对任意x,y都有”判>0,堂旧〃<0,则使得/(.%..“</(七,方

3dy成立的一个充分条件是( XXj>x2,V|<y2%>.v».V|>y.f<5<vo.xl<x2,yl>y2【答案】d

【解析】竺业＞0,竺1丑＜()表示对于固定的y，函数f(x,y)关于变量X是单调递ox oy增的：对于固定的X,函数f(x,y)关于变量y是单调递减的。因此，当，＜七且'：＞.土时,必W/(ApyI)＜/(x2,y2).合214.设u(x,y)在平面有界闭区域D上连续’在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足¥提0及芸+与經=0,及芸+与經=0,则(dx2dy2u(x,u(x,u(x,u(x,【答案】【解析】y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上y)的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上A由于u(x,y)在平面有界闭区域D上连续，故u(x,y)在D内必然有最大值和最小值，并且若在内部存在驻点,即三=*=0，则在这个点处合3d'ud~uc'uA=裁,C=苛，8=葯=磕，由条件知，AC-B＜。，贝lJu(x,y)不是极彳直点，当然也不是最值点，故u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上。.下列结论中，错误的是( ).e+2式2+y2=0表示椭圆抛物面.x2,2y2=1+3『表示双叶双曲面/+y2-(x-I)2=0表示圆锥面注=5.t表示抛物柱面【答案】B【解析】X2+2子=1+3,2表示单叶双曲面..设l'(x)有连续的导数,f(0)=0,ESQ由柱面.F+y2=/"＞()间两平面=0,Z=1所围成’则lim4ffff(x2+j2所等于( 1/rf(0)/rf(0)-f(0)2yf'(0)

【答案]【答案]D【解析】由题意得fdo[y(，)rdr|*dz [/XrOrdr-limE山一: =2klim厶一~;——=2吧幣”可铲=亨如穿红訂(3设向量a,b.c满足关系式0•〜=a.c.则( X必有a=0或D=c B.必有。h6—c=0C.当。尹0时必有b=c D.必有。丄(》一。)【答案】D【解析】由a•8=g•c可知。•b—a•c=0故a•(b-c)=O.a丄(b-c).设/(x)=则f(x)在x=1处的((A)左、右导数都存在(B)左导数徳，右懿不存在(C)左导数祐在，右弱存在(D)左、右导数都不存在【答案】B【解析】旦f尸-⑴f也二格=limL厂 匸土Z-工_1=limg・ y=lim争x2+工+1)=2；l厂3 x-1e3A<1)=lim ⑴=hm——工_] t工_故该函数左导数存在，右导数不存在，因此应选(B\19.设函数,，「IA.a<-2I<x<ex^v19.设函数,，「IA.a<-2I<x<ex^v若反常积分丨，则()•a>2-2<a<00<a<2【答案】D【解析】因为/(x)(h=^f(x)dx+ /(x)<lx(1)先讨论 =I,(；］)「山.当adSO时，即*1时为诙分；当全1>0时，|― 血.为无界函数的反常积分，且当企1<1,即1<a<2时收敛;Jt(xT)当21时，即a?2时发散.(2)再讨论反常积分［》(罚&=［*因为当a>0时，此反常积分收敛；当把0时’此反常积分发散。由(1)(2)知，若反常积分［'/■(•>■)&收敛，则0<a<2.8.设收敛，则(1〃戸19A.»“收敛，2】8B・»“发散glIim。=0n-w8当&>0时’必收敛«=i【答案】D【解析】当&>0,级数、(纽I•为正项级数’由于该级数收敛，则其部分和数列11“S.=(a：4-a?)+(g十右) ++。丄)有上界，从而可知正项级数3 UU»”的部分和数列S“=心+七+…日布上界，则级数必收敛。«-1 n-l三、计算题.求下列函数的极值：y=2x3-6x2-18x+7；j=x-ln(l+x)；y=-x4+2x2；

(4)(5)(6)y=x+J\-x:

(4)(5)(6)y=x+J\-x:

l+3x

尸而*

3x2+4x+\

x2+x+(7)y=excosx；(8)y=3-2(x+l)3；x+tanx.(y=3-2(x+l)3；x+tanx.y=【答案］(|)>*=6x2-12x-18.y・=12x-12令史=0,得驻点为=一1，丐=3由”|z=-24<0知y”|z=l7为极大值,邮》=24>0知)，牝广77为极小值。(2)函数的定义域为(一1,+/),在(一1,+00)内可导，且y'=l——.v"=—(x>-I),1+x- (1+x)2令y'=o,得驻点x=0,由yt=o=1>0知y|日=o为极小值。(3)y'=-4r3+4x=-4-rfx2-1),y"=-l2.r+4令.v'=0,融点E=T，•弓=1，*3=0由y"|A=_l=-8<0知y"L=1为极大值，由y"|z=-8<o知如=1为极大值,由)，”島=4>0知y|z=。为极小值。(4)函数的定义域为(一8,I］,在(一皿一I)内可导，且y_i=逆三二-1...丄..；令矿=。融点七,由匚厂2<0知令矿=。融点七,由匚厂2<0知y”为极大值。七43/4干5?—(1+3”・-,性_5J—圾)= 2/砧誕_12—5工_ _5_'4+5尸 (4+5尸)3“一(4+5/尸‘令)疽=0得驻点•，=与当f 时,尸>0,因此函数在(-8费上单调增加当顋<x<xo时W<0,因此函数在I§,心上单调减少,从而y(乌=鱼为极大值。5 。 5 10,A、，—(6。•1)⑵I1)(3.二Ik+4)_ 」JT2)()， (Ththp (P+tttp令y'=°,得驻点X］=-2,X2=0当-ccvx<_2,yyo,因此函数在(-00,-2］上单调减少：当-2<x<0,y'〉0,因此函数在［一20］上单调增加：当0<X<心时,y'v0,因此函数在［0,+oo）上单调减少。从而可知V（-2）=?为极小值，y（0）=4为极大值。（7） y'—e7cos.r—e'sin.r~ex（cosh—sin.r）,j'，=—2ezsin.r令y'=0,得驻=2如+号，匕~~2人犬+于JT（人=0,土1,土2,…）由.y〃|,f,十=一姪寸1<0知y|—2HU=yez*r*^以=0.土1・±2.…〉为极大值。由侦I小*丫=屈4¥>0知 = 极小值。（8） 函数的定义域为（0,Ir）,在（0,Is）内可导，且»'=（〈*"'）'=e%‘・^^=工卜2（］一拍x）令『=0,得驻点x=e当0<x<e时矿>0,因此函数在（0,e］上单调增加;当。<工<*8时y'vO,因此函数在［e,+co）上单调减少，从而可知\,（e）=°；为极大值。（9） 当"一1,矿=一：•一土<0.又工=T时函数有定义。因此可知函数在（一皿+8）内3（x+lF单调减少,从而函数在（一00,+s）内无极值。（10） 由y'=l+sec2x>0知所给函数在（一8,+oo）内单调增加，从而函数在（一皿内无极值。.求对数螺线p=M（-冒方）及射线〃小所围成的图形的面积.【答案】A=匸号国灿=¥［『］、=号（*一厂2・）..设a=（2,-1,-2）,b=（LLz｝问z为何值时（，3）最小?并求岀此最小值.,个、a-b （2,-1,-2）-（1,1,z）［答案］cos（a.b）=-j_ri-—= , = -Z7T .ZMH心2+（-1）2—（-2）2.J12・12“21-2z= 二 3/2+z2〃、1*M3）=E'则 -2/2+V-（1-2z）,-2+z2广⑴=2+z2令f'(z)=0得z=—4.由于0W()W：时.cos(<3)为单调递减函数J(Z)取得最大值时，0=(达到最小值. •-经验证z=-4时，f(z)达到最大值，此时但=(a3)达到最小值且由e(姦)5=令知=arccos^=-~.24.设函数f(x)连续且横大于零，其中H(t)=(x,y,z)\x2+/+z2C/2|,D(Z)=I(x,y)|x2+y2Ct2\(1)讨论F(t)在区间(0,+8)内的单调性；(2)证明当t>0时，F(/)>^-G(0o【答案】(1)利用球面坐标，W利用极坐标，有P(rP(r2)rdr求物

所以在区间(0,+8)内,F'”)>0,故F(t)在(0,+8)内单调增加。(2)因为f(X2)为偶函譬,故£/(x2)dx=2^/(x2)dx=2p(r2)dr所以G(£)G(£)=j[帆/(，)rdr r2)rdr2j[/(r2)drP(r2)dr要证明t>0时，F(r)>-G(t),即证只需证当t>0时，2j[/(r只需证当t>0时，2j[/(r2)r2dr2^/(?)rdr

睥2)rdr 典)dr=f/(、)，dr.[/I，)打_[g/(r2)rdrj2>0。r2)dr由于H(0)=0,且H'(t) …)2击>0所以H(t)在(0,+8)内单调增加，又H(t)在〔0,+8)上连续，故当t>0时因此当t>0时，有H(t)因此当t>0时，有財>项)7T25.设有一截锥体’其高为h,上下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B,求这截锥体的体积。[答案】用与下底相距z且平行于底面的平面去截该立体得到f椭圆，记其半轴长分别为u、V,则M=^.v+A,賀=爭1+8,该椭圆面积为4宇")(学X+8)，因此体积为S「(砂+A)(碧+可心=§M[2(沥+AB)+u3+6A].四、证明题26.验证函数\=C"+C2/'(a，G，Q是常数)满足关系式:y"-22j=0o【答案】因为职一C我e*，/=GA2e^+C2A2e,故y-^y=CiX2^+CU,e”f(C,『+Ge*)=0.27.如果三重积分|J/(xty,z)dxdydz的被积函数f(x,y,z)是三个函数f3(z)的乘积，即/3,y,z)二人3)E(>)厶3)，积分区域Q=((x,y.z)laWxWb,cWyWd,/WzWm)，证明这个三重积分等于三个单积分的乘积,即3)/2(*)/3(z)d4d：rdz= & J厶(z)dzn【答案】驴(心(y)?3(z)dxdydz=f ■心如*)/3(，同时&=Uf(人⑴/2(y)-「Mz)也)妃&=f【(脚期・(仏⑴飪)时]&=(pA(z)&)・f[/q)・p2(〉)dy]&=j厶(z)&•]/i(V)dy•、/■](%)&=右端28.设f(x),g(x)都是可导函数，且|/'(x)|<g'(x),证明:当X>a时l/(x)-/(a)|<Af<T)-K<«).分析:要证X>a时，顷工)一六a)iy)-g(u)即gffi-r/cU)-K<a)J</(x)-f(«)<x<x)-K<«)亦即©lE./<r)—g(x)<f(a)—g(a),f(^)-Fg(.r)>f(a)-pg(a)【答案】取F(x)=/(x)-g(i),G3)=/M)+g(.r)口£(u・+■—)由\f\x)\<g\x)知广⑴-g'(.v)<0及广⑴+g3>0故FXx)=f\x)-g\x)<Q.GG)=/3+g>0即当x>a时函数F(x)单调减少,G(x)单调增加。因此F(x)<F(a)RG(x)>G(a)(xx)从而/CO</(a)-g(a)・/(.v)+g(x)>/(a)+g(a)(x>a)即当x>a时，|/(z)—/(d)|<g(x)g(a)29.设在半平面x>0内有力F=一*(衣+〃袍成力场•其中k为常数，p=丿/+,2P证明：在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。［答案】半平面x>0是单连通区域，在此区域内，P=_勇，Q二■了具有一阶连续偏导数，且dQ3kxydP

袞=芝=dy故在此区域内，场力F沿曲线L所作的功，即1 1P与路径无关。30.根据题意证明：x2-9y=—为当x->3时的无穷小；x+3y=xsin丄为当x->0时的无穷小。x【答案】(1)因为己2=卜_3|，所以对">0,取$=£，则当0<|x-3|<<W.就有TOC\o"1-5"\h\z2 x+3 'I三二凯即兰为当XT3时的无穷小。x+3 x+3(2)因为xsin-<|x|,所以对X/£>0,取$=£,则当0<\x\<5时，就有工血丄<£，X X即xsin丄为当X->0时的无穷小。 2017年宁波大学理学院871高等代数考研强化模拟题（三）说明：①本资料为VIP学员内部使用，严格按照2017考研专业课大纲及历年常考题型出题。 一、填空题 临,，+七， r-FX—巧+y【答案】0【解析】由于 °< 1< =出+出其中（工'+寸22|巧|），且 再结合夹逼定理可得如p =°，即艷7^亏片=0L” r—>2.当a= ,b= 时(ax》一/)dx+<jrs+蛀y)dy恰为函数u(x.y)= 的全 微分。【答案】3.—2.x.设在坐标系［O;i，j，k］中点.设在坐标系［O;i，j，k］中点A和点M的坐标依次为；和，咒，Z0:和（x，y，z），则在［A；i，j，k］坐标系中，点M的坐标为 ，向量洞的坐标为 .【答案】（x-xo，>-〉o，z-%）,（宀>.》）；【解析】点M的坐标为3-和J-为，-zo）,向勒祈的坐标为（x-心+•%,）-为+>0,Z-Zq+勺）=（1,y,Z）.曲面Z=77和平面y=0的交线绕X轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为 【答案】x=y+Z2［解析】本题可看作是在在二维坐标系XOZ中，求解曲线M=“绕X轴旋转一周所得的曲面方程，贝II所求旋转曲面方程为士石W=石,即I=丁+m【解析】若要使p心+叫恰为某函数的全微分，则需满足癸=蓊。结合题意知，需要满足3/+如=ax'—2y,解得a=3,b=—2,则du=(3x2y—yl)dr+(j1—2xy)dy则u(j.jf)=j3x2•Odx+j(x3—2ry)dyxxiy—xyl+Co 5.设D为不等式0WE3,0匀匹1所确定的区域•则Jjmin(x,y)如也二 【答案】J【解析】由®B知jJni.n(T.v)chdv=£d^jvd^4-£dy£xdx=y6.点(1.L-l)关于平面_r一2y+z—4=0的对称的点Q的坐标是 。【答案】(3,-3.1〉【解析】设所求点为QCr，3，N),过点P(l.l.-l)与平面Ti：i-2y+z—4=0垂直的直线方程为厶=1=匕旦=£±2：1 -2 1即x=?+】，)=—2f+l,x?=t—I将其代入平面方程得1=1,故直线I在平面TI的投影点为M(2,—1,0),则M是线段PQ的中点,由中点坐标公式得1=2X2—1=3,y—1X2-1=-3,r=0X2+1=)即所求点的坐标为(3.-3,1)7.设滇有二阶连续偏导数，贝ijrot(gradw)= 【答案】0- ,i)udu■【解析】gradu=｛云，万，灵％则rot(gradu)3

da:

du

3xrot(gradu)3

da:

du

3x3

dud3zduw=(翥-姦/+(隸-殺/+(続-姦卩=08.设L为椭圆号+扌=1，其周长记为1，则«(9/2+4/一3z)di= 【答案】36/【解析】因为曲线方程为亨+扌=1，故曲线L关于y轴对称，贝！1丄一3xds=0o又由曲线方程可知9xf+47=36.将此式代入积分式，得原式=§+4，')ds—§3xds=《36(13=36/

9.设L是柱面.『+尸=1和平面y+z=。的交线，从Z轴正向往负向看是逆时针方向，则曲线积分£zdr+ydz= .【答案】K【解析】平面£：y+x=O,取方向为上侧，得法向量为n={0,1.1},计算得，法向量的单位向量为5。齢有斯托克斯公式得j'Pdr+Qdv+Rdz=jj因此争zdr+ydz争zdr+ydz=jjd=卽dS=卦/1+0+_］）也如=K其中％={（x,”F+yyi}..若数列{4}收敛，则级数Z（%厂为）= rr»l【答案】收敛［解析］级数吏（jLS>6勺部分和数列为S,=（a2—ai）+（a3—⑶）+…+（a«+i一心）=5—%二、选择题.设apO（n=l,2,3,…），且收敛’常数"（0,丄；r），则级数£（—l）”（〃tan4）%n=i 2 "=i nA绝对收敛条件收敛发散D.敛散性与入有关【答案】A【解析】由于“为正项级数且收敛,则级数»：收敛，而(—1)"(man~)a2nI=(man^-)a2nTOC\o"1-5"\h\zn n(ntan-^-)a2«lim =A7^0—Qu3 3则〉2(〃tanf)s“收敛，(-l)"(wtan斗)如絶对收敛。12.设g(x)是可微函数，y=f(x)的反函数，且f(1)=0,J；M(x以r=1006，则(顷/的值为( 10201220132100【答案】B【解析】利用分部积分法，得=4。g(&d—j0^g[/(x)]//(x)dx=°— /(x)dj：=—jx2d/(x)=_工2/(工)+2,x/(x)<Lr=2£x/(x)dx=201213.®/,>()(//=I.2.•••),.% +•••+七.则数列｛、,侑界数列｛〃,｝收敛的( ).充分必要条件充分非必要彖牛必要非充分条件既非充分也非蠣条件【答案】B【解析】由于4>°，｛•、'，｝是单调递增的’可知当数列｛・〔｝有界时,｛畠｝收敛,即limM是存在的，此时有败〃啊伐_$1)=惭"_网5丄=0,,即皿｝收敛.反之，收敛，｛、，｝却不一定有界，例如：令=1，显然有皿｝收敛，但S”=〃是无界的，故数列｛»』有界是数列｛q,｝收敛的充分非必要条件.14.设有向量•=汉,,= =三点不共线，O为坐标原点，n为过三点的平面。则fi=aXg+AXy+yX<i必满足（ IK.n//k B.rJ.rC・（■..）=十D.■在二上【答案】A【解析】由题意知，三向量在坐标系内的关系如下图所示，则yOz平面即为平面TT的法向量,则有=aSx=（'一o）X（y-，）=，XY-oXy+dXg”xy+yx<i+ax，=■15.设流体的流速卩=（./+丁）/+化一1）疋2为锥面z=Jf+丁（o《z41），取下侧，则流体穿过曲面2的体积流量是（ \A.—4D.7T【答案】B【解析】该流体穿过£的体积超是0.=k'dS=II（八/）dzdx+（z-1）&dy1s解法一：用高斯公式，E不封闭，添加辅助面EI：z=l(1),法向量朝上，£与£|围成区域Q，取外侧。注意£与zox平面垂直=g+>2比*=°。又在£止，=1=>。”一1加/)，=0。在。上利用高斯公式，则Q=J(x2+y2)dzdx+(z-1)dxdy=J(♦y2)dxdx+(z-1)dxdy1 XuXi=f[^(?+y2) =他”』"=0+*=孚n, n n这里’。关于zOx平面对称，纣对丫为积函数，J"yw=o，jpw=圆锥体。的体积。解法二：直接计算，并对第二类面积分利用对称性。£关于zOx平面对称，x2+y2对丫为偶函数nJJ(j+y2“汕=o。又£在xOy平面上的投影区域+Q=g(z-1)dxdy=_g(JB♦孕-1)dxdyT：岫，-旻=-2“(！_!)=胃其中，E取下侧。解法三：直接投影到XOy平面上代公式。[~2 2 & V由£的方程z=,+y。旬=&；+任,又E在xOy平面的投影区域DA?,:x2+y2<L则=+ff。+y2(kdy-g(-/x2+y2-1)dxdy=0-p/x2+y2-Ddxdy=y这里由于％关于X轴对称，yj/+y2对丫为积函数，所以!"时厅翊=°。TOC\o"1-5"\h\z16.设区域D由曲线VsinX,I--号,y=l围成’则<ry-l)drdv=( )汗2-2-n【答案】D【解析】区域D如图中阴影部分所示，为了便于讨论，再弓|入曲线"-si"将区域分为打，*R四部分.由于外。，关于y轴对称，可知在上关于x的奇函积分为零，故口。'认心=0；• 外心.又由于"，口关于X轴对称，可知在久UR上关于y的奇函物为零，故』,江如)=0.因此脾/-1)翊=』她.D D利用图形割补的方法知，区域D的面积等于以长为;F、宽为1的长方形面积，即||dxdy=n17.设f(x)为连续函数’顷)=pyp(x)dx,则F'⑵=()。2f(2)f(2)-f(2)0【答案】(B)【解析】

解法一：由于考虑F(2>故可设t>1。对所给二重积分交换积分次序,得R E 邳F(£)=J/(x)dxJdy=J(x-l)f(x)dx于是，r(F(£)=J/(x)dxJdy=J(x-l)f(x)dx解法二：设f(x)的一个原函数为G(x),贝1」有F(t)=j j[G(t)-C(y)]dy=G(，)fd*-fG(y)dy=(r-l)G(O-fc(y)dy.求瀚矿(g)=C⑴+(<-D/(0-C(:)=(«-D/(0因此矿(2)=/(2)18.设曲线L为椭圆二+与=1,其周长为/,则扒*等于((a+b)/(a>b2)/a2b2Zab/【答案】C【解析】由题意知^(62x2+2abxy+a2>2)ds==a2b2lL.已知fx(0,0)=2,fy(0.0)=3则(XA.f(x,y)在点(0,0)处连续B，4fU>)l(00)=2dr+3Jy— =2cosa+3cos/?f(x,y)在点(0,0)处沿x轴负方向的方向导数为-2【答案】D【解析】设cos«，cosp为x轴负方向余弦，则cos=—1,cos/?=0由方向导数定义知，f(x,y)在(0,0)点处沿x轴负方向的方向导数为邪ZSf?)■■八。，。)

!im°。=_Hm久f虹厶‘外-人(。，0)=一2.设S：x2+y2+e=a2(z>Q),Si为S在第一卦限中的部分’则(1A.jjxdS=4jJxdSss、B.J]ydS=4jJydSTOC\o"1-5"\h\zs slc.jjzds=4j"dss s,D.jj.tyzJS=4jjxyzdSs s,【答案】c【解析】由于S关于yOz面和xOz面都对称，而f(x,y)二z关于x和y都是偶函数则三、计算题,求下列不定积分：⑴(2)jx>Jxdxi⑶儲(4)jx2\fxdx：⑸J糸(6)j泞如⑺J5必；j(x2-3x+2)dxi\-^=(g是常数)：J(.『+l)认：(IDJ(x/x+l)(V?-l)dr：(片"：J\lxj(2e'+-)dx：(14)(16)(17)广,)dx：3i+rj3WB：J3>dx;(18)secMsecx-tanx)dx:(19)cos'(20)(21)(22)(23)Jl+cos2.rrcos2x,J :_:Jcosx-sinxrcos2x,—;~ :Jcos*a:sinxJcot2xdx；jcosQ(tan0+sec0)d0:tx2,j空d.Jr+l【答案】⑵Ij-7xdr=Jdr=y^-j.r^+,+C=-|x^+C(3)壕了m"+c⑷jj•，芥dr=J盘dx=y^〔"+0=巴/+C京卷="&=峑，卄，+C=Y，T+C.m(7)j5r,dr=^jX,H+C=YJ,+C(24)(25)(26)J(^—3j-+2)dr=jFdr—3jjdr+2jdr=y—|+2r+CJWr急宀=盅脇+c膽+c.(10)J<y+l)Jdr=J(y+2?+Ddri/'d.i-2pdr+jdr=苓+釦+工+仁(11)J("+D(Z?T〉<k=j《,+丄—)心=j亍&+I|Z^dr-jdr(8)(9)3'5" 3*([2)J。尸>•&=J(ji_2i++L,)(tr=jxJdr—2jjz'-dr=*撰一§日+2』+仁J(2e*+y)dr=2jezdx+3j亨=2k+3ln|】|+C.卩亩-烏)&=3j岛句烏=3arcianj—2arcsinx+C.(15)jN(l_^)dr=Je_Jr+dr=k_2H+C.(⑹]成心=J&)'&=齢+0辭+仁(17)[土心1&=2[&_5[(音)*=宀习(g+c=&_爲器)'+c.(18)[sec./(secj--：anj)<Lr=JserxcLr—|secTian；(Ij=tanx—secx+C.(19)Jco—fdz=J1±弩&=yim+c.fdxfsec^x,tan«ri八», [cos2x,fcos^j—sin:x. 丄厂⑵)J成了赢7&一或土7心-ss-cou+C.[-T2^dr=f hcscJ-se石)&k7Jcosxsin*xJCOSzsinrJ=jcstrjdr-js«rjdr=-(coix+tanx)+CJcot2xdr=Jcsrxdr-Jdr^~cotj~x+C.Jcos^(tan^+sec0)d^=j*sin^cW+j*曲=—co初+0+C.Jjdr=j<£r—j貝知&=工-arcianr+Gj~r^Y~dr=J3x2dj~jdx+j孩、&=工，-z+arcianx+C2>求从顶点C所引22.已知△ABC的顶点为A(3,2,-1>B(5,-4,7)和2>求从顶点C所引【答案】设AB中点的坐标为(和，>o,%)，由3+5. 2-4 , 7-1丄。一-j-二4,>0=2 =T"。= 2从而顶点C所引中线的长度d=/(441)2+(-1-1)24(3-2)2=y/3023.对图所示的函数f(x),求下列极限，如极限不存在，说明理由.(|)邮W；lim/W；W(x)［答案】(I)阿⑴=olim/(x)=-l1削'⑴不存在，因为/(0+)”(0一)。24.某种合金的含铅量百分比(%)为P，其溶解温度(°C)为0,由实验测得p与0的数据如下表：p/%36.946.763.777.884.087.50/'C181197235270283292适用最小二乘法建立0与P之间的经验公式0=ap+b。【答案】设M是各个数据的偏差平方和’即M=£[饥-(apj+6)]2t■1票=-*2p』们-(op.+6)]=0

器=-再2[。-(硏+6)]=。整理，得

计算，得馬p?=28365.28,負P，计算，得馬p?=28365.28,負P，=396.68 6V0iPi=101176.3, =1458代入方程组，得28365.28a+396.6b=101176.3396.6a+66=!458解得4802.5〜2150.02—―54普95.33O所以经验公式为0=2.234p+95.33。25.在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0,并写出这法线的方程。【答案】设所求点为M（和,为,布），曲面在该点处的一个法向量为〃=（&，和，T），平面的法向量为（1,3，以按题意，n垂直于平面，故有Zoxo-1 = S 1 3 1求得和=-3,y0=-I,%=xoro=3o于是所求点为M(-3,-1,3)，法线方程为x+3 y41_z_3~T~四、证明题26.设f四、证明题26.设f（X）,g（X）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导证明在（a.b）内有一点§.（f）|s炊I加丨f（a）f（x）g。）g（x）使Ig(u)【答案】取函数F（x）=，由f（x）,g（x）在［&bl上连续,在（&b）内可导知f（X）在［&bl上连续，在（ab）内可导，由拉格朗日中值定理知至少存在一点Se心）,使F（b）-F（a）=F\^b-a）即F(奸/(a)F(奸/(a)/(/>)F(a)=/(«)/(u)=0g(a>g(。)r(x)=【°S[+|0g<x)l/(a)/<x)lf(a)/(x)lg(">/(x)|/(«)g(d)f(b)g'/(«)g(d)f(b)g'(£〉27.求过点(3,1,-2)且通过直线三4二守=；的平面方程.【答案】利用平面束方程，过直线守二守二幸的平面束方程为守_守叫守廿。将点(3,1,-2)代入上式得人=；；).因此所求平面方程为=0x-4y+3ll/y+3=01 +20(—8x-9y-22z-59=028.设函数f(x)在闭区间［0,1］上连续，并且对［0,1］上任一点x有0了(X)<L试证明［0,1］中必存在一点C(C成为函数f(X)的不动点\【答案】设F(x)=f(x)—X,则F(0)=f(0)>0,F(1)=f(1)-l<0若F(0)=0或F(1)=0,则0或1即为f(x)的不动点；若F(0)>0且F(1)<0。贝U由零点定理，必存在s(0,l),使F(c)=0,即f(c)=c,这时c为f(x)的不动点。29.已知b=(、6,也)，c=(cx,r,,cf),试利用行列式的性质证明(axb)*c=(bxc)«a=(cxa)*b【答案】因为(axb)•c=(cxa)•b=(axb)•c=(cxa)•b=而由行列式的性质知(axb)-c=(bxc)a=(cxa)-b30.利用高斯公式推证阿基米德原理浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力(即浮力)的方何铅直向上,其大小等于这物体所排开的液体的重力.【答案】取液面为xOy面，z轴铅直向上。设液体的密度为卩。在物体表面取面积元素dS,M(x,y.z)为dS上的一点匹0),£在点M处的夕卜法线向量的方向余弦为cosa,cop,cosy,则dS所受液体的压力指向内法线方向(—cosq,-cosp.一cos?),压力在x轴、y辄z轴上的分量分别为pzcosadS,pzcosfidS,pzcosydS£所受的液体的总压力在各坐标轴上的分量等于上列各分量元素在£上的积分，由高斯公式可算得F;=兀=rIS=伫=F;=兀=rIS=伫=IIS=.皿切汚dz(V为。的体积)，故合力F=pVk此力的方向铅直向上，大小等于被物体排开的液体的重力。2017年宁波大学理学院871高等代数考研强化模拟题(四)说明：①本资料为VIP学员内部使用，严格按照2017考研专业课大纲及历年常考题型出题。一、填空题1•经过平面芻財>+1=0,巧*2>+2z=Q的交线，并且与平面沔2x-y-z=0垂直的平面方程是 O【答案】3x+4y+2z+2=0【解析】解法一：设平面E与TT2的交线L的方向向量为1J*«=|»,Xnt-II0-=2i-2/+kI22求出L上的一个点：联立m、T12方程jx+>4-1=0]x+2,y4-2z=0令x=0,得点Mn(0,-1,1)0所求平面Ti过Mo点与s及叫=(2,-1,一1)平行，因此，TI的方程是y+1r—1TOC\o"1-5"\h\z—2 1 =02-1 -1即3x+4y+2z+2=0解法二：也可用平面束方程来考虑：设所求平面n的方程为A(J-+>+D+^(z+2y+2c)-0 (1)即(A+p)x+(A4-2“)《y+ +A=0因为TT垂直于TT3,所以”•s=0,即2(A+“)-(人+2“)一2〃n0取4=2,得以=1,将4=2,“=1.代入(1)式，得出ti的方程3工+4y+2会+2=0.(4j*+2y+3室=62-通过直线+y=° 且与球面丄'+/+/A4相切的平面方程为 【答案】Z=2[解析】由于所求平面经过已知直线，故可设所求平面方程为(2x+y)+A(4x4-2^4-3z-6>=0(2+42)工+(1+22”+3左一6义=0

又所求平面与已知球面相切，则球心到所求球面的距离等于该球面的半径2,根据点到平面的距离的计算公式可得成2+4人沪+（1+2人尸+（3人沪解得…丄故所求平面方程为Z=2.2之2之（二1）小2”的收敛半径为n【答案】方2,+(—D-2,+(—D-则R /级数却奇次项）'故该幕级数的收敛5则R /级数却奇次项）'故该幕级数的收敛54.设闭区域〃=|（r）质+在&2},则+#）&d：化【答案】¥（》%）【解析】用极坐标计算：0=\（p,0）|0W,WR.0W8W2E愕+誹汕』峥+罕-=r（啰+制峋w=孕佶喘）亨（》=）5.设£球面尸+y2十/=］在第一卦限部分的下侧，则【答案】-佥【解析】jjjyz&dy=_JJh,>/1—x2—j2djrdyp'cos^sin。p'cos^sin。>/l—p'pdp cosQsinOdojp'Jj_寸dp15* 6.已知曲线L为曲面京2-宀寸与J+y2=］的交线，则时，元2用= K【答案】3【解析】将二+J=1代入z=/2-P-y得z=l贝|」曲线l的参数方程为x=cosrvy=sinZz=1 ^r2y2z2d5=jcos七sir?£ —sin/)2+(cost)24-02d/=4Jcos2tsin2/dt=4J(1—sin2r)sin2zdrf.JL(sin%—sin4Z)d/丄.匹—旦2*TI7.由曲线八“绕y轴旋转一周所得旋转曲面在点《0,疗,収）处指向外侧的单位法向lz=0量为 【答案】｛。鶴调［解析】根据曲线绕y轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到，旋转曲面的方程为3#+2寸+3丁=12而旋转曲面上任意一点Mo（%,火，&）处的切平面的法向量为«=其中F=3?+2>2+3/—12.故在点（0扃据）处曲面指向外侧的法线向量为•=（0.273,3^｝将其单位化，得八｛。髓黑x=arctant,8.曲线丿 .~上对应于t=l的点处的法线方程为 y=lnVl+r【答案】y+x-^-lnV2=0

【解析】由题中函数表达式得，孚=滂=罕。，、idxdx/dtI1+?故法线为y-lnx/2=-（x-^）.gp>'+x-^-lnV2=0o9.向量场 =xyl【解析】由题中函数表达式得，孚=滂=罕。，、idxdx/dtI1+?故法线为y-lnx/2=-（x-^）.gp>'+x-^-lnV2=0o9.向量场 =xyli+y.j+xln(l+zf)Jt在点P(1,1,O)处的散度divA= •[答案】2【解析】divA=京(巧\)+土(W>+余[招11，1+/)]=[/+八2口/《1+zfpci.i.o>10.设函数Z=Z(x,y)由方程(£+y)‘=X.V确定’则仁dx(1.2)【答案】2(1-ln2)【解析】设F(x,y,z)=(z+y)*-xy，则Ft(x.y.z)=(z+y)4ln(z+y)-y.F«・y.z)=x(z+y)*1所以-=-k(z+G'InG+y)x(z+yY'又z(1,2)=0,得=2(1—In2)二、选择题|二、选择题|角411.设〃.b2电_y_缶z-c3X_,y-b,z-c,则直线刊r砂r商与直线子『厂矿亍評 、A相交于一点重合平行但不重合异面直线【答案】A【解析】设（釦，毎心），显然M”M3分别在两已知的直线上，-（%一，也—b[1）,又

«|—Of8—biCl—。0 0 0- 站一6jct—ct=ot—<ij6：— cttj=0ai~fli板~b\ —Cia>— bi—bic,—c.因此，两已知直线共面。缶Ci—"zb\—bic缶Ci—"zb\—bict—ct勾缶仁=at~<ijb2— ct—ca> 缶 C|故KX与两直线共面,可知，上式第二个行列式的第一、12.已知级数》(・1)"麻血丄绝对收敛，级数、条件收敛，则()Vi■| n 〃A.O<a<:1<a<A2-^-<a<22【答案】D【解析】因为级数亍(-1)"亦血丄绝对收敛，则力历sin土收敛，而当n-8时,TOC\o"1-5"\h\z= n •=« 〃7nsin— rI由正项级数的比较判别法知级数\'―收敛，根据级数的收敛条件有Q-丄>1K厂 2计算得a>号又由2(二A)眞件收敛知2-a>0,即a<2.it-1nlim(x.j)^(0.0)/(x,y)二。(X2+>2)2综上得言<a<213lim(x.j)^(0.0)/(x,y)二。(X2+>2)2则下述四个选项中正确的是( )点(0,0)不是f(x,y)的极值点点(0,0)是f(x,y)的极大值点点(0,0)是f(x,y)的极小值点(D)根据所给条件无法判断(0.0)是否为f(x,y)的极值点

【答案1(A)【解析】令；子,则由题设可知/(%,*)=尤〉+p4+0(p4)当(x,y)->(0,0)时，p—0。由于f(x,y)在(0,0)附近的值主要由xy决定，而xy在(0,0)附近符号不定，故点(0,0)不是f(x.y)的极值点，即应选(A、本题也可以取两条路径y=x和尸=一乂来考虑。当丨xI充分小时，f(x9x)=%2+4x4+o(x4)>0,/(x,-x)=-.2+4x4+o(x4)<0故点(O.O)TSf(X.y)的极值点，因此答案选(A\14.设L为双酒 =択2(?一寸)(犬>0),则丄|)|ds=()eA./?2(2-V2) B.2RU1-初C.3R，(2-晅) D.2RH2一血)【答案】D【解析】由积分曲线方程(F十寸尸=R2(7一矿)(択>0)可知，该积分曲线关于X,y轴都对称,贝(JjJ>|^=4yds。其中，J是L在第一象限的部分，在极坐标，有 y=r(8)siM=x/R^cosM•siMds=^(ff)+rfi(ff)dff(其中r1=R'cos28)|y|ds4「R/cos2伽MjR*g20+(七 dff|y|dssiWtM=2R*(2-V2)15.设a,b为非零向量，且满足(a+3b)丄(7a-5b),(a-4b)1(7a-2b),则a与b的夹角8=01-7T01-7T【答案】c【解析】由两向量垂直的充要条件得+黒,:“一次!(Q—40)•K/a—40)］7|。：2+16。・3一15|6|'=0 (1)即|7|aP-30。・b+8|b|z=0 (2)(1)-(2)得。・b=¥，(1) (2)x15得a・b=冬.1AEK由上两式得a=IM从而。.七-工丄，即。一*何矿1，厂216.du=Uxcosy—ysiruOdi+Uycoskr—fsinyldy的函数U(X,y)等于( 1—cosx+t2cosy+Cylcosy+j