【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-3双基限时练15

双基限时练(十五)1．设ξ是随机变量，a，b是非零常数，则下列等式中正确的是()A．D(aξ＋b)＝a2D(ξ)＋b B．E(aξ)＝a2E(ξ)C．D(aξ)＝a2D(ξ) D．E(aξ＋b)＝aE(ξ)答案C2．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝1.6，,np1－p＝1.28，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝0.2，,n＝8.))答案A3．设离散型随机变量为ξ，下列说法中正确的是()A．E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．E(ξ)反映了ξ取值的平均水平D．D(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值答案C4．若ξ是一个随机变量，则E(ξ－E(ξ))的值为()A．无法求 B．0C．E(ξ) D．2E(ξ)解析∵常数b的均值还是b，而E(ξ)为一个常数，∴E(E(ξ))＝E(ξ)．∴E(ξ－E(ξ))＝E(ξ)－E(ξ)＝0.故选B.答案B5．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的状况为工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20则有结论()A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C．两人的产品质量一样好D．无法推断谁的质量好一些解析设甲、乙出次品的个数分别为ξ、η.则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(η)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9.∵E(ξ)>E(η)，∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些，故选B.答案B6．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝eq\f(1,3)，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)等于()A．6 B．9C．3 D．4解析由题意知，E(ξ)＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,3)＝2.D(ξ)＝(1－2)2×eq\f(1,3)＋(2－2)2×eq\f(1,3)＋(3－2)2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).∴D(3ξ＋5)＝9D(ξ)＝6.答案A7．已知某运动员投篮命中率P＝0.6，则他连续投5次，命中次数η的方差为________．解析依题意知η～B(5,0.6)D(η)＝5×0.6×(1－0.6)＝1.2.答案1.28．已知随机变量ξ的分布列如下ξ123P0.40.1x则ξ的标准差为________．解析∵由分布列的性质知，x＝0.5，E(ξ)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，D(ξ)＝(1－2.1)2×0.4＋(2－2.1)2×0.1＋(3－2.1)2×0.5＝0.484＋0.001＋0.405＝0.89.∴σ(ξ)＝eq\r(Dξ)＝eq\r(0.89).答案eq\r(0.89)9．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)＝________.解析依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝2b，,a＋b＋c＝1，,－a＋c＝\f(1,3)))解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2).故D(ξ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(16,9)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,9)×eq\f(1,3)＋eq\f(4,9)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).答案eq\f(5,9)10．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析依题意成功次数ξ服二项分布，即ξ～B(100，p)，D(ξ)＝100p(1－p)≤100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋1－p,2)))2＝25.当且仅当p＝1－p，即p＝eq\f(1,2)时，成功次数的标准差有最大值5.答案eq\f(1,2)511．有A，B两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：ξA110120125130135P0.10.20.40.10.2ξB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中ξA，ξB分别表示A，B两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A，B两种钢筋哪一种质量较好．解先比较ξA与ξB的期望值：E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，所以，它们的期望值相同．再比较它们的方差：D(ξA)＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，D(ξB)＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165，所以D(ξA)<D(ξB)，因此A种钢筋质量较好．12．甲、乙两人射击，甲射击一次中靶的概率是p1，乙射击一次中靶的概率是p2，且eq\f(1,p1)，eq\f(1,p2)是方程x2－5x＋6＝0的两个实根．已知甲射击5次，中靶次数的方差是eq\f(5,4).(1)求p1，p2的值；(2)若两人各射击2次，至少中靶3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？(3)若两人各射击1次，至少中靶1次就算完成目的．则完成目的的概率是多少？解(1)由题意可知，甲射击5次中靶次数ξ听从二项分布B(5，p1)，∴D(ξ)＝5p1(1－p1)＝eq\f(5,4).∴peq\o\al(2,1)－p1＋eq\f(1,4)＝0，解得，p1＝eq\f(1,2).又eq\f(1,p1)·eq\f(1,p2)＝6，∴p2＝eq\f(1,3).(2)分两种状况：共击中3次的概率为Ceq\o\al(2,2)(eq\f(1,2))2(eq\f(1,2))0×Ceq\o\al(1,2)(eq\f(1,3))1(eq\f(2,3))1＋Ceq\o\al(1,2)(eq\f(1,2))1(eq\f(1,2))1×Ceq\o\al(2,2)(eq\f(1,3))2(eq\f(2,3))0＝eq\f(1,6)；共击中4次的概率为Ceq\o\al(2,2)(eq\f(1,2))2×Ceq\o\al(2,2)(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,36).故所求概率为eq\f(1,6)＋eq\f(1,36)＝eq\f(7,36).(3)两人各射击1次，都未中靶的概率为(1－eq\f(1,2))(1－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3)，∴两人各射击1次，至少中靶1次的概率为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).13．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较.X012Peq\f(6,10)eq\f(1,10)eq\f(3,10)Y012Peq\f(5,10)eq\f(3,10)eq\f(2,10)解工人甲生产出次品数X的期望与方差分别为：E(X)＝0×eq\f(6,10)＋1×eq\f(1,10)＋2×eq\f(3,10)＝0.7，D(X)＝(0－0.7)2×eq\f(6,10)＋(1－0.7)2×eq\f(1,10)＋(2－0.7)2×eq\f(3,10)＝0.81.工人乙生产出次品数Y的期望与