2025年苏教新版高一数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年苏教新版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、【题文】如图，在正三棱锥中，分别是的中点，且则正三棱锥的体积是（）

A.B.C.D.2、【题文】

已知集合=（）A.B.C.D.3、设向量定义一运算：已知．点Q在的图像上运动，且满足（其中O为坐标原点），则的最大值及最小正周期分别是（）A.B.C.D.4、已知则=（）A.2B.-2C.3D.-35、若角α的终边上有一点P（m，2m），（m＞0），则sinα的值是（）A.B.-C.±D.2评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、将以下各数20.7，log54，用“＜”连接：____．7、=____．8、【题文】定义在R上的运算:x*y=x(1-y),若不等式(x-y)*(x+y)<1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是____.9、【题文】棱长为的正方体有一内切球，该球的表面积为10、【题文】已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为______．11、已知娄脕隆脢[娄脨2,3娄脨2]娄脗隆脢[娄脨2,3娄脨2]sin娄脕=7m鈭�3sin娄脗=1鈭�m

若娄脕+娄脗<2娄脨

则实数m

的取值范围为______．评卷人得分三、解答题(共5题，共10分)12、（本题9分）已知函数（Ⅰ）若在上的最小值是试解不等式（Ⅱ）若在上单调递增，试求实数的取值范围。13、已知函数有如下性质：如果常数那么该函数在上是减函数，在上是增函数．（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值；（2）证明：函数（常数）在上是减函数；（3）设常数求函数的最小值和最大值．14、【题文】（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥中，平面

是的中点.

（1）证明：平面

（2）若求二面角的正切值.15、【题文】已知三角形的三个顶点求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．16、已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜π）的图象的一个最高点为（-2）与之相邻的与x轴的一个交点为（0）．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）求函数y=f（x）的单调减区间和函数图象的对称轴方程；

（3）用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期区间上的图象．评卷人得分四、证明题(共4题，共16分)17、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．18、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．19、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．评卷人得分五、综合题(共4题，共16分)21、在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．22、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

23、如图，在矩形ABCD中，M是BC上一动点，DE⊥AM，E为垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的长是方程x2-（k-2）x+2k=0的两个根；

（1）求k的值；

（2）当点M离开点B多少距离时，△AED的面积是△DEM面积的3倍？请说明理由．24、如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果；那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中；若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？

（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】【解析】

试题分析：如图，取线段的中点连接则依题意可知且顶点在底面的射影落在上，所以由面可得而所以由线面垂直的判定定理可得平面所以有而是边的中点，所以而所以而由线面垂直的判定定理又可以得到平面再结合三棱锥为正三棱锥且所以该正三棱锥的侧棱两两垂直且所以故选B.

考点：1.空间中的垂直问题；2.三棱锥的体积问题.【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C3、B【分析】【解答】由已知得∵点Q在的图像上运动，∴．故选B．4、C【分析】【解答】解：∵

故选C．

【分析】对所求式分子分母同时除以cosα，转化成关于tanα的关系式即可得到答案．5、A【分析】解：∵|OP|==m（m＞0）．

∴=．

故选：A．

利用三角函数的定义即可得出．

本题考查了三角函数的定义，属于基础题．【解析】【答案】A二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】

由指数函数和对数函数的性质知20.7＞1，0＜log54＜1，

又

又-log35＜-log34，即

∴综上可得

故答案为：

【解析】【答案】先确定每个数的范围；从范围上比较某些数的大小，不能从范围上直接比较大小的，可以进行对数运算后比较大小或者构造函数结合函数性质比较大小。

7、略

【分析】

=|3-π|=π-3

故答案为：π-3

【解析】【答案】根据公式化简即可。

8、略

【分析】【解析】∵(x-y)*(x+y)=(x-y)(1-x-y)

=x-x2-y+y2

<1,

∴-y+y22-x+1,要使该不等式对一切实数x恒成立,则需有-y+y2<(x2-x+1)min=

解得-<【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：易知球的直径为所以球的表面积为

考点：有关正方体的内切球问题。球的表面积公式。

点评：我们做题要注意总结：（1）棱长为的正方体有一内切球，内切球的直径为（2）棱长为的正方体有一外接球，外接球的直径为体对角线，即（3）长方体的外接球的直径是体对角线的长。【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数；

∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称；

∴即a－1＝－2a，∴a＝

∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数；

即f(－x)＝f(x)，∴b＝0；

∴f(x)＝x2＋1，x∈[－]，其值域为{y|1≤y≤}．【解析】【答案】[1，]11、略

【分析】解：隆脽娄脕隆脢[娄脨2,3娄脨2]娄脗隆脢[娄脨2,3娄脨2]

且娄脕+娄脗<2娄脨

隆脿娄脕鈮�3娄脨2

且娄脗鈮�3娄脨2

又sin娄脕=7m鈭�3sin娄脗=1鈭�m

隆脿鈭�1<7m鈭�3鈮�1鈭�1<1鈭�m鈮�1

解得：27<m鈮�47垄脵

由娄脕+娄脗<2娄脨

得：娄脕<2娄脨鈭�娄脗

又娄脗隆脢[娄脨2,3娄脨2]

故2娄脨鈭�娄脗隆脢[娄脨2,3娄脨2]

而娄脕隆脢[娄脨2,3娄脨2]y=sinx

在区间[娄脨2,3娄脨2]

上单调递减；

隆脿sin娄脕>sin(2娄脨鈭�娄脗)=鈭�sin娄脗

即7m鈭�3>m鈭�1

解得：m>13垄脷

由垄脵垄脷

得实数m

的取值范围为：(13,47]

．

故答案为：(13,47]

．

依题意，可知娄脕鈮�3娄脨2

且娄脗鈮�3娄脨2

由鈭�1<7m鈭�3鈮�1鈭�1<1鈭�m鈮�1

可解得：27<m鈮�47垄脵

进一步可分析出sin娄脕>sin(2娄脨鈭�娄脗)=鈭�sin娄脗

即7m鈭�3>m鈭�1

解得：m>13垄脷

从而可得答案．

本题考查三角函数的最值，分析得到sin娄脕>sin(2娄脨鈭�娄脗)

是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．【解析】(13,47]

三、解答题(共5题，共10分)12、略

【分析】【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得在上单调递增，所以2分又所以2分所以即不等式解集为1分（Ⅱ）因为在上单调递增，所以①2分或②2分综上，考点：二次函数的单调性；二次函数的最值；不等式的解法；函数的图像。【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）13、略

【分析】本题考查函数的性质和应用，解题要认真审题，仔细求解（1）根据题设条件知=4，由此可知b=4．（2）根据已知函数定义法，设出变量作差，变形定号，确定结论。（3）根据∵c∈（1,9）然后得到函数的单调区间进而得到最值【解析】【答案】解.(1)b=4.(2)证明略(3)当1；当3<9时,函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.14、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了线面垂直和二面角的求解的综合运用。

（1）因平面∴∵是的中点。

∴为△中边上的高，∴∵

∴平面

（2）延长DA；CB相交于点F；连接PF、DB过点P作PE⊥BC，垂足为E，连接HE

由（1）知平面则PH⊥BC又∵PE∩PH=P，∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE

∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角，然后利用解三角形得到结论。【解析】【答案】解：（1）证明：∵平面∴

∵是的中点。

∴为△中边上的高；

∴

∵

∴平面6分。

（2）方法1：延长DA；CB相交于点F；连接PF、DB

过点P作PE⊥BC；垂足为E，连接HE

由（1）知平面则PH⊥BC

又∵PE∩PH=P；∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE

∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角9分。

在△FDC中，∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝

∵平面∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD，∵PC＝∴CD＝4

∵∴AB＝2，∴BD＝

∴AB是△FCD的中位线；FD＝CD

∴BD⊥CF

∴HE＝

∵PH＝1，∴14分。

方法2：由（1）知平面如图建立空间直角坐标系.

∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝

∵平面∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥PD，∵PC＝∴CD＝4

∴

设平面BCD、平面PBC的法向量分别为

则设

∵令则

设二面角P－BC－D为

则故15、略

【分析】【解析】如图，过的两点式方程为整理得．这就是边所在直线的方程．

边上的中线是顶点与边中点所连线段，由中点坐标公式可得点的坐标为即．

过的直线的方程为

整理得即．

这就是边上中线所在直线的方程．【解析】【答案】边所在直线的方程是中线所在直线的方程为16、略

【分析】

（1）依题意，知A=2，=于是可求得ω=2；f（x）=2sin（2x+φ）过点（-2），|φ|＜π，可求得φ，从而可得函数y=f（x）的解析式；

（2）利用正弦函数的单调性与对称性可求得函数y=f（x）的单调减区间和函数图象的对称轴方程；

（3）令2x+取0，π，2π，得到对于的自变量x的值及函数值y的值，列表，描点；作图即可．

本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查正弦函数的单调性与对称性的综合应用，属于难题．【解析】（1）由题意，A=2，=-（-）=

∴T==π；ω=2；

∴f（x）=2sin（2x+φ），将（-2）代入，得sin（-+φ）=1；

∵|φ|＜π，故φ=

∴函数y=f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．

（2）由+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），得-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）；

∴函数的单调减区间是[-+kπ，+kπ]（k∈Z）；

由2x+=+kπ（k∈Z），得x=-（k∈Z）；

∴函数图象的对称轴方程为x=-（k∈Z）．

（3）①列表。

。x--2x+0π2πy02-202②描点画图。

四、证明题(共4题，共16分)17、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．18、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=19、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．五、综合题(共4题，共16分)21、略

【分析】【分析】先根据一次函数的解析式求出点A及点B的坐标，利用勾股定理解出线段BC、AB的坐标，分一下三种情况进行讨论，（1）若D点在C点上方时，（2）若D点在AC之间时，（3）若D点在A点下方时，每一种情况下求出点D的坐标即可．【解析】【解答】解：∵A；B是直线与y轴、x轴的交点；

令y=0，解得；

∴；

令x=0；解得y=-3；

∴A（0；-3）；

由勾股定理得，；

（1）若D点在C点上方时；则∠BCD为钝角；

∵∠BCD=∠ABD；又∠CDB=∠ADB；

∴△BCD∽△ABD；

∴；

设D（0；y），则y＞1；

∵；

∴；

∴8y2-22y+5=0；

解得或（舍去）；

∴点D的坐标为（0，）；

（2）若D点在AC之间时；则∠BCD为锐角；

∵∠ABD=∠BCD；又∠BAD=∠CAB；

∴△ABD∽△ACB，∴；

设D（0，y），则-3＜y＜1，又；

∴；

整理得8y2-18y-5=0；

解得或（舍去）；

∴D点坐标为（0，-）；

（3）若D点在A点下方时；有∠BAC=∠ABD+∠ADB＞∠ABD；

又显然∠BAC＜∠BCD；

∴D点在A点下方是不可能的．

综上所述，D点的坐标为（0，）或（0，-）．22、略

【分析】【分析】（1）由∠B=∠B；∠C=∠BMP=90°证明；

（2）勾股定理求出AB的长；相似三角形求出y与x的函数关系式，求出取值范围；

（3）根据内切圆的特点，求出x，y的值．【解析】【解答】（1）证明：∵AB切⊙P于点M；

∴∠PMB=∠C=90°．

又∵∠B=∠B；

∴△BPM∽△BAC．

（2）解：∵AC=3；BC=4，∠C=90°；

∴AB=5．

∵；

∴；

∴（0≤x＜4）．

当x＞y时；⊙P与AC所在的直线相离．

即x＞；

得x＞；

∴当＜x＜4时；⊙P与AC所在的直线相离．

（3）解：设存在符合条件的⊙P．

得OP=2.5-y，而BM=；

∴OM=；

有；

得

∴y1=0（不合题意舍去），y2=．

∴时，x=．23、略

【分析】【分析】（1）根据根与系数的关系；列出方程组解答；

（2）根据（1）中k的值解方程，求出AD和BC的长，然后根据相似三角形的性质解答．【解析】【解答】解：（1）根据题意列方程组得：解得；

即3