2022年中考数学试题专项汇编：锐角三角函数

（9）锐角三角函数—2022年中考数学真题专项汇编

1.【2022年天津】tan45。的值等于（）

A.2B.lC.—口.由

23

2.【2022年陕西A】如图，是△ABC的高.若皮＞=2。=6,tanC=2,则边AB的长为（）

A.3枝B.3小C.3/7D.6V2

3.【2022年四川乐山】如图，在RtAABC中，ZC=90°,8C=下，点〃是AC上一点，连结8D

若tanNA=1,tanNABD=-,则CD的长为（）

23

A.26B.3C.6D.2

4.【2022年浙江杭州】某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆。E

直立在同一水平地面上（如图），同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是

BC=8.72m,EF=2.18m.已知8,C,E,尸在同一直线上，AB1BC,DE1EF,

BCEF

5.【2022年陕西A】如图，在菱形ABC。中，AB=4,BD=7.若M,N分别是边A。，BC上的动

点，S.AM=BN,作ME_LBD,NF1BD,垂足分别为E,F,则ME+NF的值为.

AMD

BNC

6.【2022年浙江绍兴】圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪

器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称

为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为

冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表

AC垂直圭BC,已知该市冬至正午太阳高度角（即乙"C）为37。，夏至正午太阳高度角（即

（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）.

34319

（参考数据：sin37°a—,cos37°®，tan37°~—,tan84°。一）

5542

7.【2022年江西】图（1）是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图（2）所示的示意图，已知

ABHCDHFG,A,D,H,G四点在同一直线上，测得NFEC=/A=72.9。，AD=1.6m,

EF=6.2m.

图（1）图（2）

（1）求证：四边形。E尸G为平行四边形;

（2）求雕塑的高（即点G到A8的距离）.

（结果保留小数点后一位.参考数据：sin72.9°«0.96,cos72.9°工0.29,tan72.9°。3.25）

8.【2022年陕西A】小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某

一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物。B的影长OC为16米，0A的影长。。为20米，小明

的影长尸G为2.4米，其中。，C,D,F,G五点在同一直线上，A,B,O三点在同一直线上，且

AO1OD,EF_1_用.已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AA

CFDC0

9.【2022年河南】开封清明上河图是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是

园内最高的建筑.某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的

仰角为34。，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端〃的仰角为45。.已知测角仪的高

度为1.5m,测量点A,8与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精

确到1m.参考数据：sin340»0.56,cos34°»0.83,tan34°®0.67）.

10.【2022年山东青岛】如图，A8为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活.绿色出

行”健步走公益活动.小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68。的点C处，观光船到滨

海大道的距离CB为200米.当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40。的

方向航行至点〃处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到。处的距离.

（参考数据：sin40°«0.64,cos40°»0.77,tan40°«0.84,sin68°°0.93,cos68°70.37,

tan68°x2.48）

b

11.【2022年天津】如图，某座山A8的顶部有一座通讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线上.从

地面尸处测得塔顶C的仰角为42。，测得塔底2的仰角为35。.已知通讯塔BC的高度为32m,求这

座山的高度（结果取整数）.

（参考数据：tan35°«0.70,tan42°»0.90）

12.【2022年重庆A】如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道.

经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米.点E在点A的正北方向.点8,。在点C的正北方

向，瓦）=100米，点2在点A的北偏东30。，点。在点E的北偏东45。方向.

（1）求步道。E的长度（精确到个位）；

（2）点。处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点8到达点也可以经过点

E到达点。请计算说明他走哪一条路较近.（参考数据：1.414,6*1.732）

13.【2022年山西】随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距

离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，C。两座楼之间的距离，他们借助无人机

设计了如下测量方案：无人机在AB,两楼之间上方的点。处，点。距地面AC的高度为60

m,此时观测到楼A8底部点A处的俯角为70。，楼C。上点E处的俯角为30。，沿水平方向由点。

飞行241n到达点尸，测得点E处俯角为60。，其中点A,B,C,D,E,F,。均在同一竖直平面

内.请根据以上数据求楼A3与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m.参考数据：

sin70°a0.94,cos70°»0.34,tan70°a2.75,/，1.73).

14.【2022年山东济宁】如图1,在Rt^ABC中，ZC=90°,NA,ZB,2C的对边分别为a,

b,c.

.a.cb

sinA=­,sinB——,

cc

ab

..c—-------,c---------♦

sinAsinB

a_b

sinAsinB

拓展探究

如图2,在锐角△回（7中，ZA,ZB,NC的对边分别为a,b,c.

请探究，—，工,£之间的关系，并写出探究过程.

sinAsinBsinC

解决问题

如图3,为测量点A到河对岸点8的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C,测得AC=60m,

ZA=75°,/C=60。.请用拓展探究中的结论，求点A到点8的距离.

15.【2022年江西】综合与实践

问题提出

某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF

（/尸=90。，ZF=60°）的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角

板P即与正方形ABC。重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.

图⑶

操作发现

（1）如图（1）,若将三角板的顶点尸放在点。处,在旋转过程中，当。/与重合时，重叠部

分的面积为;当。/与BC垂直时，重叠部分的面积为；一般地，若正方形面积为

S,在旋转过程中，重叠部分的面积S与S的关系为.

1

类比探究

（2）若将三角板的顶点厂放在点。处，在旋转过程中，0E,。尸分别与正方形的边相交于点M,

N.

①如图（2）,当时，试判断重叠部分△0W的形状，并说明理由；

②如图（3）,当CM=CW时，求重叠部分四边形。MCN的面积（结果保留根号）.

拓展应用

（3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，该锐角记为NGO//（设NGOH=a）,将

NGOH绕点。逆时针旋转，在旋转过程中，NGOH的两边与正方形A8C。的边所围成的图形的

面积为S,请直接写出S的最小值与最大值（分别用含a的式子表示）.

22

（参考数据：sinl5°=—~,cosl5°=.6+、2,tanl5°=2->J3）

44

答案以及解析

L答案：B

2.答案：D

解析：BD=2CD=6,.-.CD=3.vtanC=2,AD=6.在RtAABD中，AD=6,BD=6,由

勾股定理可知AB=6>/I.

3.答案：C

解析：过。点作于E,

AE2BE3

1BC[51

.,.2DE+30E=5Z)E=AB,在RtZVlBC中，tanNA=-，BC=君，；.="=,解得

2ACAC2

AC=2卡,AB=1AC?+BC?=5,DE-1,AE=2,

AD=>JAE2+DE2=Viz+22=5/5,:.CD=AC-AD=-j5,故选：C.

4.答案：9.88

解析：…ACHDF,ZACB=ZDFE,tanZACB=tanZDFE,即"

BCEF8.722.18

/.AB=9.88m.

5.答案:7记

2

77

解析：连接AC父3。于点0,则OB=OD=-，AC_L&).在Rt/XAOB中，AB=4,BO=-,

22

AO=店.在菱形ABCD中,ADIIBC,:.ZCBD=ZADBAM=BN,MELBD,

2

NFLBD,

ME+NF=MDsinZMDE+BNsinANBF=MDsinZADO+AMsinZADO=ADsinZADO

=4。=叵

2

6.答案：(1)47°

(2)3.3米

解析：(1)•.•NADC=84。，ZABC=31°,

:.ZBAD=ZADC-AABC,

:.ZBAD=47°.

答：/胡。的度数是47。.

AT

（2）在中,tan37°=——

BC

BC=AC

tan37°

有心高

同理，在Rt^ADC中,

•.•BD=4,

AT

...BC—DC=-----------=BD=4.

tan37°tan84°

42

:.-AC——AC«4,

319

AC®3.3（米）.

答：表AC的长是3.3米.

7.答案：（1）证明见解析

（2）雕像的高约为7.5m

解析：（1）AB//CD,A,D,H,G四点共线,

:.ZGDE=ZA.

NFEC=ZA,

:.ZGDE=ZFEC,

EFIIDG.

又rCDIIFG,

二.四边形OEFG为平行四边形.

(2)•四边形。EFG为平行四边形，EF=62m,

DG=EF=6.2m,

AG=AD+DG=1.6+6.2=7.8(m).

如图，过点6作6加LAB于点M.

在中，AG=7.8m,NA=72.9°,

GM=AG-sin72.9°a7.8x0.96a7.5(m).

答：雕塑的高约为7.5m.

8.答案：旗杆的高48为3米

解析：AD/IEG,:.ZADO=ZEGF.

又；ZAOD=ZEFG=90°,:.AAOD〜△EFG,

AO_OD£FOZ)1.8x20

AO=

EF-FGFG2.4

同理，△BOC-△AOD,

吆=也，力。=把空=巨学

AOODOD20

:.AB=OA-OB=3（米），

.•.旗杆的高为3米.

9.答案:32m

解析：如图，延长所交。C于点"，由题意知，EH1DC.

没DH=x.

在RtAD//F中，ZDFH=45°,

：.FH=DH=x.

在RtADHE中，ZDEH=34°,

PH_x

EH=

tan34°tan34°

Y

EF=15,EH-FH=15,即-------x=15,

tan34°

x~30.5,

DC=30.5+1.5=32.

答：拂云阁。C的高度约为32m.

10.答案：观光船从C处航行到D处的距离为462.5米.

解析：解：过点C作CF_LDE于点F,

D

由题意得，ZD=40°,ZACB=68°,

在中，ZCBA=90°,

•/tanZACB=—

CB

AB=CBxtan68°=200x2.48=496

BE=AB-AE=496-200=296

・.・ZCFE=ZFEB=ZCBE=90°

.•.四边形尸EBC为矩形

/.CF=BE=296.

在RtZ\CD尸中，ZDFC=90°

•/sinZD=—

CD

CF296

CD=---------«——=462.5

sin40°0.64

答：观光船从。处航行到。处的距离为462.5米.

11.答案：112m

解析：如图，根据题意，5。=32,ZAPC=42°,ZAPB=35°.

Ar

在RtZkR4C中，tan/APC=——

PA

•pA=___________

-tanZAPC

在中，tanZAPB=——，

PA

PA=-------------.

tan/APB

・.・AC=AB+BC,

AB+BC_AB

tanZAPCtanZAPB

「一。(

•B—____B__C__-_t_a_n_Z__A_P__B_________3__2__x_t_a_n__3__5_°____~___3_2__x_0__._7_0__—iio(JYI

tanZAPC-tanZAPBtan42°-tan35°0.90-0.70

答：这座山AB的高度约为112m.

12.答案：（1）步道DE的长度约为283米

（2）小红经过点B到达点D的路线较近

解析：（1）如图，过点E作团，0c于点

在Rt^EHD中，ZD=45°,

DE=近EH®1.414x200=282.8a283.

答：步道。E的长度约为283米.

(2)在RtAEHD中，Z£>=45°,

DH=EH=100.

又8D=100,

BH=DH-BD=100.

在Rt△ACS中，ZABC=30°,

Ar-

AB=2AC=400,BC=---------=20。/,

tan30°

AE=HC=BC-BH=20073-100.

从点A经过点B到达点D的路线长为/15+BD=400+100=500；

从点A经过点E到达点D的路线长为

AE+DE=200>/3-100+200"»200x(1.732+1.414)-100=529.2.

答：小红经过点B到达点D的路线较近.

13.答案：58m

解析：分别延长AB,C。与直线。月交于点G,点、H,如图，

G0FH

A

贝！］ZAGO=ZEHO=90°.

又「NG4c=90。，，四边形ACHG是矩形，

GH=AC.

由题意，得AG=60,OF=2.4,ZAOG=70°,/EOF=30°，ZEFH=60°.

在RtAAGO中，ZAGO=90°,tanZAOG=—

OG

“AG6060…

OG=--------------=----------«-------®21.8.

tanZAOGtan70°2.75

・.・/EFH是△K9尸的外角，

:./FEO=/EFH-ZEOF=60°-30°=30°,

:"EOF=NFEO,EF=OF=24.

FH

在RtAEHF中，/EHF=90。，cosZEFH=——

EF

:.FH=EF-cosZEFH=24xcos60°=12,

,\AC=GH=GO+OF+FH=21.8+24+12«58(m).

答：楼与C。之间的距离AC的长约为58m.

14.答案：拓展探究：见解析

解答问题：点A到点5的距离为30Wm.

解析：（拓展探究）证明：作CCAB于点，AEIBC于点E.

CD

同理：sinB=

BCa

乌，sin〃G4二处AE

sinABAC=—

ACbACb

AE=csinB,AE=bsinZBCA,

CD=asin5,CD=bsinABAC.

/.csinB=/?sinZBCA，asin5二bsinABAC.

b_ca_b

sinBsinZBCAsinABACsinB

a_Z?_c

sinABACsinBsinZBCA

（解答问题）解：在△ABC中，ZCBA=180°-ZAZC=180o-75°-60o=45°.

•«AB—AC,•AB—60.

sinCsinZCBAsin60°sin45°

解得：AB=3046.

答：点A到点B的距离为30而m.

15.答案：（1）1,1,S=-S

i4

（2）①/XOMN是等边三角形

②6-1

（3）S的最小值为tan%，S的最大值为l-tan（45-a）

*i2

222

解析：（2）①△OAW是等边三角形.

理由：

方法一：如图（1）,连接08,OC.

图⑴

♦・•四边形A5c。是正方形,

OB=OC,ZOBC=ZOCB=45°.

♦・,在八OBM与/\OCN中，

OB=OC,

<ZOBC=ZOCB,

BM=CN,

=AOCN,

:.0M=ON.

X-/AMON=60。，

:./\OMN为等边三角形.

方法二：如图（2）,连接05,OC,过点。作0。，5c于点0.

图（2）

・・•四边形A5CZ）是正方形，

/.OB=OC.

0QLBC,

：.BQ=CQ.

・.•BM=CN,

BQ-BM=CQ-CN,BPMQ=NQ.

・.♦OQLMN,

:.OM=ON.

・・•AMON=60°,

:.^OMN为等边三角形.

②连接OC

・・・四边形ABCD是正方形，

:.ZOCM=ZOCN=45°.

在△OCM与△OGV中,

CM=CN,

<ZOCM=/OCN,

oc=oc,

:△OCM=Z\OCN,

:"COM=ZCON.

・.・AMON=60°，

:.ZCOM=ZCON=30。，

:.ZOMB=NCOM+ZOCB=30。+45。=75。，

ZOND=ZCON+ZOCN=30。+45。=75。.

方法一：如图(3),过点。分别作OKJ_5C于点K,作OR_LCD于点R.

/.MK=OK-tanZKOM=2-也,

：.s=-OKMK=2~^.

△OMK22

同理可得s=石史，

△ONR2

:.S=S-S-S=l-2~^-2-^=73-l.

四边形OMCN正方形。KCRAOMKAONR22

方法二：如图（4）,过点O分别作OU1BC于点U,OTLOP交BC于点T.

AD

图（4）

在△O7M中，ZOMT=75°,ZMOT=90°-60°=30°,

:.ZOTM=180°-ZOMT-ZMOT=75°,

:.ZOMT=ZOTM，

OT=OM.

又OUIBC,

TM=2MU.

在RtZkOMZ/中，OU=1,AMOU=9Q°-ZOMU=15°,

MU=OU-tanZUOM=2-5

:.TM=2MU=4-273>

:.S=-MT-OU=2-^3.

△OMT2

由(1)的结论可知：s=1,

四边形OTCN

:.S