2021-2022学年高中数学北师大版选修1-1课后巩固提升打包资料

第一章_常用逻辑用语

命题

课后篇巩固提升

1.下列语句是命题的是（）

①三角形内角和等于180°;②2>3;③一个数不是正数就是负数;④%>2:⑤这座山真险啊!

A.®®（3）B.①®@C.①②⑤D.②③⑤

庭附④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题.

2.“若sin则xN”的否命题是（）

A.若sinx〈，则x<

B.若则sinx2

C.若工<,则sinx<

D.若sinxW,则

廨桶若sinx，,则的否命题是“若sinx<,则x<”.故选A.

3.如果命题“若切<3,则,”为真命题，那么该命题的结论q可以是（）

2n<2B.w<4

C.m>2D.〃?>4

1S|B

函由集合的性质,可知帆<4的范围要比题干中m的范围大，所以取加<4,故选B.

4.下列命题是假命题的是（）

A.若log2X<2,则0<x<4

B.若a与b共线，则a与b的夹角为0°

C.已知各项都不为零的数列｛小｝满足小+-2%=0,则该数列为等比数列

D.点（兀,0）是函数产sinx图像上一点

SUB

暖函对于A,由于此对数函数单调递增，并且结合对数函数定义域，即可求得结果，所以是其命

题；

对于B,向量共线，夹角可能是0°或180°,所以是假命题；

对于C,将式子变形可得=2,且符合等比数列定义，所以是真命题；

对于D,将点代入解析式，等号成立,所以是真命题.故选B.

5.已知不等式x+320的解集是A,则使得o£A是假命题的a的取值范围是（）

A.[-3,+00）B.（-3,+co）

C.S-3]D.（-OO,-3）

|^M]D

：3+320,,：A=3x2-3｝.

又：Z£A是假命题，即/4,」〃v-3.

6能说明"在中，若sin2A=sin28则4=8”为假命题的一组A,B的值是________.

国夏]A=60°,8=30°（答案不唯一）

解析|当A=60°,8=30°Hl,sin2A=sin120°=,sin2B=sin600=，此时sin2A=sin28,但A与3

不相等.故4=60°,8=30°.

7.命题“若xeR,则炉十(中1次十1是0恒成立”是真命题,则实数a的取值范围为.

噩[-1,3]

姓画由题意得AKa-l/KO,即-lgaW3.

8.分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.

(1)若910,则2¥+1>20;

(2)如果两圆外切，那么两圆圆心距等于两圆半径之和；

(3)在整数中，奇数不能被2整除.

假(1)逆命题:若2什1>20,则x210,是假命题.

否命题:若xvlO,则2X+1W20.是假命题.

逆否命题:若2r+lW20,则“<10.是真命题.

(2)逆命题:如果两圆圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切.是其命题.

否命题:如果两圆不外切，那么两圆圆心距不等于两圆半径之和.是真命题.

逆否命题:如果两圆圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切.是真命题.

(3)逆命题:在整数中,不能被2整除的数是奇数.是真命题.

否命题:在整数中，不是奇数的数能被2整除.是其命题.

逆否命题:在整数中，能被2整除的数不是奇数.是真命题.

9.命题”0?-233>0不成立”是真命题,求实数。的取值范围.

解因为ar-2ax-3>0不成立，

所以or2.2ar-3W0恒成立.

(1)当a=0时,-3W0成立.

⑵当"0时，应满足解得・3WavO.

由(1)⑵得a的取值范围为[-3,0].

第一章一常用逻辑用语

§2充分条件与必要条件

课后篇巩固提升

1.“。二2”是“直线ax+2y=0平行于直线工+产1”的()

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

窿责若a=2Mar+2>-=0即x+)，=0,与直线x+y=l平行，反之若直线ar+2y=0与x+y=\平行,

则-=-l,a=2,故选C.

2.2x2-5x-3<0的必要不充分条件可以是()

A..-<x<3B.-lcr<4

C.0<x<2D.-2<x<2

辐B

解析出"3〈0=伽+1)。-3)<0—：3,

即泊・5心3<0的充要条件是・a<3,

观察选项发现I，-vx<3/是｛x|-l<x<4｝的真子集，故选B.

3.“函数4x）=cosx+"l有零点”是'0W机辽1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

嬴B

解析|令兀0=0得cosx=+1,若函数有零点，则・1W-〃?+1W1,解得0WmW2,因此“函数/（x）=cos

x+w-1有零点”是“0W〃?忘1”的必要不充分条件.

4.已知直线a,瓦平面a/,且a_La,任人则“a_Lb”是“a〃/^'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

jfgB

解析|q_La,若a〃4则a_LA因为任少,所以alb成立.而a_Lb,显然不能推出a〃从所以2"Lb”

是％〃夕的必要不充分条件.

5.在AABC中，角A,B,C的对边分别为〃力©则2=8”成立的必要不充分条件为（）

A.sinA=cos（B-）

B.acosA-bcosB=0

C.bcosA=acosB

D.

SM|B

解析A.sin4=cos1B-）=sin8,因为A,3是三角形内角，所以A=8,所以4:8与sinA=sinB等价,

故A错误；

B.flcosA-bcos8=0,则sinAcosA=sinBcos8,sin2A=sin2B,2A=2B或2A+2B=TI,即A=B或

4+8=，故B正确；

C.bcosA=acosB,则sinBcosA=sinAcos8,所以tanA=tan84=8,所以4=8与bcos

A=acosB等价，故C错误；

D.时,由正弦定理得，即ian4=tanB=tanCA=B=C，满足充分性，故D错误.故选B.

6.《墨子•经说上》上说:“小故，有之不必然，无之必不然.体也，若有端.大故，有之必然，若见之成

见也.”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的

（选“充分条件”“必要条件充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空）.

餐嵬必要条件

丽由“小故，有之不必然，无之必不然也'‘，知"小故’’是导致某个结果出现的几个条件中的一

个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件.

7.下列四个命题为真命题的是（填序号）.

①是"2。>26’的充要条件；

②“a=b”是“lga=lgb”的充分不必要条件;

③“函数/）=o?+Zu（x£R）为奇函数”的充要条件是％=0”；

④“定义在R上的函数y"x）是偶函数”的必要条件是“=1”.

甥①③

豳①真，丁产2人在R上是增函数,,>>〃=2。>24名假,当“bW0时，怆/怆人无意义:③其直工）

是奇函数q（-x）HK）RoaF-bx+av2+bx=0^ax1=0=。=0;④假，如fix）=x1-\是偶函数，但

<1）=0,无意义.

8.分别指出下列题目中〃是夕的什么条件.

(1)p:x-2=0,^:(x-2)(x-3)=0;

(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等；

(3)p:，〃v-2,q:方程^-x-/7?=0无实根；

(4)〃:一个四边形是矩形同:四边形的对角线相等.

假(1)：*2=0n(x-2)(x-3)=0,而(彳-2［。-3)=0,则x=2或尸3,故不能推出工-2=0,.：〃是q的充分

不必要条件.

(2)：•两个三角形相似不能推出两个三角形全等，但两个三角形全等能推出两个三角形相

似，•:p是q的必要不充分条件.

(3)：>〃<-2=方程/*m=0无实根，而方程/正川=0无实根，则A=l+4勿<0,即机故不能

推出m<-2,/.p是q的充分不必要条件.

(4)丁矩形的对角线相等，•:png,而对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形)，

•：q*p、・：p是q的充分不必要条件.

9.已知p:x2-3x+2>0,^:X2+(6f-1)x-a>0(t?为常数).若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范

围.

凰不等式r+(4・1)『4>0等价于(x+a)(x・l)>0.

当a>-l时jv-a或4>1,即人的取值范围为(3,-a)U(l,+uo)；当aW-1时川vl或Q-a,即人

的取值范围为(-oo,l)U(-4,+co).

x2-3x+2>0的解为x<l或x>2,因为〃是q的充分不必要条件，所以1Ww<2,解得

故实数a的取值范围是{。卜2<aW-l}.

第一章—常用逻辑用语

§4逻辑联结词“且”“或”“非”

课后篇巩固提升

1.己知p:2+2=5q:3>2,则下列判断错误的是()

A.p或q为真，非g为假B.p且q为假，非p为真

C.p且q为假，非p为假D."且q为假,p或q为真

Me

暧画命题p为假命题，命题q为其命题，则〃或q为真,p且q为假，非p为真，非q为假,C项错

・口

沃.

2.若命题“p/\g”为假，则()

A.pVq为假B.g假

C.g真D.不能判断p,q的真假

函D

解画由于“p△4”为假，则p,q中一真一假或p,g均为假命题，因此，不能判断pq的真假，故选D.

3.下列命题为假命题的是()

A.3是7或9的约数

B.两非零向量平行，其所在直线平行或重合

C.菱形的对角线相等且互相垂直

D.若x2+)2=0,则x=0且y=0

园画菱形的对角线互相垂直但不一定相等.

4.己知命题p:对任意xWR,总有用引O,q：x=l是方程x+2=0的根，则下歹]命题为真命题的是

()

A.pA(GB.(p)t\q

C.(p)A(q)0Pl\q

gS]A

涎画因为命题〃是其命题，命题q是假命题，

所以“是真命题，所以p/\(夕)是真命题，故选A.

5.已知命题p:函数人工)=在区间(0,+oo)上是减少的;命题q:关于x的不等式。-2)2>〃?的解集为

R,若〃A(夕)是真命题,则实数m的取值范围是()

A.{/mV}B.{mI/?iCO或m>}

C.0D.{mIOW/n<)

族|D

画若〃为真命题，则1-2〃00,解得,〃v.若“为其命题，则5O.因为〃A(幻是真命题,所以〃

真夕假，因此即OWmV.

6.命题“28是5的倍数或是7的倍数”中使用的逻辑联结词是.

藕|或

7.命题“若x+y=2,则x2+产22”的否定是.

囊若x+y=2,则/+9<2

8.已知命题口:函数产在R上为增函数必:函数产2、+2/在R上为减函数，则在命题g刖

丫〃2,平：〃1八P2,0：(Pl)Vp2和内的A(必)中，真命题是.

|答案7,夕4

暖画由指数函数的性质，可知函数尸2七2孑在R上为增函数，所以命题p：为真命题，pi为假命

题;函数产2、+2<在区间(-8,0)上是减少的，在区间(0,+8)上是增加的，所以命题p2是假命

题，P2是真命题.所以命题9刖\//?2为真命题，伙孙八位为假命题43：(P1)V〃2为假命题,农：〃1

A("2)为真命题.

9.分别写出由下列各组命题构成的“pVq^p八夕”及“p”形式,并判断真假.

(1)p:2〃-1(〃GZ)是奇数,字2止1(〃6Z)是偶数；

(2)p:a2+b2<O,q:a2+b220;

(3)p:集合中的元素是确定的4集合中的元素是无序的.

觑(1)〃"夕:2〃-1(〃£引是奇数或是偶数,是真命题.

〃八4：2〃-1(/I£Z)既是奇数又是偶数，是假命题.

p:2〃-l(〃£Z)不是奇数，是假命题.

(2)p\/q:a2+h2<0或层+力22o,是真命题

pAq:a2+b2<0且标+6》。,是假命题

p:屋+620,是真命题

(3)〃V4：集合中的元素是确定的或是无序的，是真命题.

p/\q:集合中的元素是确定的且是无序的，是真命题.

p:集合中的元素是不确定的，是假命题.

10.已知a£R,命题〃:八£[1,2],。3任命题g3xWRX+2a¥-(a-2)=0.

(1)若〃是真命题，求a的最大值；

(2)若p\Jq是真命题,p/\q是假命题，求a的取值范围.

圈(1)令久、•)二/,若命题p:Vx£[l,2],aW/为真命题，

则aW/(X)min,

又兀t)min=l,所以aWl.

所以a的最大值为I.

(2)因为是真命题，"八g是假命题，所以p马q一真一假.

当q是真命题时/=4〃2-4(2-4)20,解得aW・2或

当p是真命题,q是假命题时，有

解得-2<a<l;当p是假命题，,是真命题时，

有解得

综上。的取值范围为(-2/)U(1,+oo).

第一章测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)

1.下列语句是真命题的是()

A.这是棵大树吗？

Bu+y+z=3

C.函数凡0K2是增函数

D.素数不一定是奇数

jfgD

廨薪|选项A和B不是命题;选项C是假命题;2是素数，但不是奇数，故D项正确.

2.下列有关命题的说法错误的是()

人.号=1"是“/-34+2=0”的充分不必要条件

B.命题“若/-3x+2=0,则X=1”的逆否命题为“若存1,则娉3工+2缈’

C.若命题R,使得f+x+1<0.则R,均有x2+x+120

D.若p/\q为假命题，则p、q均为假命题

g<|D

函对于A,x2-3x+2=0的解为x=l或x=2,所以“x=l”是'f-3x+2=0”的充分不必要条件,A正

确；

对于B,命题“若『-3/2=0,则x=l”的逆否命题为“若在1,则N-3A2和”,B正确；

对于C,特称命题的否定为全称命题,C正确；

对于D芾p'q为假命题，则pq中至少有一个为假命题,D错误.故选D.

3.已知命题“若34>0,则。乂“，则在命题〃的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个

数为()

A.OB.I

C.2D.3

庭画原命题p为真,故其逆否命题为真;p的逆命题为假，故其否命题也为假，因此假命题的个数

为2.

4.已知命题p:Vx>(U+22,那么命题p为()

A.Vx>0^r+<2

B.VxW0/+v2

C.mx>0/+<2

D.3x<0,x+<2

gg]c

庭册全称命题的否定是特称命题，要前双量词，后面否定结论，故选C.

5.对于非零向量2力；&^=0”是%〃1)”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

^S|A

廨析|若a+b=O,则a=-b,所以a/7b.

若a〃b,则a+b=O不一定,成立，

所以"a+b=O”是“a//b”的充分不必要条件.

故选A.

6.设命题p:函数尸在定义域上是减函数;命题g:存在实数a，£(0,+8),当a+b=l时,=3,以下说

法正确的是()

A.p\lq为真

B.p八4为真

C.p真q假

D.pq均为假

童D

姓画显然命题〃为假命题.当a,b>^a+b=\时,=(a+b)=2+24,故不存在。力七(0,+8),使得=3,

即命题q为假命题.

7.已知兀Onmf+lXgCr)=皿，若对任意x\£[0,3],存在心0[1,2],使得於i)2g3),则实数用的

取值范围是()

A.

B.

C.

D.

魂A

解析|当xW[0,3]时<x)minM°)二°•当工£口,2]时田(吩而11=8出=・九由於)1«会8(吩而11,得02的,所

以〃?•2.故选A.

8.已知命题p:存在(1,2),使得e%>0,若p是真命题,则实数a的取值范围为()

A.(-oo,e)

B.(-8,e]

C.(e2,+oo)

D.[e2,+<»)

g^|D

丽因为p是其命题，所以p是假命题，所以任意1,2),有e%W0,即。2匕又产己在(1,2)

上的最大值为e?,所以。2e2.

9.已知p:存在x£R,〃*+lWO,g:任意xGR,d+/nx+l>0,若p\q为假命题,则实数m的取值范

围为()

A.{m|m^2)

B.{m|mW・2}

C.[in\in^-2或加22}

D.{词-2WmW2)

MA

解析|由p:存在xBRjnx2+1WO,可得〃?<0.由g:任意xeR42+mr+1)0,可得△=〃产-4<0,解得

-2vmv2.因为p\q为假命题，所以p马q都是假命题.若p是假命题，则有m20;若q是假命题,

则有〃?W-2或622.故符合条件的实数m的取值范围为m，2.

10.已知p:实数X满足F4ov+3a2<0,其中心0同：实数x满足/-5.1+6W0.若p是q的必要不充

分条件，则实数a的取值范围是()

A.ll,2]B.(I,2)

C.(2,+oo)D.(0,l)

量B

解析|设A={x|xJ-4ox+3«2<0,cr>0),

8={x|/-5x+6W0},

则A={x[a<xv3a},B={x|2W#W3},

因为p是q的必要不充分条件，所以B£A,

所以所以1<a<2.

所以实数。的取值范围是(1,2).

11.已知函数小)-(a£R),给出两个命题:〃:函数/)的值域不可能是(0,+8)四:函数上)的递增区

间可以是(-%-2].则下列命题为真命题的是()

A.pAq

B.pV(q)

C.(p)Aq

D.(P)A(q)

fgc

涎画当a=0时段)=的值域为(0,+oo),故命题〃为假命题;要使函数外)的递增区间是(6,-2],只

需yua^+Zr-l的递减区间是(-co,-2],这时只要满足解得a=，因此命题q为真命题.故(p)/\q

为真.

12.若匕>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()

A.(3,+oo)

B.(-oo,3)

C.(4,+oo)

D.(-8,4)

^S|A

解析|若2，>a-x,即2*+x>a,设凡0=2*+x,该函数为增函数，由题意知2*+x>a成立，即网»。成立

能得到公>1;反之不成立,因为当£>1时<X)>3,所以。>3.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)

13.使得“尸〉”成立的一个充分条件是.

gglvlo<x<J

廨丽于，故2、>,等价于x>2舄解得0<x<,

使得“2'>”成立的一个充分条件只需为集合屋l0<x</的子集即可,故答案可以为

{[0<x<J.

14.已知命题p:若。力£R,则ab=O是a=0的充分条件，命题g:函数)=的定义域是，则"pV"』p

℃P”是真命题的是.

答案p

的依题意知〃假,q真,所以“pVq”"p”是真命题.

15.函数外户有且只有一个零点的充要条件是.

答案|cWO或a>\

画当x>0时/=1是函数的一个零点，要使函数有且只有一个零点，应使函数用:)在(心⑼上没

有零点抑-2*+4=0无解，而当A<0时0<2》忘1,所以实数a应满足aWO或心I.

16.下列四个命题：

①R,x2-x+1W0”的否定；

②“若/+X-620,则x>2”的否命题；

③在△A8C中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件；

④“函数危)=33+e)为奇函数”的充要条件是“9=E(A£Z)”.

其中真命题的序号是.(真命题的序号都填上)

噩①②

解析|对于①，因为Px+l=(J2+>0,所以命题FxOR4-x+l&0”为假命题，所以命题FxU

RX-x+1W0”的否定为真命题；

对于②，由好+“/二⑴以北⑵)。,解得x22或x<-3,即命题“若炉+片620,则x>2”的逆命

题为真命题，所以其否命题为真命题；

对于③，例如4=160°,此时sinAvsin1500=，所以充分性不成立，

反之，若sinA>且0°VAV180',根据三角函数的性质，可得4>30°和必要性成立，

所以在AABC中,“4>30°”是“sin4>”的充分不必要条件是假命题：

对于④，由函数<x)=tan(x+9)为奇函数可得(p=kn或s=+E(%£Z),所以该命题为假命题.

故答案为①②.

三、解答题(本大题共6小题，需写出演算过程与文字说明，共70分)

17.(本小题满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题.

⑴若a/二,则sina=cosP\

(2)已知a,b,c,d为实数，若a处,则a+c¥〃+d.

国(1)逆命题:若sina=cos.,则a/=.

否命题:若sina^cosfi.

逆否命题:若sin存cos』,则a-阱.

⑵逆命题:巳知a,b,c,d为实数，若。+分力+",则atb、cfd.

否命题:已知a,b,c,d为实数，若a=b或c=d,则a+c=b+d.

逆否命题:已知a,b,c,d为实数，若a+c=h+dMa=b或c=d.

18.(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假.

(1)至少有一个整数，它既能被11整除,又能被9整除.

(2)任意x£{4r>0},x+22.

(3)存在{x|xGZ),log2X>2.

凰I)命题中含有存在量词“至少有一个“，因此是特称命题，真命题.

(2)命题中含有全称量词“任意”,是全称命题，真命题.

(3)命题中含有存在量词“存在”,是特称命题，其命题.

19.(本小题满分12分)已知命题:“存在实数3-1<%<1},使等式^-x-m=0成立”是真命题.

(1)求实数机的取值集合M-

(2)设不等式(『a)(x+a-2)<0的解集为N,若x£N是的必要条件,求实数a的取值范围.

圈(1)由题意知，方程/*加=0在(11)上有解，

即机的取值范围就为函数)=炉-不在(-1,1)上的值域,易得M-.

(2)因为N是M的必要条件，所以MGN.

当a=\时，解集N为空集，不满足题意.

当a>\时,a>2-a,

此时集合N={x|2・a<r〈a},

则解得a>.

当«<1时,a〈2-a,

此时集合N={x［a<x<2-〃},

则解得av・.

综上可知,4的取值范围为.

20.(本小题满分12分)已知曲线CW+y+Gr+gv+FRC+fiMQO),求曲线C在x轴上所载

的线段的长度为1的充要条件.

阚充要条件是GM尸=1.

必要性:令产0,则/+Gt+F=O.

设由H2为此方程的根，

若%-"2|==1,则G24尸=1.

充分性:令产0,则W+Gx+PR.

设方程的两根为M/2,

则X\+X2=-G^C\X2=F.

因为G2/尸=1,

所以|XI-M|二

==1.

21.(本小题满分12分)已知p:>2,q'Jc2-ax+5>0.

(1)若p为真，求x的取值范围；

(2)若q是p的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

网(1)因为p为真，所以>2,所以<0,所以。-2)(片5)<0,

解得2<x<5,即x的取值范围是(2,5);

(2)因为q良p的充分不必要条件，所以〃是夕的充分不必要条件，

所以p对应的x取值集合是q对应的x取值集合的真子集，

即对任意x£(2,5)^-av+5>0IsAi,

所以对任意xW(2,5),a<x+,即Q+)min/£(2,5),

又因为x+22=2,当且仅当x二时，等号成立，所以ae(-oo,2).

22.(本小题满分12分)已知命题p:函数_/U)=|2x+3c|在［-1,+QO)上是增加的;命题夕:函数四)=+2

有零点.

(1)若命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围；

(2)是否存在实数c,使得p/\(4)是真命题?若存在，求出c的取值范围;若不存在，说明理由.

解因为於)二亿叶3。|二

所以式x)的单调递增区间是.

又因为贝X)在［-1,+8)上是增加的，

所以-W-1,解得c2.

因为函数g(x)=+2有零点，

所以方程+2=0有实数根，

即2炉+以:+2=0有实数根，因此/-1620,

解得c>4或cW4

(1)当命题p和夕均为真命题时，

应有

解得c24.

所以c的取值范围为[4,+co).

(2)存在.要使p/\(g)是其命题，应使〃真g假，

因此有

解得Wc<4.

故存在实数c,使得pA(夕)是真命题，此时c的取值范围为.

第二章DIERZHANG圆锥曲线与方程

S1椭圆

11椭圆及其标准方程

课后篇巩固提升

1.设定点凡(0,-2),尸2(0,2),动点P满足条件|PFi|+|尸川=小+(〃?>2),则点P的轨迹是()

A.椭圆

B.线段

C.不存在

D.椭圆或线段

SHA

解薪|因为，心2,所以机+>2=4,所以点P的轨迹为以Fi,B为焦点的椭圆.

2.椭圆=1的焦点坐标是()

A.(±5,O)

B.(0,±5)

C.(0,±12)

D.(±12,0)

[^]c

因为/=〃功2=169-25=122,所以c=12.又焦点在y轴上,故焦点坐标为(0,±12).

3.已知椭圆=1的一个焦点为(0,2),则m的值为()

A.lB.3

C.5D.8

函因为=1,椭圆的一个焦点为(0,2),

所以椭圆的焦点在y轴上，所以屋=2见按=6.

因为42=2">6=4,所以加=5.故选C.

4.己知椭圆=1上一点P到两个焦点人尸2的距离之差为2,则APQB的形状为()

A.直角三角形

B.锐角三角形

C.钝角三角形

D.等边三角形

|^M|A

国画不妨令|尸尸IHP尸21=2,由IPBI+I尸尸2|=8,|P川-方尸2|=2,解得|尸尸||=5,|尸尸2|=3.

又尸匹1=4,满足IP&F+ia尸2|.|PQ匕

尸2为直角三角形.

5.已知P是椭圆=1上一点再，尸2为焦点，且NF|PB=9O°,则△PFE的面积是.

^116

函由楠圆定义知|PQ|+|PF2|=ZJ=10,①

丁/QP尸2=90°,

2222

.：|PFI|+|PF2|=|FIF2|=4C=36,②

由①②，得|P/IHPF2|=32.

ZS=|PFI||PF2|=16.

6.若椭I员1=1的焦距等于2,则根的值是.

|答案|16或14

解析|当#有圆的焦点在X轴上时,。2=皿。2=15,

所以/二6-15,

所以2c=2=2,解得小二16;

当椭圆的焦点在y轴上时，同理有2=2,

所以机=14.

7.已知椭圆的焦点是凡(-1,0),尸2(l,0),P是椭圆上的一点，若|尸国|是伊川和IPBI的等差中项，则

该椭圆的方程是__________.

■=1

姓画由题意得2|尸|尸2|二仍尸||+|尸尸2],

所以4c=2a=4,所以。=2.

又c=l,所以hr=a1-c2=3,

故椭圆方程为=1.

X.已知椭圆e=i(〃M〉o)经过(J,一个焦点为(,0),求椭圆c的方程.

网由题意得解得。=2/=1,所以椭圆。的方程是+产1.

9.已知产是椭圆4y行上的一点,R,B是椭圆的两个焦点.

(1)当NPPF2=60°时，求AHP尸2的面积；

(2)当NQPF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围.

敏1)由椭圆的定义，

得IPQI+IP尸21=4,①

且尸i(-,0),尸2(,0).

在AQP尸2中,由余弦定理得用产2口引PBF+IP尸2|2-2|PBHP尸21cos60°.②

由①②得

|PF1I|PF2|=.

所以|PFiHPp2|sinNFiP&=.

(2)设点尸Sy),由已知NF7尸2为钝角，得<0,即(x+j)G-,y)vO,

又产=1、所以/<2,

解得YX<,

所以点P横坐标的取值范围是(-).

第二章™圆锥曲线与方程

01椭圆

1.2椭圆的简单性质

课后篇巩固提升

A组

1.下面是关于曲线4炉=12・3尸对称性的一些叙述：

①关了人轴对称;②关丁)•轴对称;③关于原点对称;④关于直线yf对称.其中正确叙述的个数

为()

A.lB.2C.3D.4

解画曲线方程4/=12-3)2可化为=1,故该曲线为焦点在)，轴上的椭圆，由椭圆的性质，知该曲线

关于x轴、y轴、原点对称，将曲线方程中的x换成y,y换成x,得=1,与原曲线方程不同，故该

曲线不关于直线)对称.

2.若点A(1,M在椭圆的内部则实数m的取值范围是()

A.(-)

B.(-)

C.(-00,-)U(+oo)

D.(-)

国明由题意知,<1,解得〃?wU,

故选B.

3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为尸(1,0),离心率等于，则椭圆C的方程是()

A.=lB.=l

C.=lD=1

瓯D

丽|设椭圆。的方程为=1(公>。>0),

则c=l,e=，所以a=2,b=,

所以椭圆。的方程是=1.

4.设椭圆的两个焦点分别为月,尸2,过尸2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点R若△RPF2为等腰直

角三角形，则椭圆的离心率为（）

A.B.C.2-D.-1

fgD

姓明由已知伊22|=2。,・：|尸产1|二2。.由椭圆的定义知|「尸1|+仍尸2|=2。,即2c+2c=2a,.：e=-L

5.17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明方程/-/二02/〉。房1,内0）表示

椭圆,费马所依据的是椭圆的重要性质:若从椭圆上任意一点P向长轴A8（异于A,8两点）引垂

线,垂足为Q,则为常数.据此推断，此常数的值为（）

A.椭圆的离心率

B.椭圆离心率的平方

C.短轴长与长轴长的比

D.短任长与长轴长比的平方

葬D

回画设隔圆方程为=1（心6>0）,取P为椭圆的上顶点，则Q为原点.

PQ=bXQ=BQ=a,则.

故选D.

6.设椭圆C:=l（a>b>0）的左、右焦点为Fi尸2,过户2作x轴的垂线与C交于4B两点,R8与y

轴交于点D若AZ）_LBB,则椭圆C的离心率等于.

H

函因为ABVx轴,所以点。为产港的中点，

且以冏=.

又ADVF\B,

所以依尸||二依8],

所以2a-,

所以

所以e=.

7.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<eW,则长轴长的取值范围为.

尊（2,4]

丽因为OveW,

所以0</4

又因为所以Ovl-,

所以一1V0,所以vl,

所以所以1<〃W2,

所以长轴长2a£（2,4].

8.椭圆E:=l（>比>0）的离心率是，点P（0,l）在短轴C。上，且=-1,则椭圆£的方程

为.

H=1

解画由已知，点C,D的坐标分别为[0,-圾（0力）.

又尸点的坐标为（0』）,且二」,

于是解得。=2/=,

所以椭圆E方程为=1.

9.如图所示，尸1,尸2分别为椭圆的左、右焦点,M为椭圆上一点，且时尸2，尸1尸2/加产1尸2=30。.

试求椭圆的离心率.

解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为

因为MF2~LF|P2,所以△MRB为直角三角形.

又NMBF2=3O°,

所以尸2IJ尸iBkIMFil.

而由椭圆定义知|A/Fi\+\MF2\=2a,

因此|MQ|二,|M尸2I二，

所以2c二,即，

即椭圆的离心率是.

B组

1.椭圆的焦点在“轴上，长、短半轴之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为（）

A.=lB.=I

C.=lD.=l

量A

解析I由题意得c=2,a+b=\0,

.:乒=（10-。）2=42_/=々2_20,

解得〃=36,抉=16,故椭圆方程为=1.

2.过椭圆=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（）

A.8,6B.4,3C.2,D.4,2

宣B

解画椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦（通径）是，

最长的弦为2。=4,最短的弦为二3,

故选B.

3.椭圆的离心率为,尸为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与尸关于直线y=x+4对称,则椭圆

的方程为（）

A.=l

B=1

C=1或=1

D.=l或=1

^¥|c

前由题意知，得层=2房=2。2,不妨设椭圆的方程为=1（〃9>0）,楠圆上任取一点P（X（）JQ）,取焦

点”（-«））,则尸尸中点人根据条件可得+4#/>尸==-1,联立两式解得xo=-4jo=4-c,代入桶圆方

程解得〃=3乃=3,由此可得椭圆的方程为=1或=1,故选C.

4.已知椭圆（7:+/1的两焦点为Q尸M点P（xo,yo）满足Owl,则IPQI+IPBI的取值范围

是

答案|[2,2)

解析由于0<<1,

所以点尸(沏J0)在椭圆十=1内部，且不能与原点重合.

根据椭圆的定义和几何性质知,|PFi|+|PF21V2。=2,且|PFi|+|PBI的最小值为点尸落在线

段Q尸2上,此时|PQI+|PBI=2.

故修尸1|+仍22|的取值范围是[2,2).

5.如图所示,尸2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵

坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率.

解设楠圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a力,c,则焦点为Q(・c,O)、尸2(c,0),

M点的坐标为，

则AMB尸2为直角三角形.

在RsMQ尸2中,|尸1尸2『十|M尸2|一|M尸1F,

222

即4C+Z>=|A/F1|.

而|WQ|+|M&|=b=2a,

整理得3c2=3a2-2必

又因为/=”.按，

所以3b=2a,

所以，

所以e2==l-,

所以e=.

6.在直线/*y+9=0上任取一点P,过点P以椭圆=1的焦点为焦点作椭圆.

(1)P点在何处时，所求椭圆的长轴最短？

(2)求长轴最短时的椭圆方程.

阿|PFi|+|?Bl=2a要使椭圆长轴最短，就是尸到Fi,尸2两点的距离之和最小，因而问题转化为

在直线/上求一点P,使|PQ|+|P尸¥为最小.

⑴如图，连接打工尸尸2尸(3,0)尸2(3,0),作点Fi关于直线/:y=x+9的对称点尸2’,则尸2'(-9,12),

那么与直线/的交点即为所求的点P.

易知FE'的方程为2x+y+6=0.

与直线y=x+9联立，

得产(-5,4).

(2)由(1)知%=6,4=3,

2_/=36,

此时,椭圆的方程为=1.

第二章-圆锥曲线与方程

§2抛物线

21抛物线及其标准方程

课后篇巩固提升

1.若点M(xj)满足,则动点M的轨迹是()

A.直线B.圆

C.椭圆D.抛物线

解析|依题意，动点M到点(0,0)的距离等于其到定直线3八+4广1-0的距离,R点(0,0)不在直线

3x+4y-l=0上，因此动点M的轨迹是抛物线.故选D.

2.若抛物线V=2px的焦点与椭圆=1的右焦点重合，则p的值为()

A.-2

B.2

C.-4

D.4

空D

廨薪|椭圆的右焦点为(2,0),

•：=2,.：p=4.

3.已知抛物线C:y2=x的焦点为F/(xojo)是C上一点JA尸|=沏,则须=()

A.4B.2

C.lD.8

ggc

廨所|如图，匕过A作/M'J_准线/,

•:\AF\=\AA%・：沏=沏+,

•：xo=l.

4.抛物线产加存0)的焦点到其准线的距离是()

A.

B.

C.\a\

D.-

SM|B

解析I：*2p=⑷,♦：〃=.

.:焦点到准线的距离是.

5.一动圆的圆心在抛物线r=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆过定点()

A.(4,0)

B.(2,0)

C.(0,2)

D.(0,4)

量B

前由题意易知直线x+2=0为抛物线>2=8%的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的

焦点.

6•点M到点?(-4,0)的距离比它到直线/:x-6=0的距离小2,则点M的轨迹方程为()

A.y2=16x

B./=-16x

C.y2=24x

py=-24x

族|B

髭责因为点M到点尸(40)的距离比它到直线Za-6-O的距离小2,所以将直线/;A-6-0左移2

个单位，得到直线x-4=0,即x=4.

可得点M到直线x=4的距离等于它到点(-4,0)的距离，

根据抛物线的定义,可得点M的轨迹是以点(-4,0)为焦点，以直线x=4为准线的抛物线，设

抛物线方程为y2=-2p*p>0),可得=4,得2P=16,所以抛物线的方程为即为M点的轨•迹

方程.故选B.

7.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点是原点O,且过点P(2,4),则该抛物

线的方程是.

|答案

暧画由题意可设抛物线方程为)，2=2以(40),

:•点尸(2,4)在抛物线上,・：4?=4a,.：a=4.

即所求抛物线的方程为/=8x

8.在抛物线尸=12丫上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________.

gg(6，±6)

解析|抛物线的焦点为厂(3,0),准线X=-3,抛讷线上的点P,满足|PF|=9,设P(KO,加)，则

|PF|=xo+=xo+3=9,Zxo=6,Zyo=^6.

9.求满足下列条件的抛物线的标准方程：

(1)焦点是直线3x+4y-15=0与x轴的交点；

(2)准线是x=-;

(3)焦点在X轴正半轴上,焦点到准线的距离是2;

(4)焦点在x轴正半轴上，焦点到直线x=-5的距离是8.

凰1)直线与x轴的交点为(5,0),

故所求抛物线方程为炉二20尤

(2)准线方程为尸

■

••，

•:p=3,开口向右，

・：抛物线方程为)2=6x

(3)由于p=2,焦点在x轴正半砧上，

・：抛物线方程为)2=4x

(4)焦点在x轴正半轴上，设其坐标为(的,0),

•：刈+5=8,

•：xo=3.

・：焦点为(3,0),即=3,p=6.

故抛物线方程为)2=12x

10.己知抛物线产=入的焦点是F,点P是抛物线上的动点，点A(3,2).

⑴求「4|+|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标.

(2)求点P到点B的距离与点P到直线-的距离之和的最小值.

廨［如图，将x=3代入抛物线方程y=2x,得y=土.

:，＞2,

・：A在抛物线内部.

设抛物线上点P到准线"=-的距离为d,

由定义知|尸A|+|P尸|二|PA|+d,当H4_L/时,|H4|+d最小，最小值为，

即|P4|+|PF|的最小值为，

此时尸点纵坐标为2,

代入y2=2x,得x=2..：点P坐标为Q,2).

(2)设抛物线上点P到准线/的距离为4,由于直线x=-即为抛物线的准线，根据抛物线定义

得|P8|+d=|尸8|+|尸川2|BF|,

当且仅当8,尸尸三点共线时取等号，而|8F|二,

,：|P8|+d的最小值为.

第二章DIERZHANG圆锥曲线与方程

§1抛物线

2.2抛物线的简单性质

课后篇巩固提升

A组

1.抛物线yr2(g0)的焦点坐标为()

A.a>0时为Oa),a<0时为(0,-a)

B.a>0时为,a<0时为

C.(0,a)

D.

ggc

解析卜)0时yX2=4ay的焦点为(O,a);a〈O时^=4ay的焦点为(0,。),这时焦点在y轴负半轴上.故

不论。为何值,r=4ay的焦点总为(0,a),故选C.

2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦A8,则AB中点到x轴的最短距离为()

A.

B.

C.I

D.2

量D

解画设AB的中点为M,焦点为尸(01).过M作准线/:y=-1的垂线MN,过A作AC_L/于C,过8

作8。_1/于。，则|MN|==3,所以AB中点到x轴的最短距离为3-1=2,此时动弦A8过焦点，故

选D.

3.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()

A.(6,+co)

B.[6,+oo)

C.(3,十oo)

D.[3,+oo)

SD

底画/抛物线的焦点到顶点的距离为3,

•：=3,即p=6.

又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，

抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,出).

4.设M(xojo)为抛物线C:.F=8y上一点，尸为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和

抛物线。的准线相交，则州的取值范围是()

A.(0,2)

B.[0,2]

C.(2,+8)

D.⑵+8)

ggc

廨桥|设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心，

抛物线C的准线方程为y=-2,

由圆与准线相交知4<匚

因为点A/(xo,yo)为抛物线C:/=8y上一点，

所以二8,a

又点M(xojo)在圆x2+(j-2)2=r上，

所以十°卜2)2=户>16,

所以8和+。0-2)2>16,印有+4刑-12>0,

解得yo>2或yo<-6,

又因为用20,所以州>2,故选C.

5.已知抛物线Cy=4x的焦点为FA为抛物线C上一点且在第一象限，以尸为圆心尸4为半径

的圆交抛物线C的准线于M,N两点，且AfM三点共线，则|AF|二()

A.2B.4

C.6D.8

噩如图所示,

：N,尸,M三点共线，

・：4M是圆的直径，

・・・ANLMNAN〃x轴,

又广为A何的中点，且点F到准线的距离为2,

・：|AN|=4,

由抛物线的定义可得HP|=|AN|=4,故选B.

6.设抛物线)2=8x的焦点为H准线为LP为抛物线上一点/AJJ4为垂足.如果直线AF的斜

率为•，那么|PP|=()

A.4B.8

C.8D.16

源B

商设A(-2,y),尸(2,0),所以&F==-,

所以y=4,所以杵=4.

因为点P在抛物线上，所以=8XP,

所以孙==6.

由抛物线定义可得

\PF\=\