2024-2025学年北京市朝阳区高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市朝阳区高三上学期期末考试数学试卷一、单选题：本大题共10小题，共40分。1.已知全集U=x−2≤x≤2，集合A={x0<x<1}，则A.−2,0 B.−2,0∪1,2 C.1,2 2.在复平面内，复数1+ii对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知抛物线C:y2=2px(p>0).若其焦点到准线的距离为4，则抛物线C的焦点坐标为A.−2,0 B.1,0 C.2,0 D.4,04.函数y=2sin2x+π6A.−π12,0 B.−π6,05.“m>n>1”是“logmn<1”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知圆C:x2+y2=9，过点M1,2的直线l与圆C交于A,B两点．当A.x=1 B.x−2y=0 C.x+2y−5=0 D.x+2y−3=07.沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23，则这些细沙的体积为(

)

A.83πcm3 B.163πc8.若函数f(x)=2x+1−m,x≤0(x−1)lnx,x>0A.−2,−1 B.(0,1) C.1,2 D.1,29.“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的23，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的43，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的23，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的43A.1627 B.32 C.9810.设an是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n∈N∗，均有an+k<an，则称①若an=9②若an=n⋅−2③若an=−n2+sinn其中所有正确结论的序号是(

)A.① B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题：本大题共5小题，共25分。11.在(2−x)4的展开式中，x的系数为

.(用数字作答12.双曲线C:x24−y2=1的渐近线方程是

；设F1,F2是双曲线C的两个焦点，点P13.使不等式cosθ>sinθ>tanθ成立的一个θ14.已知O为▵ABC所在平面内一点，满足OA+OB+OC=0，且OA=2,OB=3，OC=4，设θ为向量OA,15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在线段AC1上(不与A,①BC⊥平面EFG；②线段EF与线段FG的长度之和为定值；③▵EFG面积的最大值为14④线段EG长度的最小值为2其中所有正确的结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.在▵ABC中，asin2C=c(1)求∠C；(2)若c=7，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使▵ABC存在，求条件①：a+b=4；条件②：sinB−sinA=注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下：使用AI大模型的种数性别01234男427231610女648272415在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：AI大模型种类ABCD人次32303028用频率估计概率．(1)从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型(A、B、C、D中)的概率；(2)从该地区使用3种AI大模型(A、B、C、D中)的教师中，随机选出3人，记使用B的有X人，求X的分布列及其数学期望EX(3)从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型(A、B、C、D中)的种数分别为Y,Z，比较Y,Z的数学期望EY,EZ的大小．18.如图，在五面体ABCDPQ中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=4，AB=3，E,G分别为BQ,AP的中点，连接DG,EG,CE．(1)求证：AP⊥平面DCE；(2)求直线CP与平面DCE所成角的正弦值；(3)线段BC上是否存在点M，使得CP//平面DGM？若存在，求BMBC的值；若不存在，说明理由．19.已知函数fx=xnex−1(1)当n=0时，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程；(2)求fx的极值．20.已知椭圆E:x2a2+y(1)求椭圆E的方程；(2)过原点O且与y轴不重合的直线l与椭圆E交于M,N两点．已知点P0,2，直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为A,B.证明：直线AB过定点．21.已知无穷数列an，给定正整数m，若数列an满足以下两个性质，则称an为Pm数列：(1)已知an和bn分别为P2数列和P3数列，且a1(2)已知正整数数列an是P(i)无穷数列cn满足cn=an2dn且(ii)求满足条件的m，并写出与m对应的a1所有可能取值．

参考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.A

6.C

7.B

8.D

9.D

10.B

11.−32

12.y=±12x

；

；

；13.7π4(答案不唯一14.14/0.25

；

；

；

；

15.①②④

16.(1)因为asin所以2asin由正弦定理得2sin又sinA≠0,sinC≠0又0<C<π，所以C=π(2)选条件①：根据余弦定理有b2+a又a+b=4，则b2两式相减，解得ab=3.可得a=3b=1或所以S▵ABC选条件②：由(1)知B=2π3−A所以sin(A−选条件③：因为cosA=5714由正弦定理可知a=c又sinB=所以S▵ABC

17.(1)记事件M为“从该地区教师中随机选取一人，至少使用两种AI大模型”，则估计PM(2)记事件N为“从该地区使用3种AI大模型的40名教师中随机选1人，该人使用模型B”，根据题中数据，PNX的可能取值为0,1,2,3，PX=0PX=1PX=2PX=3X的分布列为X0123P192727EX(3)由题意可得该地区男，女教师人数分别为：80和120，则易求EYEZ=0×6

18.(1)因为PD⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD，所以PD⊥CD．又因为CD⊥AD,AD∩PD=D，AD,PD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．又AP⊂平面PAD，所以CD⊥AP．又因为AD=DP,G为线段AP的中点，所以AP⊥DG．因为PQ//CD,AB//CD，所以PQ//AB．因为E,G分别为线段BQ,AP的中点，所以EG//AB．又CD//AB，所以EG//CD.即C,D,G,E四点共面．又CD∩DG=D,DG⊂平面DCE,CD⊂平面DCE，所以AP⊥平面DCE．(2)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD,PD⊥DC．又AD⊥CD，所以DA,DC,DP两两垂直．如图建立空间直角坐标系D−xyz．于是A4,0,0可得AP由(1)可得AP⊥平面DCE．所以平面DCE的一个法向量为AP=设直线CP与平面DCE所成角为θ，则有sinθ=则直线CP与平面DCE所成角的正弦值为12(3)设M是线段BC上的一点，则存在λ∈0,1，使BMBC=−4,1,0，从而由点A,P的坐标可得DG=设平面DGM的法向量为n则有n⋅DM令x=3+λ，则法向量为n令n⋅CP=0，即−4此时n⊥CP，又显然有CP⊄平面DCM，从而CP//平面所以，线段BC上存在点M，使得CP//平面DCM，此时BMBC

19.(1)当n=0时，fx=1所以f′1=−1，又所以曲线y=fx在点1,fy−1=−x−1，即x+y−2=0(2)依题意，x∈0,+∞当n=0时，由(1)可知，f′x所以fx在0,+∞上单调递减，f当n≠0n∈Z)时，(i)当n<0n∈Zf′x<0，所以fx在0,+∞(ii)n>0n∈Zx∈0,n时．f′x>0,fx∈n,+∞时，f′x<0,f所以x=n时，fx取极大值f综上，当n≤0n∈Z时，f当n>0n∈Z时fx有极大值

20.(1)由题意可得ca=所以椭圆E的方程为x2(2)设点Mx0,y0直线PM:y−2=y0−2由y=y0−2所以x0⋅x所以yA所以A2x0依题意xA≠x所以直线AB的方程为y−4−4y0所以直线AB过定点(0,1)．

21.(1)根据P2数列的定义可知：m=2，则a1根据P3数列的定义可知：m=3，则b1(2)(i)假设结论不成立，不妨设ii∈N∗为满足c由ai≥ci≥从而ci+1=ci,所以对于任意的n∈N∗，(ii)假设m及a1的取值已使得an为由(i)中所定义出的cn构成数列c首先证明cn满足对任意的i，有c若ai≥2m，则若ai<2分三种情况讨论①

若2di>m，则a②

若2di<m，则a③

若2di=m又因为ci为奇数，所以ci2综上所述，对任意的i∈N∗，有又根据(i)的结论可知必存在某个j∈N