曲线的凹凸性与拐点

曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题.如图4-9所示的函数y=f(x)的图形在区间(a,b)内虽然一直是上升的.图4-9曲线的凹凸性与拐点但却有不同的弯曲状况.从左向右，曲线先是向上弯曲，通过点P后，扭转了弯曲的方向，而向下弯曲.因此，研究函数图形时，考察它的弯曲方向及扭转弯曲方向的点是很必要的.首先给出如下定义.曲线的凹凸性与拐点定义2设函数f(x)在区间I内连续，若对I上任意两点x1，x2，恒有则称f(x)在I上的图形是凹的；若恒有则称f(x)在I上的图形是凸的.

曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸具有明显的几何意义，对于凹曲线，当x逐渐增大时，其上每一点的切线的斜率是逐渐增大的，即导函数f′(x)是单调增加的(见图4-10)；图4-10曲线的凹凸性与拐点而对于凸曲线，当x逐渐增大时，其上每―点的切线的斜率是逐渐减小的，即导函数f′(x)是单调减少的(见图4-11).于是有下述判断曲线凹凸性的定理.图4-11曲线的凹凸性与拐点定理12(曲线凹凸性的判定定理)设函数f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，则(1)若在(a,b)内，f″(x)>0，则f(x)在［a,b］上的图形是凹的.

(2)若在(a,b)内，f″(x)<0，则f(x)在［a,b］上的图形是凸的.

曲线的凹凸性与拐点证就情形(1)给出证明.

f(x0)－f(x1)=f′(ξ1)h,ξ1∈(x1,x0),

f(x2)－f(x0)=f′(ξ2)h,ξ2∈(x0,x2),

两式相减，得f(x2)+f(x1)－2f(x0)=f′(ξ2)－f′(ξ1)h.(4-13)

在［ξ1,ξ2］上对f′(x)再次应用拉格朗日中值定理，得f′(ξ2)－f′(ξ1)=f″(ξ)(ξ2－ξ1),ξ∈(ξ1,ξ2),(4-14)

曲线的凹凸性与拐点将式(4-14)代入式(4-13)，得曲线的凹凸性与拐点讨论曲线f(x)=2x2－ln

x的凹凸性.解函数的定义域是(0,+∞)，且【例36】曲线的凹凸性与拐点定义3连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.

如何来寻找曲线y=f(x)的拐点呢？根据本节定理，二阶导数f″(x)的符号是判断曲线凹凸性的依据.如果f″(x)在x0的左、右两侧邻近异号，那么点(x

0,f(x0))即为拐点，所以要寻找拐点，只要找出f″(x)符号发生变化的分界点.如果f(x)在区间(a,b)内具有二阶连续导数，那么在这样的分界点处必有f″(x)=0;除此之外，f(x)的二阶导数不存在的点，也有可能是f″(x)的符号发生变化的分界点.因此，使得f″(x)=0与f″(x)不存在的点即为可能的拐点.曲线的凹凸性与拐点综上所述，判定区间I上曲线的凹凸性与求曲线拐点的一般步骤为：(1)求函数的二阶导数f″(x).

(2)令f″(x)=0，解出方程在区间I内的实根，并求出区间I内所有使二阶导数不存在的点.

(3)对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧f″(x)的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.曲线的凹凸性与拐点【例37】讨论曲线f(x)=e－x2的凹凸性，并求出该曲线的拐点.

解函数的定义域是(－∞,+∞)，且曲线的凹凸性与拐点【例38】判定曲线y=x4－2x3+1的凹凸性,并求出该曲线的拐点.解函数的定义域是(-∞,+∞)，且y′=4x3－6x2,y″=12x2－12x=12x(x－1).令y″=0,得x1=0,x2=1,它们将函数的定义域分成三个区间(－∞,0］,［0,1］,［1,+∞).在(－∞,0)及(1,+∞)内,y″>0,所以在(－∞,0］和［1,+∞)内,曲线y