2022高考数学真题分类汇编 立体几何与解析几何（含答案详解）

2022高考数学真题分类汇编

一、立体几何

一、单选题

1.（2022•全国甲（文、理）T4）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小

正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.

【详解】由三视图还原几何体，如图，

则该直四棱柱的体积V=——x2x2=12.

2

故选：B.

2.（2022.全国甲（文）T9）在长方体ABCO-AqCQ中，已知耳。与平面和平

面所成的角均为30°,则（）

A.AB=2ADB.AB与平面AB。]。所成的角为

30°

C.AC=CB、D.8Q与平面BqCC所成的角为

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】如图所示：

不妨设==依题以及长方体的结构特征可知，耳。与平面A3CO

cb

所成角为NB^DB,5Q与平面44田田所成角为NOqA,所以5吊30°=方7；=方7；,

D}LJOJLJ

222

即匕=。，BxD=2c=\la+/?+c>解得4=

对于A,AB—a,AD—hf=y/2,AD>A错误；

对于B,过8作BE_LA4于£,易知BE1平面ABC。，所以A3与平面AqCQ所

成角为NBAE,因为tan/3AE=£=①，所以NBAEw3（T，B错误；

a2

对于C,AC=\la2+及=百LCB]=yjh2+c2=>/2c，AC工CH1，C错误；

对于D,与。与平面8B£C所成角为NOBC，sinZDBC=—,而

lBQ2c2

0<ZDB,C<90,所以NOBC=45°.D正确.

故选：D.

3.(2022•全国甲(文)T10)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为

2兀，侧面积分别为S甲和％,体积分别为%和％若*2,则卜()

3乙4

A.75B.2&C.回D.^2

4

【答案】C

【解析】

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为，i，乙圆锥底面圆半径为今，根据圆锥的侧面

积公式可得4=2&,再结合圆心角之和可•将4,弓分别用/表示，再利用勾股定理分别求出

两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为乙圆锥底面圆半径为弓，

则落归」=2,

S乙兀Qr2

所以4=2R,

「24_

27rrL

又一+—^=2^f

则空=1,

故选：C.

4.（2022•全国甲（理）T7）在长方体ABS-AAGR中，己知与平面A3c。和平

面所成的角均为30°,则（）

A.AB=2ADB.48与平面ABC。所成的角为

30°

C.AC=CB}D.8Q与平面所成的角为

45°

【答案】D

【解析】

【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.

【详解】如图所示：

不妨设48-4,4/＞一人,4人一。，依题以及长方体的结构特征可知，与。与平面人88

cb

所成角为与平面田所成角为NOqA,所以5布30°=匕工=3；，

D}U

即b=c,B、D=2c=yjci2+b2+c2，解得a=\[2c•

对于A,AB=a,AD=b,AB=41AD，A错误；

对于B,过8作于£,易知BE1平面所以A3与平面AqCQ所

成角为NBAE,因为tanNBAE=£=也，所以N8AEw30°，B错误：

a2

对于C，AC=。a2+b?=\!b2+c2=\(2c»AC。CB1,C错误;

对于D,BQ与平面BB℃所成角为NDBC,sinZDB,C=—=—=—,而

B、D2c2

0<ZDB)C<90,所以ND4c=45°.D正确.

故选：D.

5.(2022.全国甲(理)T8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史二的杰作，其中收录

了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，A8是以O为圆心，为半径的圆弧，C是的48

中点，。在AB上，CDLAB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值S的计算公式：

CD2

5=A5+-—•当04=2,403=60。时，s=()

11-3>/311-4>/39-3x/3

22

9-473

2

【答案】B

【解析】

【分析】连接oc,分别求出AB,oc,cr>,再根据题中公式即可得出答案.

【详解】解：如图，连接。c,

因为C是48的中点，

所以OC_LAB,

又CO_LA8,所以O,C,。三点共线,

即00=04=08=2,

又N4O8=60。，

所以AB=O4=OB=2,

则OC=豆，故CD=2-B

6.(2022•全国甲(理)T9)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为

2兀，侧面积分别为S甲和%,体积分别为％和%若酒=2,则券=()

3乙V乙

A.y/5B.2X/2c.MD.^2

4

【答案】C

【解析】

【分析】设母线长为/,甲圆锥底面半径为弓，乙圆锥底面圆半径为乃，根据圆锥的侧面

积公式可得4=2为，再结合圆心角之和可将小为分别用/表示，再利用勾股定理分别求出

两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.

【详解】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为弓，乙圆锥底面圆半径为弓，

吟嚼之2,

所以弓=2r2,

『2万q2乃5-

又一1+—^=2乃，

则牛=1,

所以4=1"=¥，

所以甲圆锥的高z=

乙圆锥的高饱=

%=%为

X——I

所以3=Vio.

"乙:几片也"2

93

故选：C.

7.（2022•全国乙（文）T9）在正方体ABC。-AgCQ中，E,尸分别为4氏8。的中点，

则（）

A.平面用E"_L平面BORB.平面与EF_L平面43。

C.平面用£///平面A.ACD.平面4E/7"平面AG。

【答案】A

【解析】

【分析】证明EF_L平面即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标

系，设AB=2,分别求出平面4七/，ABD,4G。的法向量，根据法向量的位置关

系，即可判断BCD.

【详解】解：在正方体A88-A8GA中，

4c_1比）且0£>1，平面A3CD,

又Mu平面ABCQ,所以所1OR,

因为瓦尸分别为A8,8c的中点,

所以EF||AC,所以EF工BD，

又BDCD»=D,

所以EF_L平面3。。，

又EFu平面&EF,

所以平面与M_L平面故A正确；

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，

则4(22,2),£(2,1,0),尸(1,2,0),8(2,2,0),A(ZO,2)4(20,0),C(0,20),

G(0,2,2),

则乔=(-1/,0),砾二(0,1,2)：丽二(2,2,0)访二(2,0,2),

羽=(0,0,2),衣=(_2,2,0),相=(-2,2,0),

设平面瓦EF的法向量为m=(x1,j1,z1),

m-EF=-玉+y=0

则有，,可取加=(2,2,-1),

m-EB[=y+2Z[=0

同理可得平面ABD的法向量为［=(1,-1,-1),

平面AA。的法向量为卮=(1J0)，

平面4G。的法向量为&=(1,1,一1),

则加=2-2+1=1^0,

所以平面与E尸与平面48。不垂直，故B错误;

111

因为正与〃2不平行，

所以平面4石户与平面AAC不平行，故c错误;

因为而与％不平行，

所以平面与石户与平面AC。不平行，故D错误,

故选:A.

8.（2022・全国乙（文）T12）已知球。的半径为1.四棱锥的顶点为底面的四个顶点

均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

A1R1「百D应

3232

【答案】C

【解析】

【分析】先证明当四棱锥顶点。到底面A8C。所在小圆距离一定时，底面A3CO面积最

大值为2/，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而

得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】设该四棱锥底面为四边形48c。，四边形A8CO所在小圆半径为「，

设四边形ABC。对角线夹角为a,

则SA“/）=LAC8力sinaAC802r・2厂=2，

222

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面A8CD所在小圆距离一定时，底面A8CQ面积最大值为2r2

2

又尸+h=1

当且仅当产=2h2即时等号成立,

故选：c

9.(2022•全国乙(理)T7)在正方体A8CZ)-A4GA中，E,产分别为A3,的中点，

则()

A.平面四EF±平面BDD】B.平面用EF_L平面人BD

C.平面与£尸〃平面AACD.平面与所〃平面AC。

【答案】A

【解析】

【分析】证明平面8。。，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标

系，设AS=2,分别求山平面8点尸，入孙AG。的法向量，根据法向量的位置关

系，即可判断BCD.

【详解】解：在正方体48co-ASGA中，

AC_L3D且。〃，平面ABC。，

又EFu平面ABCD,所以EF1DR,

因为瓦尸分别为Aa的中点，

所以E/||AC,所以EF上BD，

又BDCDQ=D,

所以所_1_平面3。2,

又砂U平面片£7"

所以平面用族，平面8。。，故A正确；

如图，以点。原点，建立空间直角坐标系，设A3=2,

则用(2,2,2),E(2,1,0)/(1,2,0),8(220),A(2,0,2),4(2,0,0),C(0,2,0),

C.(O,2,2),

则乔二(-1,1,0),西二(OJ2),丽=(2,2,0),西二(2,0,2),

丽=(O,0,2),衣=(-2,2,0)屎=(-2,2,0),

设平面B,EF的法向量为浣=(5*,zj,

则有V_1/'八,可取相=(2,2,-1),

用Eg=y+2Z1=0'7

同理可得平面A3。的法向量为1=(1,T—1),

平面AiAC的法向量为兀=(1,1,0),

平面4G。的法向量为&二(1,1,-1),

则相勺=2—2+1=1。0,

所以平面4EF与平面45。不垂直，故B错误；

UU

因为加与n2不平行，

所以平面与所与平面4AC不平行，故C错误；

因为薪与彳不平行，

所以平面8也尸与平面AG力不平行，故D错误，

10.(2022•全国乙(理)T9)已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点

均在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()

A1R1c6D加

3232

【答案】C

【解析】

【分析】先证明当四棱锥的顶点。到底面ABC。所在小圆距离一定时，底面A8C。面积最

大值为2/，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱隹体积的最大值，从而

得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】设该四棱锥底面为四边形45CZ),四边形A3C。所在小圆半径为八

设四边形ABC。对角线夹角为。，

则SMsngACmsinavgACIOwgzrNrnZ/

(当且仅当四边形人BCD为正方形时等号成立)

即当四棱锥的顶点0到底面A8CD所在小圆距离一定时，底面ABC。面积最大值为2/

又产+h2=1

当且仅当r2=2h2即〃邛时等号成立,

故选：C

II.(2022・新高考I卷T4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部

分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为MO.Okn?；水位

为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0101?,将该水库在这两个水位间的形状看作一

个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(J7b2.65)

()

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.

1.6xl09m3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为MN=157.5—148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的

体积V.

棱台上底面积S=140,0km2=140xl06m2，下底面积S'=180.0km2=180xl06m2，

,766,2

V=l/7j5+5+V55]=1x9x(140xl0+180xl0+7140xl80xl0j

=3x(320+60x/7)xl06»(96+18x2.65)xl07=1.437xl09«1.4xl09(m3).

故选：C.

12.(2022・新高考I卷T8)已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球

的体积为36万，且3W/W3石，则该正四棱锥体积的取值范围是()

A.18,肛27812764

B.C.D.

47773

118,27]

【答案】C

【解

【分析】设正四棱锥的高为人由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关

系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.

【详解】V球的体积为36万，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为加，而为〃,

则广=2"+"，32=2/+(3

所以6〃=『，2a2=l2-h2

1I2广[21][6、

所以正四棱锥的体积V=-Sh=—x4a~x=-x(/~--)x—=—/4——

333669136J

1(户

3

所以K4/-T

916

当3W/V2#时，r>0,当2后v/《3G时，V'vO,

-64

所以当/=2遥时，正四棱锥的体积丫取最大值，最大值为7,

2721

又，=3时，V=—,/=36时，V=—

44

27

所以正四极锥的体积V的最小值为二,

4

所以该正四棱锥体积的取值范围是

故选：C.

13.（2022・新高考I卷T9）已知正方体ABCD-A8CQ,则（）

A.直线BG与所成的角为90。B.直线8G与CA所成的角为90。

C.直线8G与平面网所成的角为45。D,直线8G与平面A8C。所成的角为

45°

【答案】ABD

【解析】

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接80、BCif因为。A//BC，所以直线8G与所成的角即为直

线8G与所成的角，

因为四边形为正方形，则5C_L8C1,故直线BC1与0A所成的角为90。，A正

确;

连接AC,因为4旦，平面83℃,B&U平面BB℃,则44_LBG，

因为与C_L8C1,A^ri8C=4,所以8G，平面ABC，

又ACu平面A8C，所以8G~LCA，故B正确：

连接AG，设AGn&A=。，连接50,

因为8用_L平面4/1GR，GOU平面ABIGR,则GO_LB13,

因为G0_L51R,BQ]CBiB=Bi，所以C0_L平面BBQO,

所以NC；BO为直线Bq与平面8BQQ所成的角，

设正方体棱长为1，则60=变，BQ=42,sin/G8O=段=；,

2/J乙

所以，直线与平面84Ao所成的角为30'，故C错误；

因为CQ_L平面488,所以NC/C为直线BG与平面4BCO所成的角，易得

ZC,BC=45°,故D正确.

故选：ABD

14.（2022•新高考II卷T7）正三棱台高为1,上下底边长分别为班加46，所有顶点在

同一球面上，则球的表面积是（）

A.lOOnB.128KC.144兀D.192兀

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可求出正三楂台上下底面所在圆面半径小弓，再根据球心距，圆面半

径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径不为，所以2彳=上旦,2心=小叵一，即

sin60sin60

4=3,弓=4,设球心到上下底面的距离分别为4,4,球的半径为A,所以

4=收一9,―正一⑹故|4一4|=1或4+4=1，即

庐工一«?二］阐=1或正行+庐飞=”解得代=25符合题意，所以球的

表面积为S=4TIR2=100兀.

故选：A.

15.（2022•新高考n卷T11）如图，四边形A3CO为正方形，ED_L平面43c。，

FB〃ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-AC。，F-ABC,斤一ACE的体积分别为

XMM，则（）

A.V3=2V2B.匕=2匕

仁匕=丫+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【解析】

【分析】直接由体积公式计算九匕，连接BO交AC于点M,连接由

匕二匕一£.+%.£.计算出匕，依次判断选项即可.

设AB=ED=2FB=2a,因为EOJ_平面ABC。，FB\\ED,则

m•勿g(为『二g/,

V4=1-FB^1(2a)2=1a3,连接BD交AC于点M,连接EM,FM,易

JJ4J

得BO_LAC,

又如，平面A8CO,ACu平面ABC。，则£D_LAC,又EDCBD=D,

ED,BDu平面BDEF,则AC,平面BOEF，

又BM=DM=、BD=6a,过尸作/GJLOE于G,易得四边形3DG户为矩形，则

2

FG=8D=2>/2a,EG=a，

=J(2aj+(V^7)=屈a,FM=小?+(&a)=6a，

贝|JEM=

斯=.+(2缶y:3々,

iq5

2

EM?+FM2=EF2，则S^：FM=-EM•FM=-^-a，AC=2五a，

则匕=%一律盟+匕_防的=；4。£诙,=2。3,则2匕=3匕，匕=3%,匕=耳+匕，

故A、B错误；C、D正确.

故选：CD.

16.（2022•北京卷T9）已知正三棱锥「一AB。的六条棱长均为6,S是及其内部的

点构成的集合.设集合T={QeS/Q05},则r表示的区域的面积为（）

37c

A.—B.nC.2%D.3万

4

【答案】B

【解析】

【分析】求出以P为球心，5为半径的球与底面A3C的截面圆的半径后可求区域的面积.

【详解】

设顶点?在底面上的投影为。，连接30,则。为三角形ABC的中心,

且BO=2x6x立=2百，故户0=136—12=2#.

32

因为尸。=5,故。。=1,

故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，

而三角形A3C内切圆的圆心为0,半径为2x*36：J

3x6—-

故S的轨迹圆在三角形48C内部，故其面积为万

故选：B

17.（2022•浙江卷T8）如图，已知正三棱柱A8C—A8IG，AC=AA，E,尸分别是棱

8CAG上的点.记EF与所成的角为。，石尸与平面A8C所成的角为尸，二面角

A.a<p<yB.p<a<yC.P<y<aD.

a<y<P

【答案】A

【解析】

【分析】先用几何法表示出a，£，y,再根据边长关系即可比较大小.

【详解】如图所示，过点尸作尸尸_LAC于过P作尸MJ.8C于“，连接庄

则a=Z.EFP,P=Z-FEP,y=FMP,

tana=〃=""."红="N1,ta”=&N红小尸,

FPABKPEPEPMPE

所以。“£（九

故选：A.

三、解答题

1.（2022•全国甲（文）T19）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包

装盒如图所示：底面A3C。是边长为8（单位：cm）的正方形，

△EAB,AFBC,AGCDRHDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面A8CO垂直.

（1）证明：成〃平面A3CO；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

【答案】（1）证明见解析;

/640n

(2)—J3.

3

【解析】

【分析】（1）分别取48,8。的中点M,N,连接MN,由平面知识可知

EM1AB,FN工BC,EM=FN,依题从而可证EM_L平面ABC。，FN_L平面

ABCD,根据线面垂直的性质定理可知EM//FN,即可知四边形EMNb为平行四边

形，于是EF//MN,最后根据线面平行的判定定理即可证出;

（2）再分别取中点K,L,由（1）知，该几何体的体积等于长方体

KMVL—E尸GH的体积加上四楂锥5—MVFE体积的4倍，即可解出.

【小问1详解】

如图所示:

分别取AR3C的中点M,N,连接MN,因为氏△所C为全等的正三角形，所以

EM工AB,FN上BC,EM=FN,又平面E4/JL平面A8CD，平面E45c平面

ABCD=AB,EMu平面E46,所以EWJL平面A3CO,同理可得月V_L平面

ABCD,根据线面垂直的性质定理可知而EM=FN,所以四边形

为平行四边形，所以EF//MN,又瓦平面ABC。，MNu平面ABCD,所以

斯〃平面ABC。.

【小问2详解】

如图所示:

分别取中点K,L,由（I）知，EF//MNaEF=MN,同理有，

HE//KM,HE=KM,HG//KL,HG=KL,GF//LN.GF=LNf由平面知识可

知，BDLMN,MN工MK,KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方

体KMNL—EFGH的体积加上四棱锥B—MNFE体积的4倍.

因为MN=NL=LK=KM=4收，EM=8sin60°=4百，点B到平面MNFE的距离

即为点8到直线MV的距离d,d=2叵,所以该几何体的体积

V=（4V2）2x4V3+4x|x4>/2x473x2>/2=128>/3+—>/3=—

2.（2022•全国甲（理）T18）在四棱锥尸一A3CQ中，P£>_|_底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=T,AB=2,DP=43.

（1）证明：BDLPAx

（2）求P。与平面抬8所成的隹的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵亚

5

【解析】

【分析】(1)作于E，。/_14?于尸，利用勾股定理证明AO_L8O,根据线

面垂直性质可得从而可得8。_L平面尸40,再根据线面垂直的性质即可得

证；

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

【小问1详解】

证明：在四边形ABC。中，作于E,于尸，

因为CD//AB,AD=CD=CB=l,AB=2,

所以四边形A8CZ)为等腰梯形，

所以==

2

故DE=g,BD=dDE、BE2=思

所以4)2+瓦)2=”2，

所以A£>J_8。，

因为PT)_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以PDJ_Q，

又PDcAD=D，

所以BO_L平面P4。，

又因/<Au平面K4"，

所以BDLPA；

【小问2详解】

解：如图，以点。原点建立空间直角坐标系,

BD=6.

则A（1,O,O）,8（O,G,O）,P（O,O,G）,

则丽=（一1,0,6）,丽=（0,—6,6）,而二（0,0,6卜

设平面PAB的法向量n=(x,yyz),

nAP=-x+y/3z=0

则有｛可取3=（G,11）,

n-BP=-石y+6z=0

3.（2022・全国乙（文）T18）如图,四面体ABC。中，

AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面BED_L平面AC。：

(2)设AB=8Z)=2,NACB=60。，点尸在8。上，当△人八；的面积最小时，求三棱

锥产一A3C的体积.

【答案】（1）证明详见解析

⑵显

4

【解析】

【分析】（1）通过证明4CJ■平面8瓦）来证得平面平面ACZ）.

（2）首先判断出三角形AFC的面积最小时尸点的位置，然后求得尸到平面ABC的距

离，从而求得三棱锥尸-A8C的体积.

【小问1详解】

由于AD=C£>,E是AC的中点，所以ACJLOE.

AD=CD

由于，30=80,所以△4082△CD8,

NADB=4CDB

所以48=C8,故AC_La）,

由于DEcBD=D，DE,BDl平面BED，

所以AC_L平面BED,

由于ACu平面4c。，所以平面BED_L平面ACO.

【小问2详解】

依题意AB=BD=BC=2,NAC8=60。，三角形ABC是等边三曲形，

所以4C=2,AE=CE=l,8E=x/J，

由于aO=CDAO_LCD,所以三角形ACO是等腰直角三角形，所以£>E=1.

DE2+BE2=BD2»所以DE上BE,

由于ACc3E=E,ACBEu平面ABC,所以OE_L平面ABC.

由于=所以NFB4=NEBC,

BF=BF

由于<N/BA=NFBC,所以△FB4*FBC,

AB=CB

所以4/二6,所以所_LAC，

由于，,c=g・AC-E〃，所以当放最短时，三角形4R:的面积最小值•

过E作厅力，垂足为产，

在中，-BEDE=-BDEF,解得EF=@,

222

过户作切JL3E，垂足为“，则FH〃DE,所以"/JL平面ABC,且

FHBF_3

~DE~~BD~^

3

所以切=一，

4

所以匕…「二、SARCFH=-x-x2xy/3x-=—.

r-ADL3A/WC3244

4.（2022•全国乙（理）T18）如图，四面体ABC。中，

AD±CD,AD=CD,ZADB=ABDC,N为AC的中点.

（1）证明：平面BEDJ■平面AC。；

（2）设AB=30=2,NAC8=60。，点尸在8。上，当△?!”）的面积最小时，求。尸

与平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）证明过程见解析

（2）C/与平面/曲所成的角的正弦值为史3

7

【解析】

【分析】（1）根据已知关系证明△A5Z运△C3D,得到A5=CB,结合等腰三角形三线

合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；

（2）根据勾股定理逆用得到此_LOE，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法

则进行计算即可.

【小问1详解】

因为AD=CD,E为AC的中点，所以AC_LOE：

在△ABD和△C8O中，因为AD=CD,ZADB=/CDB,DB=DB,

所以△A3*ZsCB。，所以A5=CB,又因为£为4。的中点，所以ACJ■的；

又因为OE,BEu平面BED，DECBE=E,所以4c_L平面BED,

因为ACu平面ACO,所以平面5&）JL平面4co.

【小问2详解】

连接石/，由（1）知，AC_L平面8瓦）,因为砂u平面8瓦）,

所以4C_LE/,所以，^8=；4。七/，

当斯_L皮）时，EF最小,即△AR7的面积最小.

因为△枚泾△C8£>,所以Cfi=AB=2,

又因为NAC5=60。，所以△ABC是等边三角形，

因为E为4c的中点，所以4E=EC=1,BE=5

因为4OJ_C£）,所以。E=LAC=1,

2

在中，DE2+BE2=BD1,所以BE_LDE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-孙z,

则4（1,0,0）,40,后0）,。（0,0,1）,所以标二（-1,0,1）,丽二卜1,点0）,

设平面ABD的一个法向量为n=（x,y,z）,

n-AD=-x4-z=0

则，―,取y=百，则〃=（3,百,3）,

nAH=-x+

又因为C（—1,0,0）,尸,所以CF=l，f，：

4石

设CF与平面ABD所成的角的正弦值为。（0《6><1

所以sin0=卜05（多CT7）卜'

所以CT7与平面说所成的角的正弦值为巫.

5.（2022.新高考I卷T19）如图.直三棱柱43C-AgG的体积为4,△A^C的面积为

2近.

(1)求A到平面ABC的距离；

(2)设。为AC的中点，M=ABf平面A8C_L平面,求二面角

A—30—C的正弦值.

【答案】(1)72

⑵B

2

【解析】

【分析】(1)由等体积法运算即可得解；

(2)由面面垂直的性质及判定可得3cl,平面48片4,建立空间直角坐标系，利用空间

向量法即可得解.

【小问1详解】

在直三棱柱ABC-A4G中，设点4到平面\BC的距离为h,

=

则匕ARC~~^九隗,h=——h=V..=—SAliC-A,A=—VABCAAC=—，

解得力二夜，

所以点A到平面A,8C的距离为我；

【小问2详解】

取的中点及连接AE,如图，因为A4,=A8,所以4E_LAB,

又平面ABCJL平面ABB14,平面ABCn平面,

且4Eu平面484A，所以他_L平面A/C,

在直三棱柱ABC—AMG中，BB|_L平面ABC,

由5Cu平面ABC,BCu平面48c可得AEJ_8C,BBX1BC,

又AE.BB]u平面ABB.\且相交，所以BC_L平面ABB.\,

所以3cBA,B与两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由（D得AE=6,所以照=A8=2,仲=2板,所以BC=2,

则A(0,2,0),4(0,2,2),3(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中点。(1』』),

则而=(1,1,1),丽=(0,2,0)屁=(2,0,0),

tn-BD=x+y+z=0

设平面的一个法向量机=（x,y,z）,贝।卜

mBA=2y=0

可取加=(1,0,—1),

m•BD=a+b+c=0

设平面80c的一个法向量3=（〃,。,c）,则，

m•BC=2。=0

可取i=(O,l,T),

mn11

R=丽=引0

所以二面角A—80—C的正弦值为=乎.

6.(2022.新高考II卷T20)如图.P。是三棱锥尸一A3C的高，PA=PB

AB1AC,E是PB的中点.

(1)求证：0E〃平面R4C；

(2)若NABO=NC8O=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵U

13

【解析】

【分析】(1)连接5。并延长交4C于点O,连接。4、PD，根据三角形全等得到

OA=OB,再根据直角三角形的性质得到40=。。，即可得到。为的中点从而得到

0E//PD,即可得证；

(2)过点A作4z〃QP,如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦

值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；

小问1详解】

证明：连接8。并延长交4c于点。，连接04、PD，

因为尸O是三棱锥尸一ABC的高，所以尸0_L平面ABC,AO,8Ou平面A8C,

所以P0J.A0、POLBO,

又PA=PB、所以△PQ42△P06,即OA=OB,所以NO4B=NQB4,

又A3_LAC,即NBAC=90。，所以NO4B+NO4D=90。，N08A+NQD4=90。,

所以NQDA=NQW

所以4。=。。，即AO=QO=Q8,所以。为3。的中点，又E为心的中点，所以

OEHPD,

又QE(Z平面PAC,PDu平面PAC，

所以0E〃平面B4C

【小问2详解】

解：过点A作Az〃QP,如图建立平面直角坐标系，

因为PO=3,AP=5,所以。4=3花一PO2=4,

又NQ班=NQBC=30。，所以80=2a4=8,则AD=4,A8=4百，

所以AC=12,所以0（26,2,0）,B（45/3,0,0）,「（2百,2,3）,C（0,12,0）,所以

则屈=卜百』，引，通=（4相,0,0）,衣=（0,12,0）,

一,、n-AE=3\/3x+y+—z=0

设平面AE3法向量为〃=(x,y,z),则<2,令z=2，则

n•AB=4>/3x=0

y=-3,x=0»所以〃=(0,—3,2)；

.一，一/、mAE=3y/3a-^-b+—c=0厂

设平面AEC的法向量为机=(〃,/?,c)，贝卜2,令〃二百，则

mAC=\2b=0

c=-6»Z?=0»所以m=（J5,0,—6）：

/---\ntn-1246

所以3（〃''〃）=丽=标由=一记

设二面角C-4E—3为。，由图可知二面角C-AE-8为钝二面角,

所以cos6=-迪，所以sin6=Jl—cos2e=U

1313

故二面角C—AE—3的正弦值为?；

7.（2022.北京卷T17）如图，在三棱柱4BO-A&G中，侧面片为正方形，平面

8。出，平面A阴％AB=BC=2tM,N分别为人与，4c的中点.

（1）求证：MN〃平面BCq耳;

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线48与平面8MN所成

角的正弦值.

条件①：AB上MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）取AB的中点为K，连接MK,NK,可证平面MKN〃平面CBB^G,从而可

证MN〃平面C8MG.

（2）选①②均可证明平面ABC,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空

间向量可求线面角的正弦值.

【小问1详解】

取A8的中点为K，连接MK,NK,

由三棱柱ABC-A^C,可得四边形A为平行四边形，

而用M=M41,8K=K4,虾MK//BB1,

而MKa平面34匚平面。35«,故MK〃平面C34G，

而CN=NA,BK=KA,则NK//BC,同理可得NK〃平面CB旦u,

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面A