高三数学一轮复习课时作业13：§64数列求和

§64数列求和

1.已知等差数列｛%｝满足⑼=2,且口,改,的成等比数列.

(1)求数列｛如｝的通项公式.

(2)记S”为数列｛斯｝的前〃项和，是否存在正整数〃，使得S”>60〃+800?若存在，求n的最小值;若

不存在，说明理由.

2.已知等差数列｛a,J满足；a,=2,且％,外，%成等比数列.

⑴求数列｛a”｝的通项公式.

(2)记S”为数列｛a“｝的前〃项和，是否存在正整数〃，使得S〃>60〃+800?

若存在求〃的最小值；若不存在，说明理由.

3.已知数列｛%｝满足q1=pn,neN\

(1)若｛/｝是递增数列，且4,24,3%成等差数列，求p的值：

(2)若p=g,且｛。21｝是递增数列，｛的〃｝是递减数列，求数列｛%｝的通项公式.

4.已知数列｛为｝的前〃项和S,=W4,neN\

2

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设d=2%+(—04,求数列也“｝的前2〃项和.

5.设各项均为正数的数列｛为｝的前〃项和为S",且S〃满足S：-(〃2+小3)，_3(〃2+〃)=O,〃£M.

(1)求⑶的值.

(2)求数列｛%｝的通项公式.

(3)证明:对一切正整数〃，有一!—+—!—+…+—5—<-.

4(q+l)%(。2+1)+3

6.已知等差数列｛q｝的公差为2,前几项和为S“，且SpSa'S4成等比数列.

(I)求数列｛凡｝的通项公式；

4〃

(II)令2=(-1)2--------,求数列｛"｝的前〃项和

7.在等差数列｛《,｝中，已知d=2,4是％与4等比中项.

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(II)设a=%^，记<=一++(T)4求&

q

8.已知数列的前〃项和5“二~2二"，neN*.

2

(1)求数列的通项公式.

⑵证明:对任意的〃>1,都有〃?£N',使得04必〃成等比数歹ij.

9.已知首项都是1的两个数歹1」｛斯｝｛6｝(。〃8,〃仁”),满足“bn+l-an+lbn+2bn+lbn=U.

(1)令C产％,求数列｛金｝的通项公式.

b.

⑵若瓦二3叫求数列｛为｝的前n项和Sn.

10.数列｛/｝满足q=Vnan+l=(n+\)an+〃(〃+1),，wN*

(1)证明：数列｛生｝是等差数列；

n

(2)设以=3"・J7,求数列｛a｝的前〃项和S”

11.已知数列｛44｝满足。尸1,%+1=3。〃+1.

⑴证明•，是等比数列，并求｛4｝的通项公式.

1113

(2)证明：—।---+...H＜一.

%出%2

12.设等差数列｛凡｝的公差为d,点（凡,。〃）在函数的图象上（〃wN*）.

（1）若4=一2,点（4,4打）在函数/（功的图象上，求数列｛%｝的前〃项和S”；

（2）若q=l,函数八元）的图象在点（4,4）处的切线在x轴上的截距为2--求数

in2

列｛%｝的前〃项和

b.

13.设等差数列｛〃”｝的公差为d,点（凡,"）在函数f（x）=2、的图象上（〃wN*）.

（1）证明：数列｛"｝为等比数列;

（2）若q=l,函数/（X）的图象在点（心,仇）处的切线在x轴上的截距为2—-求数

In2

列｛〃/；｝的前〃项和S”.

14.已知｛q｝是首项为1,公差为2的等差数列，S"表示｛4｝的前〃项和.

⑴求凡及S〃

⑵设也｝是首项为2的等比数列，公比夕满足复-⑷+1M+5L。求低｝的通项公

式及其前〃项和

——★参考答案★—

1.解⑴设数列｛〃“｝的公差为4依题意,2,2+d,2+4d成等比数列，故有(2+4=2(2+43,

化简得f/2-4J=0,

解得d=0或d=4.

当d=0时,％=2;

当仁4时,廿2+(〃-1).4=4〃2

从而得数列｛〃”｝的通项公式为an-2或a”=4〃-2.

⑵当an=2时$=2〃.

显然2X60/1+800,

此时不存在正整数〃，使得S,,>60/7+800成立.

川一/:[2+(4n-2)].

当a产4〃-2时,S,尸-------------=2rr.

2

令2层>60〃+800,即n2-30n-400>0,

解得n>40或〃〈-10(舍去)，

此时存在正整数〃，使得S〃>60〃+800成立,〃的最小值为41.

综上，当斯=2时，不存在满足题意的儿

当a„=4n-2时，存在满足题意的〃，其最小值为41.

2.解(1)设数列｛a“｝的公差为d,依题意，d,2+d,2+4d成等比数列，故有

(2+d)2=2(2+4d)

化简得d2-4d—0,解得d=O或d=4

当d=0时，a”=2

当d=4时，aM=2+(n-l)-4=4n-2

从而得数列｛aj的通项公式为a”=2或a”=4〃-2。

(2)当a“=2时，S“=2〃。显然2〃v60〃+800

此时不存在正整数n,使得S”>60〃+800成立。

、匕AoiH-c川2+(4n—2)]2

当a“二4〃一2时，Sn=-------------=2n

2

令2〃2>60〃+800,即〃2-30〃-400>0,

解得〃>40或〃<一10（舍去），

此时存在正整数〃，使得S“〉60〃+800成立，〃的最小值为41。

综上，当a”=2时，不存在满足题意的〃；

当a“=4〃-2时，存在满足题意的〃，其最小值为41。

3.解（1）因为｛%｝是递增数列，所以。“+1-4=〃"，

又4=1,%=P+L。3=/+p+1,

2

因为q,24.3%成等差数列，所以4%=4+3%,4p+4=l+3p2+3p+3,3p=p,

解得P=g，P=0，当〃=0，4M—%=°，与｛勺｝是递增数列矛盾，所以〃二（。

（2）因为｝是递增数列，所以。2〃+1一。21>。，

于是（小向一生”）+（生“-生小）〉0①

由于声V声T，所以,2〃+1-4〃|VE"一1②

由①@得（生“-生”-J>°，所以出〃一叫"T=弓了!二喏③

22/1-1

因为｛。2“｝是递减数列，所以同理可得。2〃+1一。2〃<0,

由③@得知+1—4=£^—，

所以4=q+（出一％）+（%一%）+…+（%-4-）

，r[7

（一1）2（一1）3+（-l）_1｛2）_41（-1）

一",+丁++万丁-1+乙

1H--

2

41（-1?

所以数列｛%｝的通项公式为%=；+；彳斗.

332

4.解（1）当〃=1时，/=S]

n2+/?(n-1)2+(/?-1)

故数列｛%｝的通项公式为%=〃

(2)由(1)知，a=2〃+(—lJZ,记数列｛九｝的前2〃项和为了幼，

则与“=(21+22+...+22〃)+(—1+2—3+4—...+2”)

记A=2i+22+...+22〃，8=—1+2—3+4—...+2/?,

则A=31二2r2=2?向一2,

1-2

8=(-1+2)+(-3+4)+.......+[-(2〃-1)+2M]=n

故数列也,｝的前2〃项和笃“=A+B=22n+,+/i-2

5.解⑴令〃=1,则&=即，2.(12+1・3泗・3(12+1)=0,即42+处6=0,

解得0=2或m=-3(舍去).

(2)Sj-(〃2+〃-3)S”-3(〃2+〃)=0

可以整理为(S〃+3)fS〃-(/+〃)」=0,

因为数列｛d｝中小>0,

2

所以S〃#-3,只有Sn=n+n.

当n>2时,a*S〃5-I=〃2+〃-(〃-1)2-(〃-1)=2〃，

而“1=2,所以数列｛〃”｝的通项公式为a”=2n(〃GM).

E、,111111

⑶因为---------=-------------------：-<----j------------：-,

风4+1)2〃(2〃+1)44(〃_%〃+

111

"~~r"""'""r=~~r~‘

(n——)(〃+1——)n——n+i——

4444

所以--------+---------F...H---------------

4(4+1)。2(%+1)

=-1-----1---------1----

1]1

3-4/7+3<3

故对一切正整数〃，有——!——+—!—+…+—-—<-.

q（q+l）似。2+1）+D3

6.解⑴d=2,£=q,S2=2〃]+d,S&=4q+6d,

，,S2，S4成等比Sl=S.S4

解得4=1,/.an=2n-\

当〃为偶数时，7；=（1+；）—（；+J+$+9一……+（五g++）-（*+*）

bi、』.12n

当〃为奇数时，7；,=（1+1）-（-+-）+（-+-）-……-（—!—+—!—）+（—!—+—!—

“335572n-32/7-12n-\2〃+1

12n+2

所以。=1+

2n+12n+1

3-,〃为偶数

所以，=2〃+1

出为奇数

2n+\

7.解（I）由题意知：

{4}为等差数列，设。“=6+（〃一1"，<生为与。4的等比中项

a；=qX4且。尸0，即（4+d）2=4（4+3d）,vd=2解得:ax=2

an=2+（n-l）x2=2H

（I【）由（I）知：an=2n,bn=«n（n+1）=n（/2+l）

①当〃为偶数时:

7；,=-(1X2)+(2X3)-(3X4)+……+/?(/?+1)

=2(-1+3)+4(-3+5)+....+/z[-(??-l)+(n+l)]

=2x2+4x2+6x2+....+〃x2

=2x(2+4+6+....+〃)

c'72n+2n

=2x------三=----------

22

②当n为奇数时:

Tn=-(1X2)+(2X3)-(3X4)+……(〃+1)

=2(-1+3)+4(-3+5)+...+(??-1)[-(n-2)+n]-n(n+1)

=2x2+4x2+6x2+...+(〃-1卜2-〃(〃+1)

=2x[2+4+6+...+(n-l)]-n(n+1)

(2+D

n2+2n+l

=2x—n(H—1)=—

22

n~+2/?+1o火

-----------，〃为奇数

2

综上：Tn=

片为偶数

2

8.解(1)当n=l时flj=Si=l;

当论2时%=S,「S»\=一双〃一1尸一(〃-1)=3/1-2,

22

对n=l也满足，

所以的通项公式为4尸3止2;

(2)由⑴得。尸1,。产3〃2。”尸3〃?-2,

要使纵斯,胡成等比数列，

需要%2=%x《“，

所以(3沱2)2=3怯2,整理得加=3/-4/?+2£N",

所以对任意〃>1,都有使得%2=4X。m成立,

即颔而所成等比数列.

9.解⑴因为儿和，

所以由016n+1-t/n+l儿+2%也=0,

得％一%±+2=0,即—=2,

\\+1\+|bn

所以C“+M”=2,所以｛七｝是以5=亘=1为首项,2为公差的等差数列,

bi

所以Cn=l+(〃-1)x2=2〃-1.

(2)因为瓦=3叫金=2〃-1.

所以。产c滴

所以S„=1x312+3x3a+5x34+...+(2/1-1)3w+,,

3s产1x33+3x34+...+(2n-3)3H+l+(2n-1)3n+2,

作差得:-2S,产32+2(33+34+…+3向)-(2小1)3/2

=9+2x-(2n-l)3n+2=-[18+2(〃-1)3*2],

所以S产9+(%1)3叫

10.解(1)由已知可得也=生-1=&也一%=1,所以｛"｝是以1为首项，1为公差

〃+1n〃+1nn

的等差数列。

(2)由(1)得%=1+(n-1)=n,所以,从而々=〃.3"，

n

,23

S,f=1.3+2.3+3.3+...+n.3"

234rtrt+,

3S,f=1.3+2.3+3.3+...+(n-l)3+n.3

将以上两式联立可得・2邑=3'+3:+33+...+3w-n.3rt+,

:3.(1-3")n?3叫生网竺

所以S.=⑵-竽“+3

11.解(1)因为0=1,。“+尸3知+"£N\

所以为+i+g=3a“+l+g=3(q,+；).

113

所以《凡+二卜是首项为勾+：7=]，公比为3的等比数列•

2J22

13”3"-1

所以知+—=一，所以4尸

222

121„121

(2)——=----.——=1,当〃>1时，——=-----<-----

&3"-14%3”一13"-1

e”111111l-v3、113

12n

q4an333"TJ[2(3)2

~3

力।1113

所以，一+—+…+一<—.«€N.

4生册2

12.解(1)点(〃”,")在函数/())=2、的图象上，所以勿=2%,又等差数列｛6｝的公差

为d,

所以3=——=2”,

a2/

因为点(出，44)在函数/(x)的图象上，所以44=2他=4,所以2'=亭=4=4=2,

22

又q=-2,所以Sn=nax——d=-2n+n-n=n-3n.

(2)由/(乃=2"=>/(％)=2'仙2

函数/(x)的图象在点(外，4)处的切线方程为y-H=(2&ln2)(x-%)

所以切线在x轴上的截距为劣-----，从而。2-----=2-----，故a)=2

In2In2In2

从而见二〃，5=2",生_j_

b12"

「123n

T=—I-—7++

n222232"生2=22323+24+」2w+,

所以;1=；+?+最+g+1―n―1n-zzzJ—〃+2