高等数学试题(下)

高数II试题一、选择题（每题4分，共16分）1．函数在(0,0)点.(A)连续，且偏导函数都存在；(B)不连续，但偏导函数都存在；(C)不连续，且偏导函数都不存在；(D)连续，且偏导函数都不存在。2．设为可微函数，，则。()．()．；()．；()．。3．设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为。()．；()．；()．；()．。4．幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为。()．；()．；()．；()．。二、填空题（每题4分，共20分）设函数，则函数的全微分。函数在点处沿方向的方向导数为，其中O为坐标原点。曲面在点（1，2，0）处的切平面方程为。曲线积分（其中是圆周：）的值为。设的正弦级数展开式为，设和函数为，则,.三、计算题（每题7分，共21分）1．求方程的通解。2．交换二次积分的积分顺序。3．计算曲面积分，其中为锥面。四（9分）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求。 五、（10分）确定的值，使曲线积分与路径无关，并求分别为，时曲线积分的值。六、（10分）化三重积分为柱面坐标及球面坐标系下的三次积分，其中是由和，所围成的闭区域。七、（10分）求，其中∑为锥面的外侧。八、（4分）设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。高等数学II（A卷）096单项选择题（每小题4分，共16分）．微分方程，其特解设法正确的是（）． （A）；（B）；（C）；（D）设空间区域；，则()． （A）；（B）；（C）；（D）设，且收敛，，则级数（）．（A）条件收敛；（B）绝对收敛；（C）发散；（D）收敛性与有关。设二元函数满足，则（）．（A）在点连续；（B）；（C），其中为的方向余弦；（D）在点沿x轴负方向的方向导数为．填空题（每小题4分，共16分）．设函数，则=．曲面被柱面所割下部分的面积为．设，而，其中则，．幂级数的收敛域为．解答下列各题（每小题7分，共28分）．设是由方程确定的隐函数，可微,计算．在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面．将函数展开为的幂级数．计算，是由曲面及所围成的闭区域．解答下列各题（每小题10分，共30分）（10分）设具有二阶连续导数，，曲线积分与路径无关．求．（10分）计算积分，其中为圆周（按逆时针方向）．（10分）计算，其中为锥面被所截部分的外侧．综合题（每小题5分，共10分）在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大，并求出最大值．证明：设是单调递增的有界正数列，判断级数是否收敛，并证明你的结论．高等数学II期中试卷一、选择题（每小题3分，共计15分）下列微分方程中，通解是的方程是。()．；()．；()．；()．。微分方程的特解形式是。()．；()．；()．；()．。设为可微函数，，则。()．1；()．；()．；()．。设是以原点为圆心，为半径的圆围成的闭区域，则。()．；()．；()．；()．。5、设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为。()．；()．；()．；()．。二、填空题（每小题4分，共计24分）1、设，则，在点处的梯度。2、已知，是微分方程的解，则此方程的通解为。3、由曲线所围成的闭区域，则。4、函数在点处沿从点到点所确定方向的方向导数是。5、曲线在点处的切线方程为，法平面方程为。6、改变积分次序。三、计算题（每小题7分，共计49分）1、求微分方程的特解。2、用两种方法求微分方程的通解。3、已知具有二阶连续偏导数，利用线性变换变换方程。问：当取何值时，方程化为。4、求椭球面的平行于平面的切平面方程。5、在经过点的平面中，求一平面，使之与三坐标面围成的在第一卦限中的立体的体积最小。6、求。7、设区域，证明：。四、每小题6分，共计12分1、设，用方向导数的定义证明：函数在原点沿任意方向的方向导数都存在。2、设，若是连续可微的函数，求。2007－2008学年第(1)学期考试试卷高等数学II（A卷重修）一、填空题（每小题4分，共20分）设,则.=和是可微函数在点处取得(充分、必要、充要）条件.曲线在对应于点处的切线方程为:周期为的函数，它在一个周期内的表达式为,设它的傅里叶级数的和函数为,则S(0)=.微分方程的通解为.二、计算题（每小题8分，共40分）设求求函数在球面上点处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。交换积分次序。 将已知正数分成两个正数之和，问：为何值时使最大？求微分方程的通解。三、计算三重积分，其中是由柱面与平面，x=0所围成的第一卦限内的区域。（9分）四、计算，其中为球面的外侧。（9分）五、计算曲线积分，其中L：自点A＝沿曲线到点B＝的一段有向曲线弧（9分）六、求级数的收敛域与和函数。（9分）七、求极限（4分）高等数学下C（07）一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设由方程确定，则=。2．函数在点沿方向的方向导数=。3．为圆周，计算对弧长的曲线积分=。4．已知曲面上点处的切平面平行于平面，则点的坐标是。5．设是周期为2的周期函数，它在区间的定义为，则的傅里叶级数在收敛于。二、解答下列各题（每小题7分，共35分）设在积分区域上连续，交换二次积分的积分顺序。计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。设是由球面与锥面围成，求三重积分在柱坐标系下的三次积分表达式。设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求的一般表达式。求解微分方程。三、(10分)计算曲面积分，其中∑是平面在第一挂限部分的下侧。四、(10分)应用三重积分计算由平面及所围成的四面体的体积。五、(10分)求函数的极值。六、(10分)设是圆域的正向边界，计算曲线积分。七、(10分)求幂级数的收敛区间与和函数。高等数学II试题一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设由方程确定，则。2．函数在点沿方向的方向导数最大。3．为圆周，计算对弧长的曲线积分=。4．已知曲线上点处的切线平行于平面，则点的坐标为或。5．设是周期为2的周期函数，它在区间的定义为，则的傅里叶级数在收敛于。二、解答下列各题（每小题7分，共35分）设连续，交换二次积分的积分顺序。计算二重积分，其中是由轴及圆周所围成的在第一象限内的区域。设是由球面与锥面围成的区域，试将三重积分化为球坐标系下的三次积分。设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，求。求微分方程的通解。三、(10分)计算曲面积分，其中∑是球面的上侧。四、(10分)计算三重积分，其中由与围成的区域。五、(10分)求在下的极值。六、(10分)求有抛物面与平面所围立体的表面积。七、(10分)求幂级数的收敛区间与和函数。高等数学II试题（06）一、选择题（每小题3分，共计3分5=15分）1．曲面上对应于点处与轴正向成锐角的法向量可取为。（A）．；（B）．；（C）．；（D）．。2．设有两空间区域，：；：。则以下结论正确的是。

（A）．；（B）．；（C）．；（D）．。3．已知是微分方程的解，则的表达式为。（A）．；（B）．；（C）．；（D）．。4．设的正弦级数展开式为，则成立的区间为（A）．；（B）．；（C）．；（D）．5．下列微分方程中，通解为的方程是。（A）．；（B）．；（C）．；（D）．。二、填空题（每小题4分，共计4分5=20分）1．微分方程的特解形式可设为。2．曲面上点处的切平面方程为，法线方程为。3．积分的值为。4．设，则在点处的方向导数的最大值为。5．若幂级数在点处条件收敛，则该级数的收敛半径为。三、求解下列各题（每小题6分，共计6分3=18分）1．计算二重积分，是在第一象限的部分。2．求由所确定的隐函数在点处的全微分。3．已知，是可微函数，求与。四、（8分）求抛物线和直线之间的最短距离。五、（8分）设，是由曲面与所围成的闭区域，在上连续。试分别将此三重积分表示成直角坐标、柱面坐标和球面坐标下的三次积分。六、（8分）计算，其中是由曲线绕轴旋转一周而成的下侧曲面。七、（8分）求的收敛区间与和函数，并求。八、（10分）设连续可导，且。求，使得积分与路径无关，并求当，时的积分值。九、（5分）证明：，其中，为光滑曲线的长度高等数学第二期半期考试试题一、解答下列各题（每题６分）1.

利用二重积分求不等式r≤2cosq,r≤1所表达的区域的面积。2.

设z=(1+xy)x,求dz3.

求函数u=exyz在点P0(1,0,-1)沿方向的方向导数。其中P1的坐标为(2,1,-1).4.

设u=f(x,y,z),而j(x2，ey，z)=0，y=simx其中f,j具有一阶连续偏导数，且求。5.

设z=z(x,y)由。6.

求曲面x2+4y-z2+5=0垂直于直线的切平面方程。二、（每题８分）1.

计算二重积分其中Ｄ：x2+y2≤1。2.

计算二次积分。三、（每题８分）1.

求的一个特解。2.

求微分方程的通解。四、（８分）利用拉格朗日乘数法，求椭圆抛物面z=x2+2y2到平面x+2y-3z=2的最短距离。五、（１０分）求函数在点(1,1,4)处沿曲线在该点切线方向的方向导数。六、（８分）利用极坐标计算七、(６分)设f(u)为可微函数，f(0)=0。高等数学试卷(下期04)

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(每小题4分,共8分)1、二重积分(其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为答()2、设∑为球面x2+y2+z2=a2在z≥h部分，0<h<a,则答()二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题15分)1.

设L是|y|=1－表示的围线的正向，则___________2.设u=，可微，du=______________________________.3..I=____________________________.

三、解答下列各题(本大题8分)已知曲线积分与路径无关，其中可导，且，求

四、解答下列各题(本大题8分) 设由方程所确定，,求。五、解答下列各题(本大题8分)函数在点（1，2，－1）处沿哪个方向的方向导数值最大，并求此最大方向导数的值。六、解答下列各题(本大题6分)在内把函数展成Fourier级数。

七、解答下列各题(本大题8分)计算其中∑是z=1－x2－y2在xoy面上方的部分曲面的上侧。

八、解答下列各题(本大题16分)1．求微分方程的通解。2．设平面上有三个点，在的闭区域D上，求出点M，使它到点O、A、B的距离平方和为最大。九、解答下列各题(本大题8分)求幂级数 的收敛域。当x=1时，是绝对收敛还是条件收敛？并给出证明。

十、解答下列各题(本大题16分)1.设Ω是由z=x2+2y2及z=3－2x2－y2所围的有界闭区域。试将分别化成直角坐标与柱面坐柱下的三次积分式。

2.求正数，使曲面与椭球面在某点有相同的切平面，并写出切点的坐标。

高等数学试卷第二学期10T一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题3分)设f(x,y)是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为答()二、解答下列各题(本大题共15小题，总计90分)1、(本小题3分)设，求。2、(本小题3分)设函数，求时的全微分。3、(本小题3分)求函数的驻点。4、(本小题3分)计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.5、(本小题4分)6、(本小题5分)求微分方程 的通解。7、(本小题6分)设由方程所确定，求。8、(本小题7分)计算，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为V。9、(本小题7分)求数量场u(x,y,z)=ln(x2+2y2+3z2)的梯度。10、(本小题7分)求微分方程满足初始条件的解。11、(本小题7分)求的通解。12、(本小题7分)计算，其中Ω:1≤x≤2,1≤y≤2,1≤z≤2.13、(本小题7分)计算积分式中L是从点O(0，0)沿曲线y=sinx到点A(π，0)的弧段。14、(本小题9分)求曲面在点处的切平面和法线方程。15、(本小题12分)Ω是由x=0,y=0,z=0,及z2=cosx·cosy所围z≥0部分的区域。试计算I=.三、解答下列各题(本大题7分)D是由曲线y2=4(x+y)以及x+y=4所围的图形，试求D的面积。

高等数学试卷第二学期10T一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题3分)设f(x,y)是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为答()二、解答下列各题(本大题共15小题，总计90分)1、(本小题3分)设，求。2、(本小题3分)设函数，求时的全微分。3、(本小题3分)求函数的驻点。4、(本小题3分)计算二重积分其中D：0≤x≤1,0≤y≤2.5、(本小题4分)6、(本小题5分)求微分方程 的通解。7、(本小题6分)设由方程所确定，求。8、(本小题7分)计算，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为V。9、(本小题7分)求数量场u(x,y,z)=ln(x2+2y2+3z2)的梯度。10、(本小题7分)求微分方程满足初始条件的解。11、(本小题7分)求的通解。12、(本小题7分)计算，其中Ω:1≤x≤2,1≤y≤2,1≤z≤2.13、(本小题7分)计算积分式中L是从点O(0，0)沿曲线y=sinx到点A(π，0)的弧段。14、(本小题9分)求曲面在点处的切平面和法线方程。15、(本小题12分)Ω是由x=0,y=0,z=0,及z2=cosx·cosy所围z≥0部分的区域。试计算I=.三、解答下列各题(本大题7分)D是由曲线y2=4(x+y)以及x+y=4所围的图形，试求D的面积。

2002—2003学年高等数学第二学期试题一、选择题（12分，每题4分）1．函数（）。（A）处处连续（B）处处有极限，但不连续（C）仅在（0，0）点连续（D）除（0，0）点外处处连续2．设为平面在第一卦限的部分，则（）（A）（B）（C）（D）1．若，则（A）（B）（C）（D）二、填空题（25分，每题5分）1．设函数由方程所确定，则2．设C为正向圆周，则3．设在内连续，为使它在区间上的傅里叶展开式具有形式，须将作何种延拓？，4．设，由二重积分的几何意义知5．设，求三、解答下列各题（每小题6分）1．求函数在点处沿方向的方向导数，其中O为坐标原点。2．在椭圆抛物面上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线四、解答下列各题（8分）设为连续函数，交换下列积分的积分次序，并写出该积分在极坐标系中先积r后积的二次积分。五、解答下列各题（8分）设空间区域由曲面和平面所围，为的表面外侧，求六、解答下列各题（8分）求微分方程的通解。七、解答下列各题（10分）在圆的部分上找点P，使其到点M(2,1)的距离为最小。八、解答下列各题（8分）试求幂函数的收敛域及和函数。九、解答下列各题（9分）1．设，其中是第一卦限满足的有界闭区域。试讨论当时的极限及当极限存在时的极限值。若数列收敛，级数收敛，则级数收敛。2001—2002学年高等数学第二学期试题一、填空（每题4分）1．设具有连续的一阶偏导数，其中，则2．设域是在与两者中比较大的值是3．设幂级数的收敛域为（―4，2），则幂级数的收敛区间为4．微分方程的通解是二、试解下列各题（每题6分）1．设是连续函数，改变二次积分的积分次序。2．计算曲线积分。式中由极坐标方程所表示的曲线上从到的一段。3．计算，其中为球面的外侧。4．求微分方程的一个特解。三、（8分）设曲面为是此曲面上一点，试证曲面在点处的法线与向径垂直。四、（10分）修建一座容积为的形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别是地面每单位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高，使它的造价最小。五、（8分）函数由方程所确定，其中具有一阶连续偏导数，求。六、（8分）设是由及所围的有界闭区域。试计算。七、（6分）求函数在（1，1）点沿方向的方向导数。八、（6分）设都是具有二阶连续偏导数的二元函数，且使曲线积分与都与积分路径无关。试证：对于函数，恒有。九、（14分）1．求幂级数的收敛区间及和函数。周期为2的函数，设它在一个周期上的表达式为，将展成傅立叶级数。高等数学Ⅱ半期试题一.

(本题6分) 利用二重积分求不等式r≤2cosθ且r≤1所表达的区域的面积.二.

(本题6分)设Ω是由z=+及z=1所围的有界闭区域，试将 化成球面坐标下的三次积分式。

三.

（本题6分）设z=,求dz四.

（本题6分）求函数u=在点（1，0，-1）处沿方向的方向导数,其中的坐标为(2,1,-1).五.

(本题6分) 设,其中具有一阶连续偏导数，且六.

（本题6分）求函数u=在点（1，1，4）处沿曲线在该点切线方向的方向导数。七.

（本题8分） 计算二重积分 ，其中D：八.

（本题8分） 求微分方程的一个特解。九.

（本题8分） 利用多元函数求极值的方法，求点P（1，2，-1）到直线的距离。十.

（本题8分） 计算，其中是由z=及z=1，z=2围成。十一.

（本题8分） 设z=z（x，y），由z+x=确定，求十二.

（8本题分） 计算二次积分十三.

（本题8分） 求微分方程的通解。十四.

（本题8分） 证明不等式

02高等数学第二学期半期试题

一．（20分）计算下列各题：1．

Z=,求ZX,ZY2．

U=xy2z3,求Ux,Uy,Uz3．

U=,求dU4．

Z=f(xsiny,x),求Zx,Zxx.二．（10分）１．已知曲空曲线Γ：在（-1,1,-1）处的切线及法平面方程。２．求球面x2+y2+z2=56在M0(2,4,6)的切平面及法线方程。

三．（8分）求Z=x2–xy+y2+9x-6y+20的极值

四．（20分）计算下列各题：１．,D：y=x，y=5x，y=1围成区域。２．积分换序:将下积分化为先对X后对Y的积分。３．,D：４．,V：z=xy,x+y=1,z=0如图：五．（15分）计算曲线积分：１．

,L：为由直线y=x及抛物线y=x2所围区域边界。２．

,L：为圆周x=Rsint,y=Rcost上对应t从0到的一段弧.３．

利用格林公式计算曲线积分，L为三顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界。ZZ

六．（10分）计算曲面积分：１．I=,∑：x2+y2-z2=0,0≤z≤1XXYY２．,∑：x+y+z=1,侧向如图：

七．（10分）求解各题：１．

２．

验证(siny-ysinx+x)dx+(cosx+xcosy+y)dy是某函数u(x,y)的全微分，并求出该函数u(x,y).

八．（7分）用高斯公式求：Σ：x2+y2+z2=a2的外侧第二学期高等数学试题(一)一、填空题(每小题3分，共15分)1．

设u=x4+y4-4x2y2，则uxx=2．

设u=xy+y/x，则uy=3．

函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是4．

设幂级数的收敛半径是4，则幂级数的收敛半径是5．

设Σ是柱面x2+y2=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则=二、单选(每小题2分，共8分)1、函数在点处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。 答（）2、微分方程满足条件y’(2)=1,y(2)=1的解是(A)y=(x-1)2 (B)y=(x+1/2)2-21/4(C)y=1/2(x-1)2+1/2 (D)y=(x-1/2)2-5/4 答（）3、若方程的系数p+qx=0，则该方程有特解(A)y=x (B)y=ex(C)y=e–x(D)y=sinx 答（）4、微分方程的一个特解应具有形式 答（）(A)Asinx (B)Acosx (C)Asinx+Bcosx(D)x(Asinx+Bcosx)三、解答下列各题1．

(本小题6分)利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2