专题03指数运算与指数函数（考点串讲）高一数学上学期期末考点大串讲（北师大版2019）

高一数学上学期·期末复习大串讲专题03指数运算与指数函数北师大版（2019）010203目

录押题预测题型剖析考点透视10大常考点：知识梳理

14个题型典例剖析+技巧点拨精选10道期末真题对应考点练考点透视01考点透视考点1.

根式的定义(1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做____________，其中n＞1，且n∈N＋.(2)a的n次方根的表示①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．a的n次方根用符号_______表示；②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．正数a的正的n次方根用符号_______表示，负的n次方根用符号______表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成____________；a的n次方根考点透视考点2.根式的性质没有0根指数被开方数aa|a|考点透视考点3.分数指数幂的意义0没有意义提示考点透视考点4.有理数指数幂的运算性质ar＋sarsarbr考点透视考点5.指数函数的定义知识点

一般地，____________________________________________________________________．[想一想]指数函数中为什么要规定a>0，且a≠1?函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R提示考点透视考点6.指数增长模型知识点

在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝_______________．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．N(1＋p)x(x∈N)考点透视考点7.指数函数的图像与性质a>10<a<1图象性质定义域____值域_____________过定点过定点________，即x＝___时，y＝___函数值的变化当x>0时，____；当x<0时，________当x>0时，________；当x<0时，____单调性是R上的增函数是R上的减函数对称性y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称R(0，＋∞)(0，1)01y>10<y<10<y<1y>1考点透视考点8.不同底指数函数图象的相对位置

[点拨]

(1)函数图象只出现在x轴上方．(2)当a>1时，x→－∞，y→0；当0<a<1时，x→＋∞，y→0.(3)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．知识点

指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b.考点透视考点9.指数型复合函数的单调性

(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性．它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点：u＝g(x)y＝f(u)y＝f(g(x))增增增增减减减增减减减增题型剖析题型10.无理数指数幂

实数指数幂的运算性质知识点

(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．(2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点

(1)aras＝_____(a>0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝____(a>0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝____(a>0，b>0，r∈R)．[拓展]

＝ar－s(a>0，r，s∈R)．[提醒]

实数指数幂中一定要有a>0.ar＋sarsarbr题型剖析02题型剖析题型1n次方根与根式答案解析题型剖析题型2.根式化简与求值解题型剖析题型3.根式与分数指数幂的互化解题型剖析题型4.有理数指数幂的运算题型剖析题型4.有理数指数幂的运算解题型剖析题型5.实际问题中的指数运算答案解析【例题5【某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个)，则这种细菌由1个分裂成4096个需经过_____小时．解析：设细菌由1个分裂成4096个分裂了x次，则2x＝4096＝212，则x＝12，即需分裂12次，需12×15＝180(分钟)，即3小时．3题型剖析题型6.指数幂运算中的条件求值解题型剖析题型7.指数函数的概念

【例题7】下列函数中，指数函数的个数是(

)①y＝(－8)x；②y＝2x2－1；③y＝ax；④y＝2×3x.A．1 B．2C．3 D．0解析①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x，而是x的函数，所以不是指数函数；③中底数a，只有规定a>0，且a≠1时，才是指数函数；④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数．故选D.答案解析题型剖析题型8.指数函数的解析式及应用答案解析题型剖析题型9.指数型函数的实际应用

【例题9】目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)．题型剖析题型9.指数型函数的实际应用

解

(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N＋)．(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．解题型剖析题型10.指数函数的图象【例题10】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(

)A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c答案题型剖析题型10.指数函数的图象解析解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．所以a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解析题型剖析【例题11】函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(

)A．(0，1) B．(3，3)C．(3，4) D．(4，3)解析：解法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3，4)．解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3，4)．答案解析题型11.指数函数图象的应用题型剖析题型12.利用指数函数的单调性比较大小答案解析题型剖析题型13.利用指数函数的单调性解不等式解题型剖析题型14.指数函数性质的综合应用题型剖析题型14.指数函数性质的综合应用解题型剖析题型14.指数函数性质的综合应用解押题预测031．(2024·宁夏吴忠秦宁中学高一上月考(二))给出下列函数，其中为指数函数的是(

)A．y＝x4 B．y＝xxC．y＝πx D．y＝－4x解析：因为指数函数的形式为y＝ax(a>0，且a≠1)，所以y＝πx是指数函数．故选C.答案解析答案解析3．按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3%，5年后支取，本利和应为(

)A．2×(1＋0.3)5万元

B．2×(1＋0.03)5万元C．2×(1＋0.3)4万元

D．2×(1＋0.03)4万元解析：由题意可得，存入银行2万元后，一年后本利和为2×(1＋0.03)万元，两年后本利之和为2×(1＋0.03)2万元，…，故5年后支取，本利和应为2×(1＋0.03)5万元．答案解析4.(2024·河南南阳一中高一上月考)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(

)A．a>1，b<0 B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0解析：由函数f(x)＝ax－b的图象可知，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，∴0<a<1，排除A，B；函数f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象向左平移所得，∴－b>0，∴b<0.故选D.答案解析答案解析答案解析答案解析9．若2x＋1<1，则x的取值范围是(

)A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(0，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)解析：∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是R上的增函数，∴x＋1<0，∴x<－1.答案解析10．(2024·河北正定中学高一上月考)如果a>1，