2024年数学高考一轮复习利用导数求单调性试卷

4.2利用导数求单调性（精讲）函数的单调性与导数的关系一般地，设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间具有如下关系：①在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调增区间；②在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调减区间．③在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数．易错点：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.一．利用导数求函数单调区间的方法法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间；（无参函数）确定函数单调区间的步骤①确定函数f(x)的定义域．②求f′(x)．③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．法二：当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．易错点：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开．二．根据函数单调性求参数的一般思路法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．含参函数单调性的分类讨论1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．3.讨论点一般有三类：①自变量系数a分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,a＝0，,a>0，))②判别式Δ分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ<0，,Δ＝0，,Δ>0，))③两根的大小分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1<x2，,x1＝x2，,x1>x2.))四．单调性的应用1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再进行比较．2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式．3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．五．易错点1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．注意：若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．考法一利用导数求函数的单调区间（无参）【例1-1】（2023春·湖北）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，令，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：B【例1-2】（2023春湖南）函数的单调递增区间是（

）A． B．

C． D．【答案】B【解析】令，得，∴当时，单调递增.故选：B【一隅三反】1．（2023春·河南）函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的定义域为，，由，可得，故的单调递减区间为.故选：C．2．（2023春·吉林长春）函数的单调递增区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，令，解得或，故其单调增区间为，故选：A.3．（2023春·山东）若函数，则函数的单调递减区间为（

）．A．， B．，C． D．【答案】C【解析】，函数定义域为，，令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.考法二导函数图像判断原函数图像【例2-1】（2023春·广东）已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（

）

A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．当时，>0D．当时，=0【答案】C【解析】由图像可知函数的增区间为，减区间为，故AB正确；由单调性可知，函数在处取得极值，所以，D正确；当时，函数单调递减，所以，C错误.故选：C【例2-2】（2023·广西）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.只有C选项的图象符合.故选：C.【一隅三反】1．（2023·山东）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，当时，单调递增，则在上增的越来越快，当时，单调递减，则在上增的越来越慢，当时，单调递减，则在上减的越来越快，当时，单调递增，则在上减的越来越慢，只有A选项符合.故选：A.2．（2023·山西）函数的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．的符号不确定【答案】B【解析】如图所示，在上单调递减，所以故选：B3．（2023春·河南新乡）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（

）

A．在上单调递增B．C．曲线在处的切线的斜率为0D．最多有3个零点【答案】D【解析】设，且．由图可得，当时，，当时，．所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．故最多有3个零点．排除ABC.故选：D4．（2023·海南）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由导函数图象知，，恒成立，即函数在上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减，因此在上，函数的变化率逐渐增大，即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD不满足，在上，函数的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓，选项C不满足，选项B符合题意.故选：B.考法三已知函数单调性求参数【例3-1】（2023春·北京海淀）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是___________；若在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】因为，，在区间内单调递增，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，，，因为在，，则的取值范围是：.若在上存在单调递增区间，则在上有解，即在上有解，，又，.则的取值范围是：.故答案为：；.【例3-2】（2023·天津）若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因为函数有三个单调区间，所以，解得：.故选：A【例3-3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【解析】函数的定义域为，且，令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：故选：B.【一隅三反】1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【答案】C【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．2．（2023·陕西西安·统考三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，则，所以在上递增，又，所以.所以的取值范围是.故选：B3．（2023春·四川成都）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】由，由已知递减区间，则得：，故，1是的两根，，，故选：A4．（2023春重庆）（多选）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，令，则，故当单调递增，当单调递减，且即，故选：BD5．（2023·陕西）函数在区间上不单调，实数的范围是____________.【答案】【解析】，，令，得.当或时，；当时，.所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值点为，极小值点为.由题意可得或，解得或.所以实数的范围是.故答案为：.考法四单调性的应用--比较大小【例4-1】．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，可得函数为偶函数，当时，则，可得，构建，则，令，解得；令，解得；所以在上单调递减，在上单调递增，可得，即在上恒成立，故在上单调递增，又因为，且，所以，即.故选：D.【例4-2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知，，，则下列判断正确的是（

）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c【答案】D【解析】设，则恒成立，所以函数在上单调递增，因为，所以，则，即，则.故选：D.【例4-3】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故，所以，当时取等号.所以，令，则，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故，所以，当时取等号.所以，即.故选：C.【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，，所以构造函数，因为，由有：，由有：，所以在上单调递减，因为，，,因为，所以，故A，B，D错误.故选：C.2．（2023·山西·校联考模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知，，，令，则，，所以在上单调递减，又因为，所以，即．故选：D.3．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设函数，则，当时，，当时，，故在单调递增，在上单调递减，又，，，因为，故，即，故选：B考法五单调性的应用--解不等式【例5-1】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】均为偶函数，故函数为偶函数，令则，，即在R上单调递减，又在恒成立，故函数在上递减，在递增..故选：C.【例5-2】（2023春·四川凉山·）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，则，即，即，所以，即的解集为.故选：D【一隅三反】1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是______.【答案】【解析】因为函数，所以，即函数为奇函数，且，则函数为增函数，则不等式等价于，即，解得，所以不等式的解集为.故答案为：2．（2023春·江苏盐城）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，构造函数，则，所以函数在R上单调递增，又，即，所以，即，解得.故选：D.3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数，，若，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】由，函数是定义在上的偶函数，又，令且，则，故在上递增，所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上递增，则上递减，，则，，即，即，在上单调递增，，即，解得．故答案为：．考法六含参函数单调性的分类讨论【例6-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数.讨论函数的单调性；【答案】答案见解析.【解析】函数，，则，当，即时，恒成立，即在上单调递增；当，即时，令，解得，+0↗极大值↘综上所述，当是，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.【例6-2】．2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数，讨论的单调性；【答案】答案见解析【解析】的定义域为，，当时，，在上为增函数；当时，由，得，由，得，所以在上为减函数，在上为增函数.综上所述：当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，在上为增函数.【例6-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数，讨论函数的单调性；【答案】答案见解析【解析】，令，则两根分别为.1.当时，在恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间；2.当时，令得或，令得，所以单调递增区间为，单调递减区间为；3.当时，令得或时，令得，所以单调递增区间为，单调递减区间为.综上当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.【例6-4】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数，讨论函数的单调性；【答案】答案见解析【解析】因为，该函数的定义域为，.因为，由得：或.①当，即时，对任意的恒成立，且不恒为零，此时，函数的增区间为，无减区间；②当，即时，由得或；由得.此时，函数的增区间为、，减区间为；③当，即时，由得或；由得.此时函数的增区间为、，减区间为.综上所述：当时，函数的增区间为，无减区间；当时，函数的增区间为、，减区间为；当时，函数的增区间为、，减区间为.【例6-5】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数，讨论的单调性；【答案】答案见解析【解析】的定义域为R，，，对于，则，当时，，在上单调递增，当时，由得，当和时，，当时，，在单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单增，当时，在上单调递增，在上单调递减；.【一隅三反】1．（2023·陕西咸阳）已知，讨论函数的单调性；【答案】答案见解析【解析】由题知，.当时，当时，；当时，，在区间上是㺂函数，在区间上是增函数；当时，；当或时，；当时，；在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；当时，在区间上是增函数；当时，；当或时，；当时，；在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；综上所述，当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；当时，在区间上是增函数，在区间上是减函