2024-2025学年广西百色市普通高中高二上学期期末教学质量调研测试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西百色市普通高中高二上学期期末教学质量调研测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线l的倾斜角α=5π6，则直线l的斜率为(

)A.−33 B.−3 2.双曲线9x2−16yA.16 B.8 C.4 D.33.如图，三棱锥O−ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点N为BC中点，点M满足OM=A.12a−13b−134.等差数列{an}的前n项和为Sn，其中S7=7A.2 B.−2 C.2或−2 D.45.已知直线l的方向向量为n=(1,0,1)，且l过点M(1,−1,−1)，则点N(1,1,1)到直线l的距离为(

)A.1 B.2 C.6 D.6.已知圆O1:x2+yA.圆O1与圆O2相切

B.两圆公共弦所在直线的方程为x−y+1=0

C.两圆的公切线段长为3

D.有且仅有一个点P，使得过点7.设O为坐标原点，直线y=−3(x−1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与抛物C交于M，N两点，lA.p=3 B.|MN|=83

C.以线段MF为直径的圆与y轴相切 D.8.已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an−2，若A.λ>74 B.λ≥74 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知椭圆4x2+3yA.焦点在x轴 B.焦点在y轴 C.焦距是27 D.10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为2，E、F、G、H分别为CC1、BCA.B1G⊥EF

B.A1H//平面AEF

C.异面直线A1H与EF所成角的余弦值为5511.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记斐波那契数列为an，其前n项和为Sn，则(

)A.a9=34

B.S7=32

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，c=(1,2,2)，且ka+b与c互相平行，则实数13.已知数列{an}的通项公式an=114.已知离心率为e1的椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知直线l1:(a+1)x−2y−1=0，直线(1)若l1/​/l2(2)若l1⊥l216.(本小题12分)已知圆C:x(1)若直线l经过点A(−1,−3)，且与圆C相切，求直线l的方程;(2)设点D(3,2)，点E在圆C上，M为线段DE的中点，求M的轨迹的长度．17.(本小题12分)

如图，在四棱锥A−BCDE中，AB=AC=CD=2BE=4，BE//CD，CD⊥CB，AB⊥AC，平面ABC⊥平面BCDE，O为BC中点．

(1)求证：AO⊥平面BCDE;(2)求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值;(3)问：线段AC上是否存在一点Q，使OQ//平面ADE?如果存在，求AQAC的值;如果不存在，请说明理由．18.(本小题12分)

如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为2(3+2)和2(3(1)求椭圆C的方程;(2)若|MN|=10，求直线l(3)当直线PM，PN与x轴均不垂直时，设直线PM的斜率为k1，直线PN的斜率为k2，求证：k19.(本小题12分)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S(1)已知数列{an}是等差数列，且a1=0，求证：数列(2)若数列{an}的首项a1=1，且an+1−2a(3)设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d<0.若{an参考答案1.A

2.D

3.B

4.A

5.C

6.D

7.C

8.D

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.解：∵向量

a=(1,1,0)，

b=(−1,0,2)，

∴

ka+b=(k−1,k,2)，c=(1,2,2)，

∵ka+b与c互相平行，

∴

k−113.3

14.3+215.解：(1)由l1//l2，则(a+1)×[−(a−2)]=−2(2a−1)，且−2×1≠−(a−2)×(−1)，

解得a=5；

(2)由l1⊥l2，则(a+1)(2a−1)+2(a−2)=016.解：(1)圆C的标准方程为(x−2)2+(y−3)2=9，

圆心C(2,3)，半径r=3，

当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=−1，

圆心C(2,3)到l的距离d=3，所以d=r，

直线l与圆C相切，符合题意，

当直线l的斜率存在时，

设l的方程为y+3=k(x+1)，即kx−y+k−3=0，

所以圆心C(2,3)到l的距离d=|3k−6|1+k2，

由|3k−6|1+k2=3，得(k−2)2=1+k2，解得k=34，

所以直线l的方程为y+3=34(x+1)，即3x−4y−9=0，

综上，直线l的方程为x=−1或3x−4y−9=0；

(2)设M(x,y)，E(x1,y1)，

因为M为线段DE的中点，17.(1)证明：因为AB=AC，O为BC中点，所以AO⊥BC，

又平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AO⊂平面ABC，

所以AO⊥平面BCDE．

(2)解：以C为坐标原点，CB，CD所在直线分别为x，y轴，平行于AO的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(22,0,22),E(42,2,0),D(0,4,0),O(22,0,0)，

所以AE=(22,2,−22),ED=(−42,2,0)，

设平面ADE的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE=22x+2y−22z=0n⋅ED=−42x+2y=0，

令x=1，可得n=(1,22,3)，

易知平面ABC的一个法向量为m=(0,1,0)，

所以cos<m，n>=m⋅n|m|⋅|n|=218.解：(1)因为椭圆C上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为2(3+2)和2(3−2)，

所以a+c=2(3+2)a−c=2(3−2)，

解得a=23c=22，

所以b=a2−c2=2，

则椭圆C的方程为x212+y24=1；

(2)因为直线l的斜率为−13，

设直线l的方程为y=−13x+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

联立y=−13x+mx212+y24=1，消去y并整理得4x2−6mx+9m2−36=0，

此时Δ=(−6m)2−144(m2−4)>0，

解得−4319.解：(1)因为a1=0，设公差为d，

所以Sn=n(n−1)d2，

令m=n(n−1)2+1，则m∈N∗，

此时am=(m−1)d=n(n−1)d2=Sn，

即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得Sn=am，

所以，数列an是H数列；

(2)因为数列an的前n项和Sn=2an−1，

当n=1时，a