高考数学一轮复习 单元滚动检测十三 推理与证明、算法、复数 理 试题

单元滚动检测十三推理与证明、算法、复数

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共4页.

2.答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相

应位置上.

3.本次考试时间120分钟，满分150分.

4.请在密封线内作答，保持试卷清洁完整.

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.（2016•青岛质检）设i是虚数单位，复数笠♦为纯虚数，则实数a的值为（）

2—1

A.2B.-2C.—"D.~

乙CJ

2.观察下列各式：7J=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,•••,则721m的末两位数字

为（）

A.49B.43C.07D.01

3.（2016•黄岗质检）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输的结果是（）

|a=2,/=i-]

Ii=i+lI

A.2B.—1C.~D.7

24

4.要证：只要证明（）

A.2ab—l—孑戌&0B.a?+,一]_''wo

C.冬——D.(a-1)

5.（2016•安徽“江淮十校”第三次联考）我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割

之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一

种无限与有限的转化过程，比如在42+<2+也+…中“…”即代表无限次重复，但原式

却是个定值*，这可以通过方程4-=x确定x=2,则1十一『等于（）

1+75—

1十…

一小-1乖T[+乖—乖

A.2B，2C,2"2

6.（2016•宝鸡质检）定义某种运算s=ab,运算原理如程序框图所示，则21叫「+24）一1

的值为（）

（W）

/输入ah/

/输出/输出—+1)/

I11

A.12B.11C.8D.4

7.平面内有〃条直线，最多可将平面分成f（〃）个区域，则f（〃）的表达式为（)

A.〃+1B.2n

n+〃+2

仁~2-D.〃'+〃+1

8.（2016•沈阳质检二）用数学归纳法证明不等式l+J+Jd----（〃七N+）成立，

Z4Z04

其初始值至少应取（）

A.7B.8C.9D.10

9.（2016•西安地区八校联考）执行如图所示的程序框图，若输出的值是13,则判断框内应

为（）

A.AV6B.AW6C.k<7D.kW7

10.(2016•陕西第三次质检)已知整数按如下规律排一列：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),

(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是()

A.(4,8)B.(5,7)C.(6,6)D.(7,5)

11.(2016•湖南长郡中学月考二)某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖,

全部商品共有〃类(〃£N+),分别编号为1,2,…，〃，买家共有加名(m£N+,加〈〃)，分别

b第/名买家购买第J类商品，

编号为1,2,­••,m.若a=则同时

{J0,第/名买家不购买第j类商品,

购买第1类和第2类商品的人数是()

A.a1+&2+・2+8口+%1+&2-|----F斑e

B.a1i+/i+・f+&i+&i2+a22+・・・+a《

C.anai2+a2i电+•••+&】&您

D.an^21+ai2^2H----Facap

12.(2016•陕西质检二)小明用电脑软件进行数学解题能力测试，每答完一道题,软件都会

自动计算并显示出当前的正确率(正确率=已答对题目数+已答题目总数).小明依次共答了

10道题，设正确率依次相应为a,所,京，…，a。.现有三种说法：

①若aV悬〈演<…〈句0,则必是第一题答错，其余题均答对；

②若&>/>&>—>&(1,则必是第•题答对，其余题均答错；

③有可能35=23,0.

其中正确的个数是()

A.1B.0C.3D.2

题号123456789101112得分

答案

第H卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.已知i为虚数单位，aWR.若4-i+Q+l)i为纯虚数，则复数z=a+(a-2)i在复平

面内对应的点位于第________象限.

14.(2016•济南一模)执行如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间心，内，则输

入的实数X的取值范围是—

隔w

a?=2'i

扁HWV

15.（2016♦湖南长郡中学月考）对于大于1的自然数m的三次暴可用奇数进行以下方式的

13,

7,

315,

“分裂”：23=9,

517,

」1，

.19,

依此，若福的“分裂数”中有一个是2015,则勿=.

16.《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数（shCi）,三三数（shR之剩二，五五数

之剩三，七七数之剩二，问物几何？.（只写出一个答案即可）

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）（1）已知复数2=个方；2,7是z的共挽复数，求z-7的值；

z+1

（2）求满足一=i（i为虚数单位）的复数z；

z

（3）计算渣7）2W6+《±i）6（i是虚数单位）.

1-11-1

18.（12分）有一种密英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a,b,c,z的26个

字母（不分大小写），依次对应1,2,3,…，26这26个自然数，见如下表格:

abcdefghiJk1m

12345678910111213

n0PqrstuVwXyz

14151617181920212?23242526

—xEN,1WA<26,x不能被2整除，

x

)^+13x£N,1W*W26,x能被2整除.

o

将明文转换成密文，如8f5+13=17,即h变成q；

54-1

如5-亍=3,即。变成c.

(D按上述规定，将明文good译成的密文是什么？

(2)按上述规定，若将某明文译成的英文是shxc,那么原来的明文是什么？

19.(12分)如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：①从契合〃中随机抽取1个

数作为自变量x输入।②从函数与s(x)中随机选择一个作为进行计算；③输出函

数值乂若g{1,2,3,4,5},F(x)=3x+1,g(x)=x.

I

/Wb7

(1)求y=4的概率；

(2)将程序运行一次，求输出的结果是奇数的概率.

20.(12分)用数学归纳法证明不等式胃工,..........1>m+数〃£N+).

21.(12分)在中，若ABUC,ADLBC于点、D,则表=表+*.类比上述结论，在四面

体力四中，你能得到怎样的猜想，并予以证明.

22.(12分)已知a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx).

(1)求证：向量a与向量b不可能平行；

(2)若/'(x)=a•b,且［―p：］,求函数f(x)的最大值及最小值.

答案精析

「..1+ai】+ai2+i2—a2a+1.

1.ALT2T=―而-=-5-+511

O—Oq_|_1

•••一=0,竺1NO,・・.a=2.故选A.]

55

2.D[7”W”5,…的末两位数字分别为07,49,43,01,07,…，周期性出现(周期为4),

而2016=4X504,所以72班的末两位数字必定和7"的末两位数字相同，故选在]

3.C[由于a=2,7=1；7=2；a=—1,7=3；a=2,j=4；…，由此规律可知，

a=2,/=3A+1；a=1,i=3〃+2；々=—1,7=3A+3,其中4£N+.从而可知当i=20时,

退出循环，此时

4.D[要证/+斤一1——作<0.

即证a6—a—t）+1^0>

只要证（才一1）（4—1）20.]

5.C[设1+------=x,则l+'=x,即彳-1=0,

1+4x

1十…

解得x：12乎（*=上坐舍）.故1+—1―=以泸，故选C.]

%+…

ab+1,&》b,

6.A[由程序框图知s=ab=

b<a+l,a<b,

.*.21n4=2^=3,2(g)T=23=9,

；.21nm+2(1)7=12,故选A.]

*3

7.C[1条直线将平面分成1+1个区域：2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;

3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域；……；〃条直线最多可将平面分成1

+(1+2+3+…+〃)=1+"中="+；+2个区域,故选c.]

乙乙

IXT127

8.B[据已知可转化为------------>—.整理得2">128,

.104

1-2

解得〃>7,故原不等式的初始值为〃=8,故选B.]

9.A[依题意，执行题中的程序框图，进行第一次循环时，k=l,c=2,a=l,6=2；进

行第二次循环时，k=2,c=3,a=2,Z?=3；进行第三次循环时，A=3,c=5,a=3,6=5；

进行第四次循环时，k=4,c=8,a=5,6=8；进行第五次循环时，力=5,c=13,a=8,b

=13；进行第六次循环时，k=6,因此当输出的值是13时，判断框内应为女<6.〕

10.B[由已知数对得数对中两个数的和为2的有1对，和为3的有2对，和为4的有3

对，…，和为〃的有〃一1对，且和相等的数对的第一个数以1为公差递增，从〃=2到〃=

11共有数对1+2+3+…+10=55,〃=12时有11个数对，分别是(1,11),(2,10),(3,9),

(4,8),(5,7),…，故第60个数对是(5,7),故选B.]

「第，.名买家购买第送商品'

lWiW勿所以若第i名

(0,第/名买家不购买第/类商品,

买家同时购买第1类和第2类商品，则&⑶2=1,否则d㈤2=0,所以同时购买第1类和第

2类商品的人数是国向2+a】改2~1---Faia碗，故选C.]

12.C[对于①，若第一题答对，则a=l,创》生,与题意不符，所以第一题答错，若剩余

的9道题有答错的,不妨设第H422)道题答错,则由〈色7.与题意不符,所以剩余的题

均答对，①正确；对于②，若第一道题答错，则&=0,与题意不符，所以第一题答

对，若剩余的9道题有答对的，不妨设第内衣22)道题答对，则&W&T,与题意不符，所

以剩余的题均答错，②正确；对于③，设前5道题答对才道题，后5道题答对y道题，则由

&=2&。得《=2•小，解得尸C,即当后5道题均答错时，,=2向。，③正确.综上所述，

01U

正确结论的个数为3,故选C.]

13.四

解析因为才一l+(a+l)i为纯虚数，所以a=l.所以z=l-i对应的点在第四象限.

14.[-2,-1]

解析若超[-2,2],则f(x)=2打；1],不合题意；

当万£[-2,2]时，ra)=2'e[|,1],得才£[一2,-1].

15.45

解析由题意不难找出规律，23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,加增加1,

累加的奇数个数便多1,我们不难计算2015是第1008个奇数，若它是卬的分解，则1至

/〃一1的分解中，累加的奇数一定不能超过1008个.

1+2+3+…+(勿-1)<1008,1+2+3+…+(卬-1)+卬21008,即----—<1008,

乙

——―21008,解得卬=45.

16.23(23+105(/7-1),〃仁N+均可)

解析由题意可得物体的个数为30+2=5〃+3=74+2,

勿，〃，MN+,所以物体的个数可以是23.

m+i_m+i_镜+i

17.解

l-y/3i2~-2-2y/3i~~21+4

_#+i1-也i_2镜-2i__更J.

~-2l+^/3i1一小i~-8~4十T

(2)由已知得，z+i=zi,则z(l—i)=-i,

⑶原式=[(咨)L+(罟)二号M—/

=i4X252+i4+2=1-1=0.

7+1

18.解(l)g->7->—=4-d；

15+1

o-*15f2=8-*h；

4

df4f5+13=15->。.

则明文good的密文为dhho.

(2)逆变换公式为

2/-1x‘£N,1WPW13,

X[2A1-26/WN,14Wx'W26,

则有s-*19^2X19-26=12^1；

h-*8-*2X8-1=15-0；

xf24f2X24—26=22fv：

cf3f2X3—1=5->e.

故密文shxc的明文为love.

19.解(1)VZ7={1,2,3,4,5),£(才)=3>+1,g(x)=x.

・•・第一步：从集合〃中随机抽取1个数作为自变量x输入，共有5种方法，

第二步：从函数以力与g(x)中随机选择一个作为〃(力进行计算，共芍2种方法，

・・・该运算共有f(l),f⑵,f(3),f(4),f(5)f.⑴,g⑵,♦⑶,以4),g(5),10种方

法，

而满足y=4的有rd),g(2)两种情况,

21

...由古曲概型概率公式得y=4的概率P=—=-

1UD

(2)输出结果是奇数有以下几种情况:A2),A4),g⑴,g⑶,g⑸,共5种,

・•・由古典概型概率公式得输出的结果是奇数的概率

/-10-2,

20.证明①当〃=1时，左式=*右式=巾,左式〉右式，所以不等式成立.

W

②假设当n=kg1,AWN+）时不等式成立,

2+l4+12*+1、r—..

即anW~•....2k>N*+i成立，

2+14+12女+12A+3r—2A-+32〃+3皿

则当〃=A+1时,F•晨>W+1*24+1=5^T7'要

4

证当n=k-\-\时不等式成立,

____?k_A________________

只需证药ZTT*+2即证—2—4+1什2,

由均值不等式-2-=-------2--------衣+1女+2成工，得+产