1-4-2用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)(导学案)原卷版

班级：姓名：日期：《1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题》（第1课时）导学案地位：本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用学习目标：1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式，培养数学抽象的核心素养．2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养．3.能描述用向量方法解决距离问题的程序，体会向量方法在研究距离问题中的作用，强化逻辑推理的核心素养.学习重难点：重点：点到直线的距离公式、点到平面的距离公式难点：向量方法在研究距离问题中的作用自主预习：本节所处教材的第页.复习——空间向量与直线、平面的位置关系：投影向量：预习——点到直线的距离：点到平面的距离：线线距、线面距、面面距：新课导学学习探究（一）新知导入如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路,某人要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公路上选择一个点,修一条公路到达A点,要想使这个路线长度理论上最短,应该如何设计？问题：空间中包括哪些距离?求解空间距离常用的方法有哪些?答案：点到直线、点到平面、两条平行线及两个平行平面的距离;传统方法和向量法.用空间向量研究距离【探究1】如图，在空间中任取一点O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，回答下列两个问题：(1)设与b方向相同的单位向量为e，那么向量a在向量b上的投影向量eq\o(OM1,\s\up6(→))等于什么？(2)怎样求线段MM1的长度？长度的表达式是什么？◆点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如图，设eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u.点P到直线l的距离PQ＝eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－|\o(AQ,\s\up6(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2).【做一做】(教材P34例6改编)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为4，E是CC1的中点，则E到A1B的距离为()A.eq\f(4\r(3),3)B．2eq\r(6)C．2eq\r(5) D．3eq\r(2)【思考】类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？【探究2】如图，平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，从向量投影的角度来看，点P到平面α的距离可以看成什么？对应的表达式是什么？◆点到平面的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|).点睛：实质上,n是直线l的方向向量,点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.【做一做】已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到α的距离为()A．10B．3C.eq\f(8,3) D.eq\f(10,3)【思考】类比点到平面的距离的求法，如何求平行与平面的直线到平面之间的距离？两个平行平面之间的距离？（三）典型例题1.点到直线的距离（两条平行直线之间的距离）例1.在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是线段DC1的中点，求点M到直线AD1的距离．【变式探究】本题条件“M是线段DC1的中点”改为“M是线段DC1上的动点”，试求点M到直线AD1距离的最小值．【类题通法】向量法求点N到直线l的距离的步骤第一步：建系，依据图形先求出直线l的单位方向向量s.第二步：在直线l上任取一点M(注：eq\o(MN,\s\up6(→))可选择特殊便于计算的点)．计算点M与直线l外的点N的方向向量eq\o(MN,\s\up6(→)).第三步：易知垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算d＝eq\r(|\o(MN,\s\up6(→))|2－|\o(MN,\s\up6(→))·s|2).【提醒】两条平行直线之间的距离的求法：在一条直线上任取一点，求该点到另一条直线的距离即可。【巩固练习1】如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若BB1＝eq\r(2)AB＝2eq\r(2)，求点C到直线AB1的距离．2.点到平面的距离（直线与平面、平面与平面之间的距离）例2.如图，长方体的棱长DA、DC和的长分别为1、2、1．求：(1)顶点B到平面的距离；(2)直线到平面的距离．【类题通法】求点到平面的距离的四步骤【巩固练习2】已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离．【巩固练习3】如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别为棱AD，AB，DC，BC的中点．求平面A1EF与平面B1NMD1间的距离．（四）操作演练素养提升1.已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于()A．3 B．4C．5 D．62．若三棱锥P­ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是()A.eq\f(\r(6),6) B.eq\f(\r(6),9)C.63 D.eq\f(\r(3),3)3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为()A.eq\f(\r(6),2)a B．aC.eq\r(2)a D.eq\f(a,2)4.在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，B1C1的中点，则直线MN与平面ACD1间的距离是()课堂小结通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？学习评价【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）A.很好B.较好C.一般D.较差【导学案评价】本节导学案难度如何（）A.很好B.较好C.一般D.较差【建议】你对本