人教A版（2019）高中数学必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法【课件】

平面几何中的向量方法主讲人：李丁学 科：数学（人教版）学 校：北京市第八十中学年 级：高一下学期高中数学学习目标与任务会将几何元素用向量元素表示；能将几何关系用向量运算来表示；会用向量方法解决简单的平面几何问题,体会向量在解决数学问题中的作用.高中数学重点难点用向量运算表示几何关系；几何问题转化为向量问题.高中数学学习过平面向量的概念和运算平面向量基本定理向量坐标化即将学向量方法解决平面几何问题向量方法解决物理中的问题探索三角形边长与角度的关系感受向量在解决数学和实际问题中的作用本节讲述向量方法解决平面几何问题高中数学有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标．平面几何图形的性质（全等、相似、长度、夹角等）向量的运算向量表示高中数学2例

1 如图6.4-1，DE是

ABC的中位线，用向量方法证明:

DE

//

BC，DE

1

BC.2

1

分析：我们在初中证明过这个结论，证明中要加辅助线，有一定难度.

如果用向量方法证明这个结论，可以取BC即

AB,

AC

为基底，用AB,

AC表示DE,

BC,

证明DE

可.高中数学222 222AD

AB,

AE

AC.AC

AB

AC

AB

.DE

BC.

1

1

1

1

证明：如图6.4-2，因为DE是

ABC的中位线，所以

1

1

从而 DE

AE

AD

又 BC

AC

AB.所以于是 DE//BC,DE

1

BC.2无公共点高中数学平面几何经常涉及距离（线段长度）和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题.用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论.高中数学2

2

2

2

2

2跟踪练习：

已知O为

ABC所在平面内一点，BC且满足

OA

BC

OB

CA

OC

AB .A求证：点O是

ABC的垂心.O高中数学BC

OA

0.

分析：

本题考查用向量数量积概念及其性质解答三角形中的问题.要证点O是

ABC的垂心,需证AB

OC,

BC

OA,只需证明

0，AB

OC高中数学2CA

OC

AB

,BC

c

b,

CA

a

c,

AB

b

a.

a

c

2

c2

b

a

2

2

2

2

2

2证明：

设

OA

a,

OB

b,

OC

c，则因为

OA

BC

OB所以，a2

c

b

2

b2c

b

a

c

b

aABCObca高中数学BC

OA

c

b

a

c

a

b

a

0.

故

AB

OC

b

a

c

b

c

a

c

0，所以，

AB

OC，BC

OA.所以，O是

ABC的垂心.ABCObca高中数学几何要素用向量表示向量运算研究几何关系向量运算结果“翻译”成几何关系高中数学用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；把运算结果“翻译”成几何关系.高中数学例

2 如图6.4-3，已知平行四边形ABCD,

你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？分析：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.高中数学

解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：如图6.4-4，取

AB,

AD

为基底，设AB

a，AD

b,

则

AC

a

b，DB

a

b.高中数学22 222222 2

2

2

2第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：AC

a

b

a

2a

b

b

,DB

a

b

a

2a

b

b

.上面两式相加，得AC

DB

2

a

b

.第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AC

2

BD2

2

AB2

AD2

.你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗？高中数学小结用向