2025年湘师大新版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘师大新版高二数学上册月考试卷511考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知有两个极值点且在区间（0，1）上有极大值，无极小值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.2、【题文】某人向平面区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在单位圆

内的概率为A.B.C.D.3、【题文】．在的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4、一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（）A.B.C.D.5、图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是（）

A.x+y-1＜0B.x+y-1＞0C.x-y-1＜0D.x-y-1＞0评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)6、已知数列是一个公差不为0等差数列，且并且成等比数列，则=________．7、设函数则满足的的值为____．8、函数的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则函数y=的递减区间是____．9、不等式的解集为10、已知集合=___________11、已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为8和18，侧棱长为13，则这个棱台的侧面积为______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)12、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）13、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共8分)18、（13分）函数（1）时，求最小值；（2）若在是单调增函数，求取值范围．19、【题文】（本小题满分12分）已知抛物线和点若抛物线上存在不同两点满足．

（I）求实数的取值范围；

（II）当时，抛物线上是否存在异于的点使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．20、【题文】（12分）在锐角三角形ABC中，分别为角A、B、C所对的边，且（Ⅰ）确定角C的大小；（Ⅱ）若且△ABC的面积为求的值。21、【题文】（本小题10分）是三角形三内角，向量且

（Ⅰ）求角（Ⅱ）若求评卷人得分五、计算题(共4题，共20分)22、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．23、1.本小题满分12分）对于任意的实数不等式恒成立,记实数的最大值是（1）求的值；（2）解不等式24、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．25、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；评卷人得分六、综合题(共2题，共6分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【解析】试题分析：f′（x）=3x2-2ax+4，∵f（x）在区间（0，1）上有极大值，无极小值，∴即3-2a+4＜0，解得故选A。考点：应用导数研究函数的极值【解析】【答案】A2、A【分析】【解析】【解析】【答案】A3、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C4、C【分析】【解答】解：由题意知本题是一个古典概型；

试验发生包含的事件是任取两球的取法有10种；

满足条件的事件是取到同色球的取法有两类共有3+1=4种；

根据古典概型概率公式得到P=．

故选C．

【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是任取两球的取法有10种，满足条件的事件是取到同色球的取法有两类共有3+1，根据古典概型概率公式得到结果．5、B【分析】解：由图知过两点（1；0）与（0，1）两点的直线方程为x+y-1=0；

当x=0；y=0时，x+y-1＜0

而原点不在阴影表示的区域内。

故图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式x+y-1＞0

故选B

由图形中所给的数据求边界所对应的方程；代入原点坐标，判断原点对应的符号，由图形的位置及二元一次不等式与区域的关系判断出正确选项．

本题考查二元一次不等式与区域，解题的关键是确定边界对应的直线方程，以及边界是虚线还是实线，区域与直线的相对位置，熟练掌握区域与直线的位置关系与相应不等式的对应关系是解本题的知识保证．本题考查了数形结合的思想，推理判断的能力．【解析】【答案】B二、填空题(共6题，共12分)6、略

【分析】试题分析：∵等差数列∴又∵成等比数列，∴∴∴考点：1.等差数列的通项公式；2.等比中项的性质；3.裂项相消法求数列的和.【解析】【答案】7、略

【分析】【解析】试题分析：当时，由得，解得这与矛盾，舍去；当时，由得，解得符合取考点：分段函数【解析】【答案】38、略

【分析】【解析】

因为函数的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则函数y=的定义域为0<2,那么根据复合函数单调性可知递减区间是(0,1)【解析】【答案】(0,1)9、略

【分析】【解析】

因为不等式可知解集为【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】

因为则=【解析】【答案】11、略

【分析】解：作出一个侧面等腰梯形的高，也是棱台的斜高，

则由等腰梯形的性质，可得斜高h'==12

再用棱台侧面积公式，得棱台的侧面积为S侧=（3×8+3×18）×12=468

故答案为：468

正棱台的侧面积公式S棱台侧=（C1+C2）h'，其中C1、C2分别是上下底的周长；h'是棱台的斜高．由此在侧面等腰梯形中，计算出棱台的斜高的长度，再结合公式可求出此棱台的侧面积．

本题给出正三棱台棱台上下底面边长和侧棱长，求三棱台的侧面积，着重考查了正棱台的侧面积公式，属于基础题．【解析】468三、作图题(共6题，共12分)12、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．13、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共8分)18、略

【分析】第一问中，时时时单减，在单增时有最小值1第二问中，在为增函数，则恒成立，最大值，结合导数求解最值即可。【解析】

（1）时时时单减，在单增时有最小值16分（2）在为增函数，则恒成立，最大值9分令则13分【解析】【答案】（1）时，有最小值1；（2）19、略

【分析】【解析】

试题分析：解法1：(I)不妨设AB且∵

∴．∴．

根据基本不等式（当且仅当时取等号）得。

（），即

∴即的取值范围为．

（II）当时，由（I求得的坐标分别为．

假设抛物线上存在点（且），使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．

设经过三点的圆的方程为

则

整理得．①

∵函数的导数为

∴抛物线在点处的切线的斜率为

∴经过三点的圆在点处的切线斜率为．

∵∴直线的斜率存在．∵圆心的坐标为

∴即．②

∵由①、②消去得．即．

∵∴．故满足题设的点存在，其坐标为．

解法2：(I)设两点的坐标为且

∵可得为的中点，即．

显然直线与轴不垂直，设直线的方程为即将代入中；

得．∴

∴．故的取值范围为．

（II）当时，由（1）求得的坐标分别为．

假设抛物线上存在点（且），使得经过三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．

设圆的圆心坐标为

∵∴

即解得

∵抛物线在点处切线的斜率为而且该切线与垂直；

∴即将

代入上式，得即．

∵且∴．

故满足题设的点存在，其坐标为．

考点：抛物线的性质运用。

点评：解决该试题的关键是利用抛物线的方程以及性质来分析得到结论，同时对于探索性问题，一般先假设，然后分析求解，属于中档题。【解析】【答案】(1)即的取值范围为．

(2)满足题设的点存在，其坐标为．20、略

【分析】【解析】积为求的值。

解（Ⅰ）由及正弦定理得是锐角三角形，

（Ⅱ）由面积公式得

即①

由余弦定理得即②

由②变形的③

将①代入③得故【解析】【答案】21、略

【分析】【解析】解：（Ⅰ）∵∴即

∵∴∴5分。

（Ⅱ）由题知整理得

∴∴

∴或

而使舍去∴【解析】【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）五、计算题(共4题，共20分)22、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．23、略

【分析】【解析】

（1）由绝对值不等式，有那么对于只需即则4分（2）当时：即则当时：即则当时：即则10分那么不等式的解集为12分【解析】【答案】（1）（2）24、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=225、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则六、综合题(共2题，共6分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；