2024年中考数学复习讲义第28讲与圆有关的计算

第28讲与圆有关的计算

目录

题型04求某点的弧形运动路径长度

一、考情分析题型05求扇形面积

二，知识建构题型06求图形旋转后扫过的面积

考点一正多边形与圆题型07求圆锥侧面积

题型01求正多边形中心角题型08求圆锥侧面积

题型02求正多边的边数题型09求圆锥底面半径

题型10求圆锥的高

题型03正多边形与圆中求角度

题型04正多边形与圆中求面积题型11求圆锥侧面积展开图的圆心角

题型12圆锥的实际问题

题型05正多边形与圆中求周长

题型13圆锥侧面上的最短路径问题

题型06正多边形与圆中求边心距、边长

题型07正多边形与圆中求线段长考点三不规则面积的有关计算

题型01直接公式法

题型08正多边形与圆中求最值

题型02直接和差法

题型09尺规作图-正多边形

题型10正多边形与圆的规律问题题型03构造和差法

题型04等面积法

考点二弧长、扇形面积、圆锥的有关计算

题型01求弧长题型05旋转法

题型02利用弧长及扇形面积公式求半径题型06对称法

题型07全等法

题型03利用弧长及扇形面积公式求圆心角

考点要求新课标要求命题预测

该板块内容以考查综合题为

正多边形与圆>了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.

主，也是考查重点，除了填空题和

弧长、扇形面积、

>会计算圆的弧长、扇形的面积.选择题外，年年都会考查综合题，

圆锥的有关计算

对多数考生来说也是唯点，2024

不规则面积的有关

年各地中考肯定还是会考蛰.

计算

边快«_・2儿”“字（R*方正多边、外接"瓶校》>>

AK外向型心角度力匕，血电01求正多边形中心M

N

应忸以求正多边的边效

■程Sa«|an・m・n。对角第HI“一）4止多边形圆中求角度

24

思忡”止多边形与圆中求面积

r«・R«co咤3内角*><I>X180>用中05止多边形与回中求册K

atJw止多边形与回中求边心m.边长

■■7)M即,（依和子刖）e

起取07止多边形与圆中求线段长

a

aww正多动座二圜中火燃值

q・fU.riMXS那・母♦）（〜.《•、r.为沟HIM三角影的三边表,己M*中两个值，第三个题型09尺设作图正多边膨

困型1。正多边形与网的规律向18

值可以借助句£门求M.》•*

L正多边形与圆

设90的半径为R,n・困心角所并强长为I,n为货所对的欧、角的度射，则

团型01求同长

rw瘦长公式」1=雷（1长的长度和国。、角大小和半径的取值有关，目n案每型02利用孤长及用膨面积公大求1,径

示厂的囱心角的信触，》和180《际要冬里位.》7碘型03利川孤长及用心而枳公式求回心用

题型01求某点的取形运向联汴长哎

与

碗司积公式」鹿型05求知形而枳

圆也型06求图形院转后扫it的面枳

有3泣例面根公式•S«M=nri（R中】是聊的耳线长，r是承的丽半役〉」也里07求四镂则囱枳

盅里08求阕锥则面机

关

函全面程公式,S***nri+nr2（圈僮的表面枳=南的8根-底面圆面枳》♦身型09求四律底面祭杯

的题型io求H密的高

碧谯的Kh,图r2+/»2=加

计题型11求超律翻面枳展万图的圆心角

位的Ri半径r题剧12名怦的丈际何尊

胖加长、扇形面积.S

回徘他回上的火如问电

推的有关计算SS'IYIJRH2

解题技：5：求与圆有关的不规则图形的面枳时.最基本的思想就是5E七

思想.即把所求的不规则的图形的面织转化为规则匣形的面枳.

力接用公式求解

不规则面积

的有关计II

常用方法

（内含模型训解）

考点一正多边形与圆

夯基-必备基础知识梳理

1.正多边形的相关概念

正多边形概念各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.

正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

正多边形的边心距中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

2.正多边形的常用公式

边长an=2Rnsin^（为正多边形外接圆的半径）

360。

周长Pn=ri'an外角/中心角度数

n

n(n—3)

面积Sn-airhvn对角线条数

22

边心距%=/?〃•cos堇”内角和(n-2)x180。.

n

内角度数(n-2)x180°〃边形的边数（内角和X80。）+2

n

RkW+号（沏、R…〃为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三

Q”.Rn、Un的关系

个值可以借助勾股定理求解.）

【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正〃边形的外接圆半径和边心距把正〃边形分成

2〃个全等的直角三角形而每个直角三角形都集中地反映了这个正〃边形各元素间的关系，

故可以把正〃边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算.

3.正多边形常见边心距与边长的比值

图形OA:AB:OB内切圆与外接圆半径的比

等边三角形窗i：vr：21:2

ZAOB=60°

正方形1:1:万1:V2

ZAOB=45°

正六边形©VF：i：2VF：2

ZAOB=30°

【备注】正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.

.提升•必考题型归纳

题型01求正多边形中心角

[例1]（2021.辽宁沈阳统考二模）在圆内接正六边形A3CDE/中,正六边形的边长为2,则这个正六边形

的中心角和边心距分别是（）

A.30°,1B.45。,&C.60°,V3D.120°,2

【答案】C

【分析】由正六边形的性质得60。，再证AOCQ是等边三角形，得8C=CD=OC=2,再由垂径定

理和含30。角的直角三角形的性质求出OG即可.

【详解】解：在圆内接正六边形4BCQ"中，NCOD=360*6=60。，

：OC=OD,

.•.△OCO是等边三角形，

.\BC=CD=OC=2,

.OG±BC,

：.CG=^BC=1,

：^COG=-^COD=30°,

2

:.OG=V3CG=V3,

古嬷：C.

【点拨】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30。角的直角三角形

的性质；熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键.

【变式1-1]（2022・四川广安.统考二模）如图，五边形48CDE是O。的内接正五边形，则正五边形的中心角

的度数是（）

A.72°B.60°C.48°D.36°

【答案】A

【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：陋计算即可.

n

【详解】解：•.五边形48CQE是。。的内接正五边形，

••五边形ABCDE的中心角NCO。的度数为*=72°,

古嫡：A,

【点拨】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：%是解题的关键.

n

【变式1-2]（2020.上海金山.统考一模）正十边形的中心角等于_____度.

【答案】36

【分析】根据正多边形的中心角的定义即可求解.

【详解】正十边形的中心角等于360。内0=36。

故答案为：36.

【点拨】此题主要考查中心角,解题的关键是熟知正〃边形的中心角等于手.

题型02求正多边的边数

[例2]（2023.河北保定.统考二模）如图，一个正多边形纸片被一块矩形挡板遮住一部分，则这个正多边形

纸片的边数是（）

A.4B.3C.6D.7

【答案】C

【分析】先根据正多边形的定义把图形补充完整，再求解.

【详解】解：根据正多边形的定义把多边形补充完整如下图；

有图形得：这个正多边形纸片是六边形，

故选：C.

【点拨】本题考直了正多边形和圆，掌握正多边形的定义是解题的关键.

【变式2・1X2023•广东阳江统考二模戊口果一个正多边形的中心角是45。,那么这个正多边形的边数是（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】根据正多边形的边数=周角+中心角，计算即可得解.

【详解】解：这个多边形的边数是360。+45。=8,

古嬷：C.

【点拨】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键.

【变式2・2】（2023.湖南长沙•校联考模拟预测）如图，A,B,C,。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中

心,若乙4DB=20°,则这个正多边形的边数为（）

D

•o

AB

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】连接OA,OB，根据圆周角定理得到乙4OB=2乙4D8=40°,进一步即可得到结论.

【详解】解：连接。力,0B,

••・ARC,。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心，

.•.点A,B,C,D在以点。为圆心，0A为半径的同一个圆上，

■.Z-ADB=20°,

S./.AOB=2Z,ADB=40°,

・•・这个正多边形的边数二舞：=9,

故选：C.

【点拨】本题考杳了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键.

【变式2・3】（2021.贵州贵阳统考一模）如图，四边形A8CQ为。。的内接正四边形，“灰为的内接

正三角形，连接DF.若力厂恰好是同圆的一个内接正多边形的一边，则这个正多边形的边数为.

B•OD

【答案】12

【分析】连接OA.ODQF,如图，利用正多边形与圆，分别计算0O的内接正四边形与内接正三角形的中心

角得到4\。。=90。，乙40尸=120。，则/。0尸=3（）。，然后计算黑即可得到n的值.

【详解】解：连接OAQDQF,如图，设这个正多边形为〃边形，

-AD,A尸分别为O。的内接正四边形与内接正三角形的一边,

.-.ZAC>D=-=90°,NAO"=^=I20。，

43

.^DOF=^AOF-^AOD=30°,

二%翳=12,即。尸恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.

故答案为：12・

【点拨】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成〃（〃是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的

多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念.

题型03正多边形与圆中求角度

[例3]（2023•安徽六安统考模拟预测）如图，正六边形A8CDEF内接于。。，点M在初上,则4CM£1的

A.30°B.36°C.45°D.60°

【答案】D

【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可.

【详解】解：连接OCQDQE,如图所示：

.•正六边形48CDEF内接于。。，

：.ACOD=詈60。，贝！J/COE=120°,

"CME=-ZCOE=60°,

2

古媾：D.

【点拨】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正〃多边形的中心角为策是解答的关键.

n

【变式3-1］（2022.广西南宁•校联考一模）如图，O。与正五边形4BCDE的两边力E,CD相切于4c两点，则

乙40c的度数是（）

A.144°B.130°C.129°

【答案】A

【分析】根据切线的性质，可得N。A七二90。，/。8=90。，结合正五边形的每个内角的度数为108。，即可

求解.

【详解】解：."ECO切。。于点AC,

"OAE=90。，ZOCD=90°,

（52）18

・•.正五边形A8COE的每个内角的度数为：~；°°=108。，

/.ZAOC=5400-90o-90o-108o-l08°=144°,

故选：A.

【点拨】本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理

是解题的关键.

【变式3-2]（2022.福建福州.福建省福州延安中学校考模拟预测）如图，已知正五边形ABCDE内接于。。,

则NOCQ的度数为。.

【答案】54

【分析】根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：..多边形/WCQE是正五边形，

/.ZCOD=—=72°,

：OC=OD,

・••/OCO寺（180°-72°）=54°,

故答案为：54.

【点拨】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形中

心角的度数.

题型04正多边形与圆中求面积

[例4]（2022.山西大同•校联考一模）如图，是一张边长为2的正六边形纸版，连接对角线，则阻影部分的

面积是（）

【答案】A

【分析】由正六边形从性质可得阴影部分的面积等于正六边形面积的一半，可得△48。为等边三角形，再计

算正六边形的面积即可得到答案.

【详解】解：如图，.•正六边形，

..图形①，②，③，④，⑤，⑥与上半部分的阴影部分的图形分别对应相等，

.•・整个阴影部分的面积为正六边形的面积的一半，

.•正六边形，

•,正六边形的面积等于6sA48C，△4BC为等边三角形，AD1BC,

：.AB=BC=AC=2、BD=DC=1,

：.AD=V3,

「•正六边形的面积为：6s△诋=6x|x2xV3=6>/3,

二•阴影部分的面积为：3V3.

故选A

【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，正六边形的性质，熟记正六边形是轴对称图

形是解本题的关键.

【变式4-1]（2023•海南海口海师附中校考三模）如图，正五边形48C0E的边长为4,以顶点H为圆心，AB

长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是______.

D

【答案】。

【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可.

【详解】解「•正五边形的外角和为360。，

,每一个外角的度数为360。+5=72。，

二正五边形的每个内角为180。-72。=108°,

•••正五边形的边长为4,

c108-7TX4224

・•.S泪影=1^=不兀,

故答案为：.

【点拨】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数

并牢记扇形的面积计算公式，难度不大.

【变式4・2】（2022.陕西西安•校考模拟预测）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出

了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.设。。的半径为2,若用O。的内

接正六边形的面积来近似估计O0的面积，则O。的面积约为.

【分析】连接。4OB，根据正多边形和圆的关系可判断出404B为等边三角形，过点。作OM1AB于点M,

再利用勾股定理即可求出0M长，进而可求出△40B的面积，最后利用O。的面积约为650。8即可计算出结

果.

【详解】解：如图，连接。人OB

E、~C

由题意可得：乙4。8=360+6=60°

■：OA=OB=2

••・△。力8为等边三角形，

：.AB=2

过点。作。M1/W于点M，则4M=BM=1

在田△40M中，OM=V22-I2=V3

••.O。的面积约为6sM。8=6V3

故答案为：6V3.

【点拨】本题主要考查正多边形与圆、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题关键.

【变式4-3].（2023•河南省直辖县级单位统考二模）如图，已知正六边形力BCDE产，O。是此正六边形的外

接圆，若4B=2,则阴影部分的面积是______.

R

【答案】2/+4

【分析】如图，连接，。力交研于G,由正六边形的性质可得出A4。/?是等边三角形，AOFR会

△ODB，进而可得阴影部分的面积=三角形OB/7的面积x2+扇形OFED的面积，然后根据三角形的面积和扇形

的面积公式解答即可.

【详解】解：如图，连接。4OB,OF,。。,04交BF于G,

。是正六边形48CDEF的外接圆，

：.0A=OB=OF=OD/BOF=LBOD=乙DOF=120°,/.AOB=60°,OG1BF,

「.△NOB是等边三角形，△OFB=△ODB,

：.0A=OB=AB=2,

・•・阴影部分的面积二三角形。"的面积x2+扇形OFED的面积，

在直角三角形OBG中,OG=0B,cos60°=L8G=。8•sin60。=V3,

・•・阴影部分的面积WxlxV3x2x2+^^=2次+4；

ZoovS

故答案为：2百+）

【点拨】本题考查了正多边形和圆以及不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、熟练掌握正多边形和圆

的相关知识是解题的关键.

题型05正多边形与圆中求周长

［例5］（2023•广西钦州・统考一模）如图，若一个正六动形的对角线的长为10，则正六边形的周长（）

B

A.5B.6C.30D.36

【答案】c

【分析】连接CD、EF，交于点。，则点。是正六边形的中心，先根据正六边形的性质可得乙10C=60。，

OC=OA=\AB=5,再根据等边三角形的判定与性质可得AC=。4=5,由此即可得.

【详解】解：如图，连接皿EF,交于点。，

则点。是正六边形4CEBDF的中心,

.・六边形4CEBDF是正六边形，4B=10,

44。01

/.Z/1OC=—6=60°,2OC=OA=-AB=5,

.•・△力。0是等边三角形，

AC=OA=5,

•.正六边形4CE8DF的周长为5x6=30,

故选：C.

【点拨】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握正六边形的性质是解题关键.

【变式5-1]（2023•吉林松原•统考二模）如图，已知圆内接正六边形的周长为24,则图中阴影部分图形的周

【分析】连接。4,OB,根据正六边形ABCD"是。。的内接六边形得出好=BC=CD=DE=EF=AF,

求出圆心角乙力。8的度数，再求出弧力8的长度,最后求出答案即可.

【详解】解：连接。人OB,

B

•••六边形力BG9EF是正六边形，圆内接正六边形的周长为24,

AB=BC=CD=DE=EF=AF,

二正六边形ABCD"的边长为4,

:.AB=4,

Z.AOB=-x360°=60°,

6

vOA=OB,

.•・△力。8是等边三角形，

OA=OB=AB=4,

二阴影部分的周长是甯+4=5+4.

loUS

故答案为：龌+4.

【点拨】本题考直了正多边形的性质，扇形的面积公式等知识点，能求出圆心角乙4。8的度数是解此题的关

键.

【变式5-2]（2023•陕西西安・高新一中校考模拟预测）如图，已知圆内接正六边形43CD"的边心距。G等于

3V3,则。。的周长等于.

【分析】连接OC、0D，根据正六边形的性质得到=60。，0C=0D，根据等腰三角形的性质得到CG=

DG/COG=^COD=30°,利用三角函数解直角三角形得到求出半径，再根圆的周长计算即可解题.

../-COD=60°,OC=OD,

-.OG1CD,

CG=DG,乙COG=^COD=30°,

.OG=3V3,

..℃=$=38+33。。=6,

.'.0。的周长2x6rr=127r.

故答案为：12rr.

【点拨】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数、圆的周长计算等知识，熟练

掌握正六边形的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键.

【变式5-3]（2023•江苏南京•校联考模拟预测）如图，在正六边形ABODE/中，48=4,顺次连接718、BC、

CD、DE、凡4的中点4、/、G、名、Ei、&,则六边形力津16。1J月的周长是

【分析】连接力C,过点8作BM1&Bi于点M,先说明六边形4BIGDIE/I为正六边形，然后根据等腰三

角形的性质，三角函数求出4道，-2V3,即可得出周长.

【详解】解：连接4c,过点8作8M1①当于点M,如图所示：

.・六边形A8CDEF为正六边形，

：.BC=CD=DE=EF=FA=AB=4,^ABC=180°--=120°,

6

,.4、Bl为AB、8c的中点，

「ABi=,

同理可得：BG=”D,GDl=/E,DXEX=\DF，民F]="E,F]A]=旨8,

..六边形力8CDE尸为正六边形，

：.AC=BD=CE=DF=EA=F3,

=Big=C1D1=D1E1=E]F]=F1/l1,

•「48=^AB=2,B]B=^BC=2,

.".AiB=B]B,

〈BM1A1氏,

「•NAIBM==60°,41M=,

.AM=AXBxsin60°=2Xy=V3,

「AB]=2V3,

•••六边形4丛4。[£/]的周长是6乂2百=12V3.

故答案为：12V3.

【点拨】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角函数的应用，三角形中位线的性质，

解题的关键是作出辅助线，求出AB】=2V3.

题型06正多边形与圆中求边心距、边长

[例6]（2023河北衡水衡水和缄中学校考模拟预测）如图，。。是正五边形4BCDE的外接圆，这个正五边

形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是（）

A.r=/?cos36°B.a=2/?sin36°C.a=2rtan36°D.a=rsin360

【答案】D

【分析】先根据正多边形的性质求出乙80C=72。，进而求出乙1=36。，“="，再解直角三角形即可得

到答案.

【详解】解：vO。是正五边形力8。。£的外接圆，

0Z.BOC=-x360°=72°,

\OB=OC,OF1BC,

“2。。="=36。，吟叫。，

=Rsin36。，即a=2/?sin36°,故B不符合题意；D符合题意；

=rta/736o,即a=2rta〃36°,故C不符合题意；

cos36°=,即厂=Rcos36。，故A不符合题意；

K

古媾：D.

【点拨】本题考查了圆内接正五边形、解直角三角形的知识，掌握圆内接正五边形的性质，并求出中心角

的度数是解题的关键.

【变式6・1】（2023.四川泸州.四川省泸县第四中学校考一模）已知。。的半径为I,则它的内接正三角形边

心距为.

【答案】;/0.5

【分析】根据题意画出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解.

【详解】解：如图，△48。是等边三角形。是△48。的外接圆，过点。作。。1BC，连接OB,0C,OB=1,

A

V乙BOC=244=120°,OD=OC,

：.WBD=30°,

在吊△08D中,OD=；OB=]

故答案为：1.

【点拨】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是

解题的关键.

【变式6-2]（2023.陕西西安•校考二模）如图，已知。。的内接正六边形48C0EF的边心距。”是百，则正

六边形的边长为.

----------------------------

【答案】2

【分析】根据圆内接正六边形的性质可求出乙DOE=60。，进而得出^DOE是正三角形，由圆内接正六边形

的性质以及直角三角形的边角关系可求出边长.

【详解】解：如图，连接。。、0E.

•••六边形48CDE/是O。的内接正六边形，

.../DOE=—=60°,

6

vOD=OE,

•••△D0E是IEH角形，

•••0。的内接正六边形A8CD"的边心距。M是V5,

•••0。=詈x2=2=Z）E,

即正六边形48CDEF的边长为2,

故答案为：2.

【点拨】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握圆内接正六边形的性质以及等边三角形的判定和性质是

解决问题的关键.

【变式6-31（2023.湖南衡阳•校考模拟预测）已知圆的半径为R,那么它的内接正三角形的边长

>_________________.

【答案】V37?

【分析】根据正三角形外心的性质得力。IBC,OC=R,^BCE=30。，BC=2CD,再根据含30度直角三

角形的性质及勾股定理求出边长即可.

【详解】解：如图所示，。为正三角形△4BC外接圆的圆心，

A

:.AD1BC,OC=R,乙BCE=\LBCA=30°,BC=2CD,

在法△ODC中,

v乙BCE=30°,OC=R,

•..0D*OCWR,CD=7OC2-OD2=与R,

BC=\[3R

故答案为：y/3R

【点拨】本题考查圆与正多边形的相关计算,解题关键掌握正三角形外心的性质.

【变式6-4]（2022.陕西西安・高新一中校考模拟预测）半径为4的正六边形的边心距为.

【答案】2V3

【分析】首先根据题意作出图形，由正六边形的性质，易得△80。是等边三角形，然后由三角函数的性质，

可求得。”的值，继而可求得答案.

【详解】解：如图所示,连接。民0C，作。"18c与H,

••此六边形是正六边形，

•••Z.BOC=360°+6=60°,OB=0C,

・•・△80C是等边三角形，

Z.OBC=60°,

・••正六边形的半径为4,

v0B=4,

•••OH1BC,

.•・在R△。8,中,

OH=4X”2V5,

即这个正六边形的边心距为26.

故答案为：2V3.

【点拨】本题考查了正多边形与圆的知识，解答此题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线；由正六边

形的性质判断出八BOC的形状是解答此题的关键.

题型07正多边形与圆中求线段长

【例7】（2023•安徽六安统考三模）如图,正六边形4BC0EF的边长为6，点。是其中心，点P是A8上一

A.2B.2V7C.4D.6

【答案】B

【分析】如图，连接。力，作OG1AB,垂足为G，构造直角三角形；

RAOAG中,OG=OAsinWAG=373,由勾月殳定理，OP=>JOG2+PG2=2^7.

【详解】如图，连接。4,作OG1AB,垂足为点G,则。4=6,AG=^AB=3

R△O71G中，OG=OAsin^OAG=6xsin60°=3痘,PG=AG-AP=3--x6=l

：.0P=VOG2+P<72=+(3V3)2=2V7

古烟：B.

【点拨】本题考查正多边形的性反，解直角三角形；通过添设辅助线将正多边形问题转化为解直角三角形

问题是解题的关键.

【变式7-1]（2023•河北石家庄・统考二模）如图,在边长为6疗的正六边形A3CDE”中，连接DE,CF,相交

于点O,若点M,N分别为OB,OF的中点，则MN的长为（）

A.6B.6V3C.8D.9

【答案】D

【分析】连接B/，利用8C尸是含30。角的直角三角形，再利用MN是三角形BOF的中位线求MN即可.

;近六边形4BCDEF中，Z/4=LABC=120°,AB=AF,

J.AABV=30°

：./-CBF=Z.ABC-乙ABF=90°,

..在正六边形48co1中,Z.BOC=60°,OB=OC

・•.BOC是等边三角形，

"BCF=90°,

.••8CF是含30。角的直角三角形

又•.正六边形/BCD1的边长为6b，即8c=6V3

“F=1275,

：.BF=VCF2-BC2=J(12V3)2-(6x/3)2=18

,•点M,N分别为OB,。尸的中点,

二.MN是三角形80r的中位线，

：.MN=-BF=9

古烟：D.

【点拨】本题考查正多边形的内角和中心角，等边三角形的判定与性质，含30。的直角三角形三边关系，正

确作出辅助线是解题的关键.

【变式7-2]（2023・浙江・统考二模）如图，要拧开一个边长为a的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少

为（）

A.2aB.V3aC.D."a

22

【答案】B

【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍.构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，

且其半边所对的角是30。，再根据说角三角函数的知识求解.

【详解】设正多边形的中心是。，其一边是48,

Z.AOB=乙BOC=60。，

•••OA=OB=AB=OC=BC,

••・四边形48co是菱形，

vAB=a,Z.AOB=60°,

•••COSZ.BAC=—,

AB

:.AM=ya,

•••0A=0C,且匕408=LBOC,

AM=MC=AC,

2

:.AC=2AM=V3a.

扳手张开的开口b至少为.

【点拨】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键.

【变式7-3]（2023•安徽合肥统考模拟预测）如图，正方形4BCD和等边三角形4E/均内接于O。，则第的

值为（）

A-TB.苧C.孝D.当

【答案】D

【分析】如图所示，连接4c,CE,由正方形的性质得到4力BC=90°,LACB=45。，贝必。是直径，即可得

到，/!EC=90。，解心△48。得到＜8=^-AC,再由等边三角形的性质和圆周角定理得到乙4CE=^AFE=

60。，解R△4EC得到=^ACt由此即可得到答案.

【详解】解：如图所示，连接AC,CE.

.・四边形A8C0是正方形，

：./-ABC=90。，4AC8=45°,

.MC是直径，

.."EC=90°,

在吊△48C中,AB=AC-sinACB=^-AC,

•.•△4EF是等边三角形，

..Z.ACE=Z.AFE=60°

在田△4EC中，4E=4C•sinACE=^-AC,

HL

.竺_五_渔

五一立一1-，

•2

故选D.

【点拨】本题主要考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

题型08正多边形与圆中求最值

［例8］（2023•河北沧州模拟预测）如图，将Y正世形绕其中心。