数学-湖南省邵阳市2025年高三第一次联考暨上学期期末考试试卷试题和答案

2025年邵阳市高三第一次联考试题卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。将条形码横贴在2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|0≤x≤5},集合B={x|x2-4x≤0},则A∩B=A.(0,4)B.[0,4]C.(0,5)D.[0,5]3.已知复数z满足:z·i4n+1A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.为了推广一种新产品,某公司开展了有奖促销活动:将6件这种产品装一箱,每箱中都放置2件能够中奖的产品.若从一箱中随机抽出2件,能中奖的概率为2025年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第1页(共4页)则AB=777A.f>2f-C.f>3f--)取值范围是)二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.下列说法正确的是A.决定系数R2越小,模型的拟合效果越好B.若随机变量X服从两点分布C.若随机变量X服从正态分布N(μ,4),P(x<1)=P(x>3),则μ=2n(n∈N∗)的平均数为a,若再插入一个数a,则这n+1个数的方差变大10.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线过点A(-1,0),M是抛物线上的动点,则A.p=222B.当MF=tMA时,t的最小值为2C.点M到直线y=x+3的距离的最小值为2→→2D.当MN=2NF时直线11.已知函数f(x)=1+sinx+a,a∈R,则下列结论正确的是ex+1A.当a=-为奇函数2B.f(x)的图象关于直线x=π对称20)<01eπ+12025年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第2页(共4页)三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.若等比数列{an}(n∈N∗)满足:a3+a5=10,a6+a8=80,则数列{an}的公比q=.13.某校高三(5)班班主任准备从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表,每学科安排1人,且至少有1名男生,则不同的选取方法有.(请用数字作答)14.已知在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M是底面ABCD内的动点,点N为棱BC上的动点,且tan∠AMA1=2tan∠BMB1,则MN+ND的最小值为.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(1)求角A的大小;,点D在边BC上,且∠ADC=2∠BAD,求的值.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数g(x)=(eax-x+1-eax-x)[f(x)+x+1]+有2个零点,求实数a的取值范围.2025年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第3页(共4页)17.(15分)如图(一),在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD=2,BC=CD=2,∠DCB=90°,∠DAB=45°,E,F分别为AD,AB的中点.(1)求证:AD⊥BD;(2)求证:平面BDC1∥平面EFD1;(3)若CC1=2,P是线段D1F上的动点,求直线A1P与平面BDC1所成角的正弦值的最大值.图(一)18.(17分)已知双曲线C的渐近线方程为y=±x,右顶点为B,点A(4,2)在C上.(1)求C的方程;(2)过点D(2,0)的直线l与C相交于F,G两点,点E与点F关于x轴对称,问直线EG是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;(3)将圆心在y轴上,且与C的两支各恰有一个公共点的圆称为“子圆”,若两个“子圆”外切于点R圆心距为d求19.(17分)已知正项数列{an}(n∈N∗)的前n项和为Sn,且2Sn=a+n.当n≥4时,bi+1-bi=3(其中i∈N∗,1≤i<n).(1)当n=5时,写出所有满足b1=2的数列{bn};(2)试判断数列{bn}是否为等差数列,并加以证明;公差为d(d>0且d≠4)的等差数列,求公差d.2025年邵阳市高三第一次联考试题卷(数学)第4页(共4页)2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准数学一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案BCCABABD2化简得二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号9答案10.ABD解析:选项A正确;对于选项B,C,D,设M(4m2,4m),2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第1页(共7页)当且仅当时,等号成立.故B正确;1当且仅当时,等号成立.故D正确.1故f(x)是奇函数,故A正确;对于选项故B错误;对于选项对于选项D,由f(x)>0,得-a<+sinx,2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第2页(共7页)因为,sinx≥0.故h故,即a>-故D正确.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)1图(一)图(二)如图(二),建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),D(0,3),设点M(x,y). 2,化简得:(x+1)2+y2=4(x≥0,y≥0).则圆心为P(-1,0),r=2,点D(0,3)关于BC的对称点D′(6,3).2-2四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)22=sinBsinC.………3分.…………………6分易知C=π-,……………8分2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第3页(共7页)∴∠ADC=,BD=AD.…………………10分BD∴的值为2+3.……………………13分16.(15分)(1)解:由题意知,f′(x)=f′(1)ex-1,…………2分令x=1,则f′e-1,∴f′.…………4分∴所求切线方程为,即y=-1.………………6分ax当x>0时,g(x)>0,故函数y=g(x)没有零点;………8分当x<0时,令g=0,得a=.…………………9分t当t∈(0,e)时,h′(t)>0,h(t)单调递增;当t∈(e,+∞)时,h′(t)<0,h(t)单调递减.1当1<t≤e时,0<h(t)≤;当t→+∞时,h(t)>0且h(t)→0.………12分e故函数y=g(x)有两个零点时,直线y=a与函数y=h(t)的图象有两个交点,∴实数a的取值范围为(0,).……………………∴AD⊥BD.………………3分2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第4页(共7页)(2)证明:在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD,∴DA,DB,DD1两两垂直,以D为原点,DA,DB,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设DD1=h,则D(0,0,0),B(0,2,0),C1(-1,1,h),E(1,0,0),F(1,1,0),D1(0,0,h).→→→DB=(0,2,0),DC1=(-1,1,h),EF=(0,1,0),→ED1=(-1,0,h).………………5分1,y1,z1)为平面BDC1的一个法向量,=(h,0,1).……………………7分同理可得,平面EFD1的一个法向量n2=(h,0,1).……8分∵n1∥n2,∴平面BDC1∥平面EFD1.……………………9分=(2,0,1)为平面BDC1的一个法向量,→→设FP=λFD1=λ(-1,-1,2)=(-λ,-λ,2λ)(λ∈[0,1]),→∴P(1-λ,1-λ,2λ),∵A1(2,0,2),∴A1P=(-1-λ,1-λ,2λ-2).…11分设直线A1P与平面BDC1所成角为θ,→ 2(-1-λ)+2λ-2→1P,n1〉 22(-1-λ)2+(1-λ)2+(2λ-2)22当且仅当λ=时,等号成立.…………14分3所以,直线A1P与平面BDC1所成角的正弦值的最大值为.……15分18.(17分)解:(1)设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点A(4,2)代入得42-22=λ,即λ=12,∴双曲线C的方程为x-y=1.………3分(2)当直线DG的斜率不为零时,设直线DG的方程为x=my+2,F(x1,y1),G(x2,y2),E(x1,-y1).(2-1)222≠1,2≠1,32025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第5页(共7页)易知,直线EG的斜率存在,设直线EG的方程为y+y1=.………………6分∴直线EG过定点(6,0).………………9分当直线DG的斜率为0时,直线EG的方程为y=0,过点(6,0),综上,直线EG过定点(6,0).…………10分(3)考虑以(0,y0)为圆心的“子圆”Ω0:x2+(y-y0)2=r02(r0>0),依题意,该方程的判别式Δ=4y02-8(y02+12-r02)=0,∴y02=2r02-24.……………12分,Ω2,显然点R在y轴上,设R(0,h),Ω1,Ω2的半径分别为r1,r2,不妨设Ω1,Ω2的圆心分别为(0,h+r1),(0,h-r2).则(h+r1)2=2r12-24,(h-r2)2=2r22-24.两式相减得:2h(r1+r2)=r12-r22,2>0,∴h=.………………14分12-24,整理得:r=0.…………………15分12,点B(23,0), 12)2122.,故.……………17分1+(n-1),②2025年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准(数学)第6页(共7页)由①-②得:2an=a-a-1+1,即a-1=(an-1)2.n>0,a1=1,∴an-1=an-1,即an-an-1=1.∴数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.n=n(n∈N∗).………………