2024-2025学年高一数学同步试题（人教A版2019）5．1 任意角和弧度制（八大题型）

5．1任意角和弧度制目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳】 2题型一：角的概念 2题型二：终边相同的角的表示 3题型三：角所在象限的研究 5题型四：象限角的判定 7题型五：区域角的表示 8题型六：弧度制与角度制的互化 10题型七：扇形的弧长及面积公式的应用 11题型八：扇形中的最值问题 13【重难点集训】 15【高考真题】 23【题型归纳】题型一：角的概念1．（2024·高一·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立；因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立；若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立；例如，，但，故④不成立.故选：B.2．（2024·高一·甘肃兰州·期末）下列命题正确的是（

）A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．小于的角是锐角D．集合内的角不一定是钝角【答案】D【解析】A选项：终边与始边重合的角为，故A错；B选项：终边和始边都相同的两个角可能相差的整数倍，故B错误；C选项：小于的角可能是，还可能是负角，所以C错误；D选项：集合内的角包含直角，所以不一定是钝角，D正确；故选：D3．（2024·高一·江西萍乡·期末）下列说法正确的是（

）A．B．一堂数学考试（120分钟）时针旋转60°C．1弧度的角大于1°的角D．三角形内角必为第一或二象限的角【答案】C【解析】对于A，，故A错误；对于B，一堂数学考试（120分钟）时针旋转，故B错误；对于C，1弧度，故C正确；对于D，三角形的内角为时，不在象限内，故D错误.故选：C.4．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合A={|为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D【答案】D【解析】因为A={|为锐角}，D={|为小于的正角}，对于集合，小于的角包括零角与负角，对于集合，C={|为第一象限角}，所以A=D，故选：D题型二：终边相同的角的表示5．（2024·高一·全国·随堂练习）在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1），所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第四象限角.（2）因为，所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第一象限角.（3）因为，所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第三象限角.（4）因为，所以，在范围内，与终边相同的角为，且为第二象限角.6．（2024·高一·江苏·课后作业）下列角中哪些角与角的终边相同：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）∵与30°角的终边相同的角为，当时，，解得，∴角与30°角的终边不相同.（2）∵与30°角的终边相同的角为，当时，，解得，∴角与30°角的终边相同.（3）∵与30°角的终边相同的角为，当时，，解得，∴角与30°角的终边相同.（4）∵与30°角的终边相同的角为，当时，，解得，∴角与30°角的终边相同.7．（2024·高一·全国·课后作业）写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素：(1)；(2)．【解析】（1）根据题意可知，所以与终边相同的角的集合为，易知当时，；当时，；当时，；所以适合不等式的元素有：，，；（2）与终边相同的角的集合为，易知当时，；当时，；当时，；所以适合不等式的元素有：，，；8．（2024·高一·全国·课后作业）已知，.(1)指出各自终边所在的象限；(2)在内找出与终边相同的所有角.【解析】（1），在第二象限；在第一象限；（2），与终边相同的角为，取范围内与它们终边相同的所有角有与终边相同的角为，取，则范围内与它们终边相同的所有角有.题型三：角所在象限的研究9．（2024·高一·全国·随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）由于为第四象限角，所以，所以，当时，，终边在第二象限，当时，，终边在第四象限，所以的终边在第二或第四象限；（2）由（1）得，所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上.（3）由（1）得，当时，，终边在第二象限，当时，，终边在第三象限，当时，，终边在第四象限，所以的终边在第二､第三或第四象限；（4）由（1）得，即，所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上.10．（2024·高一·全国·专题练习）已知角的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：(1)；(2)；【解析】（1）由于为第四象限角可知，.所以当时，，终边在第二象限，当时，，终边在第四象限，所以的终边在第二或第四象限；（2）由（1）得，当时，，终边在第二象限，当时，，终边在第三象限，当时，，终边在第四象限，所以的终边在第二、第三或第四象限.11．（2024·高一·全国·专题练习）已知角为第三象限角，求角是第几象限角．【解析】如图所示，先将各象限分成等分，再从轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角的终边所在的区域，角为第二或第四象限角．12．（2024·高一·全国·课后作业）已知角是第三象限角，求所在的象限.【解析】角是第三象限角,即,对于：，当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第四象限；故在第二或第四象限；对于：，当时，在第一象限；当时，在第三象限；当时，在第四象限；故在第一，第三或第四象限.题型四：象限角的判定13．（2024·高一·江西南昌·阶段练习）角的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，所以的终边所在的象限是第三象限.故选：C.14．（2024·高一·河南·阶段练习）已知角以x轴正半轴为始边，终边经过点，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】，，即，故点P在第四象限，即角的终边在第四象限，的终边为角终边的反向延长线，那么的终边在第二象限．故选：B．15．（2024·高一·重庆铜梁·阶段练习）的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】且角是第二象限角，角的终边在第二象限.故选：B16．（2024·高一·河北邢台·阶段练习）是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【解析】，与终边相同，所以是第一象限角．故选：A.题型五：区域角的表示17．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则图中表示角的终边所在区域正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当，时，角的终边落在第一象限的角平分线上，当，时，角的终边落在y轴的非负半轴上，按照逆时针旋转的方向确定范围可得角的终边所在区域如选项B所示．故选：B．18．（2024·高三·全国·专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，故选：C．19．（2024·高一·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】当时，，当时，,所以选项C满足题意.故选：C.20．（2024·高一·广西钦州·阶段练习）集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】集合中，当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限；当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限.所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示.故选：B.题型六：弧度制与角度制的互化21．（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）经过2小时，钟表上时针转过的弧度数为.【答案】【解析】根据题意，表盘平分为12等份，每等份对应的弧度数大小为，经过2小时，钟表上时针转过的弧度数大小为，因为时针按顺时针转动，钟表上时针转过的弧度数为，故答案为：.22．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）将角度化为弧度：.【答案】【解析】.故答案为：23．（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）化成弧度是.【答案】【解析】.故答案为：24．（2024·高一·新疆喀什·期末）的角化成弧度制为．【答案】【解析】因为，所以.故答案为：题型七：扇形的弧长及面积公式的应用25．（2024·高一·天津·期末）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为.

【答案】【解析】因为扇形的院校为，又因为，，所以，该扇环形砖雕的面积为.故答案为：.26．（2024·高一·江苏扬州·期中）已知扇形的圆心角为2rad，弧长为2cm，则该扇形的面积为．【答案】1【解析】设扇形半径为，弧长为，圆心角为，则，扇形面积为．故答案为：1．27．（2024·高一·云南昆明·期末）已知某扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为．【答案】【解析】由扇形的圆心角是，半径为，则该扇形的面积为.故答案为：.28．（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为米；面积为平方米.

【答案】【解析】如图所示，过作于，的延长线交于.则，，所以，，所以，，所以矢为，则弧田面积是.故答案为：；.题型八：扇形中的最值问题29．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？【解析】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，∴，即，得，∴弧田面积，而，∴.（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，∴当且仅当时等号成立.∴当时，该扇形面积最大.30．（2024·高一·陕西商洛·期中）已知扇形的圆心角是，半径为.（1）若，求扇形的弧长.（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？【解析】（1），.（2）由已知得，，所以，所以当时，取得最大值25，此时，.31．（2024·高一·全国·课后作业）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【解析】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则，，，.（2）设扇形弧长为l，则，即，∴扇形面积，∴当时，S有最大值，此时，.因此当时，这个扇形面积最大.32．（2024·江苏南京·一模）园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.【解析】（1）步道长为扇形周长，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于的一元不等式，解得的范围，确定最大值为400.（2）由条件得，消得，由及，解出，根据二次函数最值取法得到当时，最大试题解析：（1）由题意，弧长AB为，扇形面积为，由题意，即，即，所以，所以，，则，所以当时，面积的最大值为400.（2）即，代入可得或，又，当与不符，在上单调，当时，最大平方米，此时.【重难点集训】1．将化为的形式是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故选：A.2．若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，在内阴影部分对应角的范围是，所以角的取值范围是.故选：D3．若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为扇形的面积为，半径为1，且设圆心角为，所以，解得，故B正确.故选：B4．是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】由可得，是第二象限角.故选：B.5．如图，已知的半径是2，点、、在上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，连接，因为四边形为菱形，所以,所以和均为等边三角形，且边长为，其中，可得，所以四边形的面积为又由扇形的面积为，所以阴影部分的面积为.故选：C.6．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，扇形的圆心角为，且所以,所以，且,所以阴影部分的面积为.故选：C.7．与60°角终边相同的角可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A,B弧度角度混用，错误.与60°角终边相同的角可以表示，则C错误．弧度制下表示为，则D正确.故选：D.8．集合中角所表示的范围（阴影部分）是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；当时，，此时表示的范围与表示的范围一样.故选：C．9．（多选题）将下列角度与弧度进行互化正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A，因，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.10．（多选题）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．对C，，则与终边相同，而与终边相同，且化为角度制即为，则与的终边相同，则是与的终边相同的角的表达式，故C正确；对D，由C得与终边相同，则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确．故选：CD．11．（多选题）已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（

）A．当扇形的面积最大时，扇形的半径为B．扇形面积的最大值为C．当扇形的面积最大时，扇形的半径为D．扇形面积的最大值为【答案】BC【解析】设扇形的半径和弧长分别为，由题意知：则，当且仅当时，即时等号成立，故BC正确，AD错误，故选：BC．12．已知扇形的半径是3，弧长为6，则扇形圆心角的弧度数是.【答案】2【解析】依题意，设扇形的圆心角为，因为扇形的半径是，弧长为，所以由，得，则.故答案为：.13．要在半径cm的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧的长为cm，则圆心角的弧度数是．【答案】【解析】圆心角的弧度数为.故答案为：14．终边落在图中阴影部分（包括边界）角的集合为（用弧度制表示）.

【答案】【解析】结合图象设终边落在阴影部分的角是，满足条件的角的集合是.故答案为:.15．用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合．【解析】终边落在射线OA上的角为，，即，，终边落在射线OB上的角为，，即，，故终边落在阴影部分内（含边界）的角θ的集合为．16．如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍．(1)求⊙O的半径R；(2)当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积．【解析】（1）根据题意，得，由切割线定理，得CD2＝CA•CB，3R2＝1＋2R，解得：R＝1或（负数舍去）．即⊙O的半径R为1；（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积不发生变化．连接OD、OE；∵DE∥CB，∴S△ODE＝S△QDE；∴S阴影＝S扇形ODE；∵CD切⊙O于D点，∴DO⊥CD，∴∠CDO＝90°，∵，∴∠DCO＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠ODE＝60°，∴△ODE是等边三角形；∴．17．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为；(1)若，求扇形的弧长；(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径.【解析】（1），.（2）由已知得，，所以，，所以当时，面积取得最大值，此时，所以.18．如图1所示的是杭州2022年第19届亚运会会徽