湖南省郴州市2024年中考数学试卷(解析版)

2024年湖南省郴州市中考数学试卷

一、选择题（共8小题,每小题3分，满分24分）

1.2024的倒数是（)

短B.一壶

A.C.2024D.-2024

2.2016年5月23口，为期5天的第四届中国（湖南）国际矿物宝石博览会在郴州圆满落下帷幕,

参观人数约32万人次，交易总额达17.6亿元人民币，3200。用科学记数法表示为（）

A.32X104B.3.2X104C.3.2X10$D.0.32X106

3.下列运算正确的是（）

A.3a+2b=5abB.a2Xa3=a6C.（a-b）2=a2-b2D.a3-?a2=a

4.下列生态环保标记中，是中心对称图形的是（）

，出冷,O©

5.在郴州市中小学“创园林城市，创卫生城市，创文明城市”演讲竞赛中，5位评委给靓靓同学的

评分如下：9.0,9.2,9.2,9.1,9.5,则这5个数据的平均数和众数分别是（）

A.9.1,9.2B.9.2,9.2C,9.2,9.3D,9.3,9.2

6.下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（）

7.当b<0时，一次函数y=x+b的图象大致是（）

8.如图，在正方形ABCD中，4ABE和aCDF为直角三角形，NAEB=NCFD=90°,AE=CF二5,BE=DF=12,

则EF的长是（）

A

A.7B.8C.7&D.7^3

二、填空题(共8小题，每小题3分，满分24分)

9.计算：.

10.因式分解：m2n-6mn+9n=.

11.二次根式中，a的取值范围是.

12.如图，直线AB,CD被直线AE所截，AB〃CD,ZA=110°,则N1=度.

13.同时掷两枚匀称的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是—.

14.如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC的顶点坐标分别为0(0,0),A(2,0),B(2,1),

C(0,1),以坐标原点0为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OABC,B

为对应点为且已在0B的延长线上，则&的坐标为.

付

——1s

O,\AY

1~2x

15.如图是一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成果的分布状况，则射击成果的方差较小的是

(填“甲”或“乙”).

个射击成绩（环）

小射击成绩（环）

0

9

8

7

6

56—•------------------------------•―

456789；o/击双数123456189/击港

甲的射击成绩乙的射击成绩

16.视察下列等式：31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,…，试猜想，3二的个位数字是.

三、解答题（共10小题，满分82分）

17.计算:(2)°+(-1)2024-|-V3l+2sin60o.

0

1>0©

18.解不等式组•

3(x-l)<2x@，

19.如图，一次函数yFx+1的图象与反比例函数yk"（x>0）的图象交于点M,作MN_Lx轴，N为

X

垂足，且0N=1

（1）在第一象限内，当x取何值时，yi>y2?（依据图象干脆写出结果）

（2）求反比例函数的表达式.

20.在中心文明办对2024年全国文明城市测评中，郴州市在全省五个全国文明城市提名城市中排名

第一，成果的取得土耍得力于领导高度重视、整改措施有效、市民主动参加及市民文明素养进一步

提高.郴州市某中学数学课外爱好小组随机走访了部分市民，对A（领导高度重视）、B（整改措施

有效）、C（市民主动参加）、D（市民文明素养进一步提高）四个类别进行满足度调查（只勾选最

满足的一项），并将调查结果制作了如下两幅不完整的统计图.

类别

（2）请补全条形统计图.

（3）结合上面的调查统计结果，请你对郴州市今后的文明城市创建工作提出好的建议.

21.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为削减库存，经市场调查,

假如这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克.

（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；

（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？

22.小宇在学习解直角三角形的学问后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，

他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°,测得对面楼房顶端A的仰角为30°,并量得两

栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度.（结果保留到整数，参考

数据：加七1.4,正七1.7）

23.如图，0A,0D是。0半径，过A作。。的切线，交NA0D的平分线于点C,连接CD,延长A0交

。。于点E,交CD的延长线于点B

（1）求证：直线CD是。。的2线；

（2）假如D点是BC的中点，。。的半径为3cm,求血的长度（结果保留n）

c

D

\OE°

'々a〉。)

24.设a,b是随意两个实数，规定a与b之间的一种运算“〶”为：a㊉a,

a-b(a40)

一3

例如：1㊉(-3)=—=-3,(-3)©2=(-3)-2=-5,

,x-1,

(x2+1)㊉(x-1)=—5—(因为x2+1>0)

x2+l

参照上面材料，解答下列问题：

(1)204=,(-2)©4=；

(2)若x>当且满足(2x-1)㊉(4x2-1)=(-4)㊉(1-4x),求x的值.

25.如图1,抛物线y=-x?+bx+c经过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴相交于点C,连结BC,

点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线I,交直线BC于点G,交x轴于点E.

(D求抛物线的表达式；

(2)当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF_L直线I,F为垂足，当点P运动到何处时,

以P,C,F为顶点的三角形与aOBC相像？并求出此时点P的坐标；

(3)如图2,当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC,PB,请问aPBC的面积S能

否取得最大值？若能，恳求出最大面积S,并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由.

26.如图1,矩形ABCD中，AB=7cm,AD=4cm,点E为AD上肯定点，点F为AD延长线上一点，且DF=acm,

点P从A点动身，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，连结PE,设点P运动的时间为ts,APAE

的面积为ycm',当0W1S1M,ZXPAE的面积y(cm')关于时间t(s)的函数图象如图2所示，连

结PF,交CD于点H.

(1)t的取值范围为,AE=cm；

(2)如图3,将4的尸沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M,连结AM,当a为何值时，四

边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；

(3)如图4,当点P动身1s后，AD边上另一动点Q从E点动身，沿ED边向点D以1cm/s的速度运

动，假如P,0两点中的随意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结PO,0H.若a=|cm,请问

△PQH能否构成直角三角形？若能，恳求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由.

图3M图4

2024年湖南省郴州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题,每小题3分，满分24分）

1.2024的倒数是（）

B.--1—C.2024D.-2024

20162016

【考点】倒数.

【分析】干脆利用倒数的定义分析得出答案.

【解答】解：2024X^^1,

ZUlb

•••2024的倒数是焉三，

故选A.

【点评】此题主要考查了倒数的定义，正确把握互为倒数之间关系是解题关键.

2.2016年5月23日，为期5天的第四届中国（湖南）国际矿物宝石博览会在郴州圆满落下帷幕，

参观人数约32万人次，交易总额达17.6亿元人民币，3200。用科学记数法表示为（）

A.32X104B.3.2X10'C.3.2X1O5D.0.32X106

【考点】科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中1W|a|V10,n为整数.确定n的值时，要

看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的肯定值与小数点移动的位数相同.当原数肯定值＞1

时，n是正数；当原数的肯定值V1时，n是负数.

【解答】解：将32000用科学记数法表示为3.2X10、

故选B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX1（T的形式，其中1W|a|V

10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.下列运算正确的是()

A.3a+2b=5abB.a2Xa3=a6C.(a-b)2=a2-b2D.a':a?二a

【考点】同底数器的除法；合并同类项；同底数帚的乘法；完全平方公式.

【专题】推理填空题.

【分析】A：依据合并同类项的方法推断即可.

B：依据同底数幕的乘法法则推断即可.

C：依据完全平方公式推断即可.

D：依据同底数幕的除法法则推断即可.

【解答】解：・・・3a+2b手5ab,

...选项A不正确；

Va2Xa3=a5,

・.•选项B不正确；

（a-b）2=a2+2ab+b2,

选项C不正确；

".'a3-ra?=a,

二选项D正确.

故选：D.

【点评】（1）此题主要考查了同底数幕的除法法则：同底数鬲相除，底数不变，指数相减，要娴熟

驾驭，解答此题的关键是要明确：①底数a于0,因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是

1,而不是0;③应用同底数器除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必需明确底

数是什么，指数是什么.

（2）此题还考查了同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加，要娴熟驾驭，解答

此题的关键是要明确：①底数必需相同；②依据运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）此题还考查了完全平方公式，以及合并同类项的方法，要娴熟驾驭.

4.下翻列生态环保标记中，是中心对称图形的O是（）©

【考点】中心对称图形.

【分析】依据中心对称图形的定义对各选项分析推断即可得解.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误.

故选B.

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要找寻对称中心，旋转180度后两部分

重合.

5.在郴州市中小学“创园林城市，创卫生城市，创文明城市”演讲竞赛中，5位评委给靓靓同学的

评分如下：9.0,9.2,9.2,9.1,9.5,则这5个数据的平均数和众数分别是（）

A.9.1,9.2B.9.2,9.2C.9.2,9.3D.9.3,9.2

【考点】众数；算术平均数.

【分析】依据平均数和众数的定义分别进行解答即可.

【解答】解：这组数据的平均数是：（9.0+9.2+9.2+9.1+9.5）4-5=9.2；

这组数据中9.2出现了2次，出现的次数最多，

则众数是92；

故选B.

【点评】此题考查了平均数和众数，平均数是指在一组数据中全部数据之和再除以数据的个数；众

数是一组数据中出现次数最多的数.

6.下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（）

4

【考点】简洁几何体的三视图.

【分析】依据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可.

【解答】解：A、球的三视图都是圆，故本选项正确；

B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项错误；

C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项错误；

D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项错误.

故选A.

【点评】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和

上面看所得到的图形是解题的关键.

A.

【考点】一次函数的图象；一次函数图象与系数的关系.

【分析】依据一次函数系数的正负，可得出一次函数图象经过的象限，由此即可得出结论.

【解答】解：Tk=1>0,b<0,

・••一次函数y=x+b的图象经过第一、三、四象限.

故选B.

【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出函数图象经过的象限.本题属

于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依据一次函数的解析式结合一次函数图象与系数的关系

找出函数图象经过的象限是关键.

8.如图，在正方形ABCD中，4ABE和aCDF为直角三角形，NAEB=NCFD=90°,AE=CF二5,BE=DF=12,

则EF的长是（）

A.7B.8C.7&D.773

【考点】正方形的性质.

【分析】由正方形的性质得出NBAD二NABC二NBCD二NADC=90°,AB=BC=CD=AD,由SSS证明Z\ABEg

△CDF,得出NABE=NCDF,证出NABE二NDAG=NCDF二NBCH,由AAS证明4ABE丝Z\ADG,得出AE二DG,

BE=AG,同理：AE=DG=CF=BH=5,BE=AG=DF=CH=12,得出EG二GF二FH=EF=7,证出四边形EGFH是正方形，

即可得出结果.

【解答】解：如图所示：

•••四边形ABCD是正方形，

二NBAD二NABC二NBCD=NADC=90°,AB=BC二CD二AD,

/.ZBAE+ZDAG=90°,

在4ABE和4CDF中，

'ABXD

<AE=CF,

BE二DF

.-.△ABE^ACDF(SSS),

NABE二NCDF,

,/ZAEB=ZCFD=90o,

/.ZABE+ZBAE=90°,

/.ZABE=ZDAG=ZCDF,

同理：ZABE=ZDAG=ZCDF=ZBCH,

ZDAG+ZADG=ZCDF+NADG=90°,

即NDGA=90°,

同理：NCHB=90°,

在4ABE和aADG中，

'/ABE二NDAG

,ZAEB=ZDGA=90°,

ABRA

.,.△ABE^AADG(AAS),

.*.AE=DG,BE=AG,

同理：AE=DG=CF=BH=5,BE=AG=DF=CH=12,

.,.EG=GF=FH=EF=12-5=7,

VZGEH=180°-90°=90°,

二•四边形EGFH是正方形，

「.EF;&EG=7亚；

故选：C.

D

E

BC

【点评】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；娴熟驾驭正方形的判定与性

质，证明三角形全等是解决问题的关键.

二、填空题(共8小题，每小题3分，满分24分)

9.计算：T+y=_!_.

【考点】二次根式的性质与化简.

【分析】干脆利用二次根式的性质化简，进而求出答案.

【解答】解：原式=-1+2=1.

故答案为：1.

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键.

10.因式分解：m2n-6mn+9n=n(m-3)?.

【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行视察，有3项，可采纳完全

平方公式接着分解.

【解答】解：m2n-6mn+9n

=n(m2-6m+9)

=n(m-3)2.

故答案为：n(m-3)2.

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，耍求敏捷运用各种方法对多项式进行因式分解，

一般来说，假如可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解.

11.二次根式用&-1中,a的取值范围是a21

【考点】二次根式有意义的条件.

【分析】依据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.

【解答】解：由题意得，a-1^0,

解得,ae1,

故答案为：a^1.

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，驾驭二次根式中的被开方数必需是非负数是解题的

关键.

12.如图，直线AB,CD被直线AE所截，ABZ/CD,ZA=110°,则N1:70度.

【考点】平行线的性质.

【分析】依据平行线的性质求出NAFD,依据对顶角相等得出即可.

/.ZA+ZAFD=180°,

,/ZA=110°,

AZAFD=70°,

AZ1=ZAFD=70°,

故答案为：70.

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能依据平行线的性质求出NAFD的度数是解此题的关键,

留意：两直线平行，同旁内角互补.

13.同时掷两枚匀称的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是

【考点】列表法与树状图法.

【分析】首先依据题意画出树状图，然后由树状图求得全部等可能的结果与两枚都出现反面朝上的

状况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：画树状图得：

正反

/\/\

正反正反

•.•共有4种等可能的结果，两枚都出现反面朝上的有1种状况，

二两枚都出现反面朝上的概率是：

故答案为:、■.

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的学问点为：概率二所求状况数与总状况数之比.

14.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为0(0,0),A(2,0),B(2,1),

C(0,1),以坐标原点0为位似中心，将矩形0ABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OABC”B

为对应点为&,且&在0B的延长线上，则Bi的坐标为(4,2).

付

——1s

O,\AY

1~2x

【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质.

【专题】数形结合.

【分析】利用以原点为位似中心的位似图形的坐标之间的关系求解.

【解答】解：TB点坐标为(2,1),

而B为对应点为&,且&在OB的延长线上，

••旧的坐标为(2X2,1X2),即8(4,2).

故答案为(4,2).

【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，假如位似变换是以原点为位似中心，相像比

为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

15.如图是一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成果的分布状况，则射击成果的方差较小的是*

(填“甲"或"乙”).

个射击成绩(环)

小射击成绩(环)

0

9

8

7

6

56—•---------------•―

456789；o/击双数123456189/击港

甲的射击成绩乙的射击成绩

【考点】方差.

【分析】从一次射击训练中甲、乙两人的10次射击成果的分布状况得出甲乙的射击成果，再利用方

差的公式计算.

【解答】解：由图中知，甲的成果为7,8,8,9,8,9,9,8,7,7,

乙的成果为6,8,8,9,8,10,9,8,6,7,

x甲-(7+8+8+9+8+9+9+8+7+7)=10-8,

X乙二(6+8+8+9+8+10+9+8+6+7)4-10=7.9,

甲的方差S甲J[3X(7-8)2+4X(8-8)2+3X(9-8)2]4-10=0.6,

乙的方差S乙J[2X(6-7.9)?+4X(8-7.9)2+2X(9-7.9)2+(10-7.9)2+(7-7.9)2]4-10=1.49,

则S?甲VS?乙，即射击成果的方差较小的是甲.

故答案为：甲.

【点评】本题考查方差的定义与意义，熟记方差的计算公式是解题的关键，它反映了一组数据的波

动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

16.视察下列等式：3三3,32=9,3—27,34=81,35=243,3吐729,・・•，试猜想，3M的个位数字是1.

【考点】尾数特征.

【分析】依据给出的规律，3n的个位数字是3,9,7,1,是4个循环一次，用2024去除以4,看余

数是几，再确定个位数字.

【解答】解：设n为自然数，

.「3不的个位数字是3,与31的个位数字相同，3如”的个位数字是9,与3z的个位数字相同，3g3的

个位数字是7,与3,的个位数字相同，的个位数字是1,与3a的个位数字相同，

...32。24:35泣4的个位数字与3,的个位数字相同，应为1,

故答案为：1.

【点评】本题考查了数字的改变规律，这类题型在中考中常常出现.对于找规律的题目首先应找出

哪些部分发生了改变，是依据什么规律改变的.

三、解答题（共10小题，满分82分）

17.计算：（得）°+（-1）2024-|-V3l+2sin600.

【考点】实数的运算；零指数帚；特别角的三角函数值.

【专题】计算题.

【分析】依据实数的运算依次，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式（£）,（-1）

2024-I-V3l+2sin60°的值是多少即可.

【解答】解：（当。+（-1）”|-加|+2sin60。

-1+1->/^2乂夸

二2-

=2.

【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要娴熟驾驭，解答此题的关键是要明确：在进行实数运

算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最终算加减，有括号

的要先算括号里面的，同级运算要依据从左到有的依次进行.另外，有理数的运算律在实数范围内

仍旧适用.

（2）此题还考查了零指数幕的运算，要娴熟驾驭，解答此题的关键是要明确：①a°=1（a：#0）；②

0°=#1.

（3）此题还考查了特别角的三角函数值，要牢记30°、45c、60。角的各种三角函数值.

l>0©

18.解不等式组

3(x-l)<2x@，

【考点】解一元一次不等式组.

【专题】计算题.

【分析】分别解两个不等式得到x>1和xV3,然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集.

【解答】解：解①得x>1,

解②得xV3,

所以不等式组的解集为1VxV3.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解

集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取

大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

19.如图，一次函数y产x+1的图象与反比例函数yz二k(x>0)的图象交于点M,作MNJLx轴，N为

X

垂足，且0N=1

(1)在第一象限内，当x取何值时，y,>y??(依据图象干脆写出结果)

(2)求反比例函数的表达式.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】(1)依据0N=1,MNJ_x轴，得到M点的横坐标为1,代入y产x+1=2,求得M(1,2),于

是得到结论；

(2)点M在反比例函数y?=乂(x>0)的图象上，于是得到2二吝，求得k=2,于是得到反比例函数

x1

的表达式为yz=—.

【解答】解:(1)V0N=1,MNJLx轴,

二.M点的横坐标为1,

・••当x=1时，y,=x+1=2,

AM(1,2),

...当x>1时，yi>y2;

(2)二.点M在反比例函数y?=K(x>0)的图象上，

X

.-.k=2,

9

・••反比例函数的表达式为y2=".

K

【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的学问有：待定系数法求函数解析式,

坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，以及反比例函数的图象与性质，娴熟驾驭待定系数法

是解本题的关键.

20.在中心文明办对2024年全国文明城市测评中，郴州市在全省五个全国文明城市提名城市中排名

第一，成果的取得主要得力于领导高度重视、整改措施有效、市民主动参加及市民文明素养进一步

提高.郴州市某中学数学课外爱好小组随机走访了部分市民，对A（领导高度重视）、B（整改措施

有效）、C（市民主动参加）、D（市民文明素养进一步提高）四个类别进行满足度调查（只勾选最

（2）请补全条形统计图.

（3）结合上面的调查统计结果，请你对郴州市今后的文明城市创建工作提出好的建议.

【考点】条形统计图；扇形统计图.

【分析】（1）由A人数及其占被调查人数的百分比可得总人数，依据扇形统计图可得B的百分比,

再乘以360”可得答案；

（2）总人数乘以D所占百分比可得；

（3）结合统计图中数据提出合理建议即可.

【解答】解：（1）这次调查共走访市民人数为：4004-40%=1000（人），

.「B类人数所占百分比为：1-40%-20%-25%=15%,

「.Na=3600X15%=54°；

（2）D类人数为：为00X20%=200（人），补全条形图如图:

（3）由扇形统计图可知，对“整改措施有效”的占被调查人数的15%,是全部4个类别中最少的，

故今后应加大整改措施的落实工作.

故答案为：（1）1000,54.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到

必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清晰地表示出每个项目的数据；扇形统计图干脆反映

部分占总体的百分比大小.

21.某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为削减库存，经市场调查,

假如这种水果每千克降价1元，则每天可所多售出20千克.

（D设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；

（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？

【考点】二次函数的应用.

【分析】（1）依据“每天利润:每天销售质量X每千克的利润”即可得出y关于x的函数关系式；

（2）将y=960代入（1）中函数关系式中，得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论.

【解答】解：（1）依据题意得：

y=（200+20x）X（6-x）=-20x2-80x+1200.

（2）令y=-20x2-80x+1200中y=960,贝I］有960=-20x?-83x+1200,

即X2+4X-12=0,

解得：x=-6（舍去），或x=2.

答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）依据数量关系找出函数关系式；（2）

将尸960代入函数关系式得出关于x的一元二次方程.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题

目时结合数量关系找出函数关系式是关键.

22.小宇在学习解直角三角形的学问后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，

他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°,测得对面楼房顶端A的仰角为30°,并量得两

栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度.(结果保留到整数，参考

数据：加七L4,5比1.7)

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【分析】依据正切的定义分别求出AD、BD的长，计算即可.

【解答】解：在RtZ^ADC中，tan/ACD二手,

「.AD二DC・tanNACD=9xg=3V^,

3

在R3DB中，tanZBCD=-||,

「.BD二CD二9米,

.,.AB=AD+BD=3V3f9%14米.

答：楼房AB的高度约为14米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，

找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角

三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要擅长读懂题意，把实际问题划归为直角三角形

中边角关系问题加以解决.

23.如图，0A,0D是。0半径，过A作。。的切线，交NA0D的平分线于点C,连接CD,延长A0交

。。于点E,交CD的延长线于点B

(1)求证：直线CD是。。的切线；

(2)假如D点是BC的中点，。。的半径为3cm,求血的长度(结果保留n)

c

D

【考点】切线的判定与性质；弧长的计算.

【分析】（1）欲证明直线CD是。。的切线，只要证明NODC=90°即可.

（2）先证明NB二N0CB二NAC0,推出NB=30°,ZD0E=60°,利用弧长公式即可解决问题.

【解答】（1）证明：:AC是。0切线,

.'.OA±AC,

Z0AC=90°,

TCO平分NAOD,

ZA0C=ZC0D,

在aAOC和△DOC中，

roc=oc

<ZC0A=ZC0D,

OA=OD

.-.△AOC^ADOC,

J.Z0DC=Z0AC=90°,

/.OD±CD,

•.・直线CD是。。的切线.

(2)V0D±BC,DC=DB,

.•.OC=OB,

Z0CD=ZB=ZAC0,

VZB+ZACB=90°,

ZB=30°,ZD0E=60°,

.人竹上60兀・3

••DE的长二［go

c

D

【点评】本题考查切线的判定和性质、弧长公式'线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和

性质等学问，属于中考常考题型；解题的关键是发觉全等三角形，证明NB=30°.

k(a〉O)

24.设a,b是随意两个实数，规定a与b之间的一种运算“㊉”为：a㊉b=a

a-b(a40)

一3

例如：1㊉(-3)=-―=-3,(-3)㊉2二(-3)-2=-5,

x—1

(x2+1)㊉(x-1)=-5(因为x?+1>0)

x2+l

参照上面材料，解答下列问题:

(1)2㊉4=2,(-2)㊉4=26

(2)若x>5,且满足(2x-1)㊉(4x?-1)=(-4)©(1-4x),求x的值.

【考点】实数的运算；解分式方程；解一元一次不等式.

【专题】新定义.

【分析】（1）依据运算的规定干脆列式计算即可;

（2）依据运算的规定列方程，解出方程即可.

【解答】解：⑴2㊉4卷2,

(-2)㊉4=-2-4=-6；

(2),「x>2，

(2x-1)㊉(4x?-1)=(-4)㊉(1-4x),

4x2-1

BP———i^-4-(1-4x),

2x-1

4x2~1

二4x-5,

2x~1

4x7-1=(4x-5)(2x-1),

4x2-1=4x2-14x+5,

2X2-7X+3=0,

(2x-1)(x-3)=0,

解得x?=3.

经检验，X尸^是增根，X2=3是原方程的解，

故X的值是3.

故答案为：2,-6.

【点评】此题考查有理数的混合运算和解分式方程，留意新运算的计算方法.

25.如图1,抛物线y=-x?+bx+c经过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴相交于点C,连结BC,

点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线I,交直线BC于点G,交x轴于点E.

(1)求抛物线的表达式；

(2)当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF_L直线I,F为垂足，当点P运动到何处时,

以P,C,F为顶点的三角形与aOBC相像？并求出此时点P的坐标；

(3)如图2,当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动时，连结PC,PB,请问aPBC的面积S能

否取得最大值？若能，恳求出最大面积S,并求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)将点A(-1,0),B(4,0)的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；

(2)先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到aOBC为等腰直角三角形，故此当CF=PF时，以P,

C,F为顶点的三角形与aOBC相像.

设点P的坐标为(a,-a2+3ai4).则CF=a,PF=-a2+3a,接下来列出关于a的方程，从而可求得a

的值，于是可求得点P的坐标;

(3)连接EC.设点P的坐标为(a,-a2+3a+4).则0E=a,PE=-a2+3a+4,EBM-a.然后依据

PetFS四边形PCEB-S"EB列出APBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积.

'-1-b+c=0

【解答】解：(1)将点A(-1,0),B(4,0)的坐标代入函数的表达式得：“小。,

-16+4b+c=0

解得：b=3,c=4.

抛物线的解析式为尸-x?+3x+4.

/.0C=4.

/.OC=OB.

VZCFP=ZC0B=90°,

二.FC二PF时，以P,C,F为顶点的三角形与△OBC相像.

设点P的坐标为(a,-a'+3a+4)(a>0).

贝IJCF=a,PF=|-a2+3a+4-4|=|a2-3a|.

|a?-3a|=a.

解得：a=2,a=4.

•••点P的坐标为(2,6)或(4,0).

设点P的坐标为(a,-a2+3a+4).则0E=a,PE=-a2+3a+4,EB=4-a.

•「S四边形pees=~^0B・PE=-^-X4(-a2+3a+4),SACEB=~~EB*0C=-^-X4X(4-a),

・'•S^PBC=S四边彩PctB一SZ^EB^(-a2+3a+4)-2(4-a)=-2a2+8a.

Va=-2<0,

当a=2时，^PBC的面积S有最大值.

AP(2,6),ZkPBC的面积的最大值为8.

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待