2024-2025学年高一年级上册数学期末考复习：集合（附答案解析）

题型1集合的含义与表示...........................................7

题型2集合间的基本关系...........................................8

题型3集合的基本运算.............................................9

题型4空集......................................................11

题型5集合中的参数问题..........................................12

题型6集合的新定义问题..........................................14

♦知识清单♦

1.集合的概念

(1)元素与集合的概念

(2)集合中元素的特征

(3)元素与集合的关系

(4)常用数集的记法

2.集合的表示

(1)列举法

(2)描述法

3.集合间的基本关系

（1）子集、真子集的概念与性质

（2）子集的个数

（3）由集合间的关系求参数范围

4.集合的运算

（1）并集的概念及运算

（2）交集的概念及运算

（3）由集合间的运算求参数范围

（4）全集与补集及性质

（5）交、并、补集的综合运算

如识归幽

1.集合的有关概念

（1）元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母

a,b,c,...•

（2）集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.集合通常用大写

拉丁字母A,B,C,…表不.

（3）集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.即集合中的元素必须

是确定的，不能是模棱两可的，任何两个元素不能相同，且与顺序无关.

（4）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

（5）元素与集合的两种关系：属于，记为©；不属于，记为已

（6）五个特定的集合及其关系图：

非负整数集

名称正整数集整数集有理数集实数集

（或自然数集）

记法NN*或N+ZQR

2.集合的表示

（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起

来表示集合的方法叫做列举法.

（2）描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征

P（x）的元素x所组成的集合表示为{x©A|P（x）},这种表示集合的方法称

为描述法.

3.集合间的基本关系

（1）Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这

种图称为Venn图.

（2）子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是

集合3中的元素，则称A是3的子集，记作AG3（或324）.

（3）真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不

属于A,则称A是3的真子集，记作或3会儿

B）

（4）集合相等：如果AG3,并且则A=3.

（5）空集：不含任何元素的集合.空集是任何集合的子集，是任何非空集合

的真子集.记作0.

（6）判断集合间关系的常用方法.

(列举\一当集合中元素较少时，可列出集合中的全

部元素，通过定义得出集合之间的关系

首先确定集合的代表元素是什么，弄清集

用特征岁一合元素的特征，再利用集合元素的特征判

断关系

利用数轴或Venn图.不等式的解集之间的

々吉合―一关系，适合用数轴法

4.集合的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合5的所有元素组成的集合，称

为A与5的交集，记作ACB,AQB={x\x^A,且工63}.

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，称

为A与3的并集，记作AU3,即AU3={x|xGA,或

(3)补集：对于一个集合A,由全集。中不属于集合A的所有元素组成的集

合称为集合A相对于全集。的补集，简称为集合A的补集，记作Q/A,即CuA

={x\x^U,且娓A}.

(4)常用结论

①子集的性质：AGA,0GA,AQBQA,AHBQB.

②交集的性质：AnA=A,AA0=0,AnB=BHA.

③并集的性质：AUB=B^A,AU32A,AUB^B,AUA=A,AU0=0UA

=A.

④补集的性质：AU(c必)=U,An(CM)=0,Cu(Ct/A)=A,QA=0,

CA0=A.

⑤子集的个数：含有n个元素的集合共有2〃个子集，其中有2〃一1个真子集，

2附一1个非空子集，2〃一2个非空真子集.

⑥等价关系：AnB=A=AG&AU3=A=A=3.

技巧总结

____________________________J

1.集合中元素的互异性.

此性质常用于求解含参数的集合问题中.

2.空集.

(1)空集只有一个子集，即它本身，0C0.

(2)空集是任何集合的子集，即对于任意集合A,0CA.

(3)空集是任何非空集合的真子集，即AW0,则

3.子集个数.

(1)含〃个元素的集合｛©,。2,…，斯｝的所有子集的个数是23真子集

的个数是2〃一1,非空真子集的个数是2〃一2.

(2)要注意两个特殊的子集：。和自身.

(3)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏.

4.集合的运算与集合间的关系综合.

(1)若AUB=3,贝UAG3.

(2)^AHB=B,则BGA.

5.利用集合间的关系求参数.

(1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示

出来，以形定数，还要注意验证端点值.

(2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集.

1.区间的概念.

设a,6是两个实数，而且a〈从我们规定：

①满足不等式心烂》的实数x的集合叫做闭区间，表示为［a,b］；

②满足不等式a<x<5的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；

③满足不等式a<x<b或a<x<b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示

为［a,b),(a,b］.

2.区间的几何表示.

区间数轴表示

[a,b]-1________1_.

ab

—!_______A__►

(a,b)ab

[a,b)—I_______A_.

ab

(a,—A_______1_.

b]ab

3.含“oo”的区间的几何表示.

区间数轴表示

[a,+oo)1.

a

(a,+oo)上

a

(—oo,b]□__.

b

(-oo,b)一］一

1)

题型1集合的含义与表示

【典例0（2024春•莲池区校级期末）已知集合。={2,-l},D={z|z=x+y,无GC,

yCC},则集合。等于（）

A.{-1,2,1}B.{-2,1,4}C.{1,2,4}D.{-2,2,4}

【答案】B

【分析】由已知结合元素与集合关系即可求解.

【解答】解：当x=-1,y=-1时，-1-1=-2；

当x=2,y=2时，2+2=4；

当x=2,丁=-1或％=-1,y=2时，-1+2=1；

所以。={-2,1,4）.

故选：B.

【典例2】（2024•天元区校级开学）已知集合M={（a,b）\ab=16,a,gN*},

则M中元素的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】利用列举法表示集合〃即可得解.

【解答】解：依题意，M={（1,16）,（2,8）,（4,4）,（8,2）,（16,1）},

所以“中元素的个数为5.

故选：C.

【典例3］（多选）（2024春•保定期中）下列四个命题:其中不正确的命题为（）

A.{0}是空集

B.若aCN,则-

C.集合{x*-2x+l=0}有两个元素

D.集合{xCNI^eN}是有限集

X

【答案】ABC

【分析】根据元素个数判断A,C,举反例判断3,集合{xCN|§eN}={l,5}

X

判断D

【解答】解：对于A,{0}还有一个元素0,故{0}不是空集，故A是假命题;

对于3,0CN,而-0CN,故3是假命题；

对于C,方程--2x+l=0在实数范围内只有一解x=l,即{xCR*-2x+l=

0}只有1个元素，故C是假命题；

对于。，集合{xCNUeN}={l,5}是有限集，故。是真命题.

X

故选：ABC.

题型2集合间的基本关系

【典例41（2022秋•郑城县校级期末）已知集合4={x|y=5V,久eN］,B={0,

1,2,3,4},则A,3间的关系是（）

A.A=BB.BQAC.AEBD.AQB

【答案】D

【分析】通过计算得到A={0,1,2,3},从而得到集合A与3的关系.

【解答］解：A={x|xW3,xGN}={0,1,2,3},即4={0,1,2,3},

又3={0,1,2,3,4},所以AG3.

故选：D.

【典例5】（2024春•黄浦区校级期中）已知集合尸={x|-24W5},Q={x\l-k

WxW2k-1},且PGQ.则实数上的取值范围为.

【答案】［3,+8）.

【分析】根据集合的包含关系列不等式组，解出实数上的取值范围.

1—kv2k—1

【解答】解：由题意1-攵工一2,解得上23,

-1>5

则实数左的取值范围为［3,+8）.

故答案为：［3,+8）.

【典例6】（2024•南靖县校级开学）已知集合A=｛x|af+3x-2=0｝有且仅有两个

子集，求满足条件的实数。组成的集合.

【答案】｛0,-1｝.

【分析】利用子集个数的公式可确定A中元素个数，结合方程解的个数讨论

即可.

【解答】解：因为集合4=｛卫加+3》-2=0｝有且仅有两个子集，

所以A中只有一个元素，

若。=0,此时4=｛|｝,符合题意；

若aWO,要符合题意则需一元二次方程^+3%-2=0只有一个实数根，

BPA=32-4aX（-2）=0,即a=—看，

综上满足条件的实数a组成的集合为｛0,-1｝.

题型3集合的基本运算

【典例7】（2024春•道里区校级期末）对空中移动的目标连续射击两次，设人=

｛两次都击中目标｝,3=｛两次都没击中目标｝,C=｛恰有一次击中目标｝,D

=｛至少有一次击中目标｝,下列关系不正确的是（）

A.A^DB.BCD=«C.AUC=DD.AUC=BUD

【答案】D

【分析】结合集合的包含关系及交集及并集运算检验各选项即可判断.

【解答】解：对空中移动的目标连续射击两次，设A=｛两次都击中目标｝,B

=｛两次都没击中目标｝,C=｛恰有一次击中目标｝,。=｛至少有一次击中目标｝,

由题意可得，AQD,选项A正确；

BDD=0,选项3正确；

AUC=｛至少一次击中目标｝=。，选项C正确；

BUD=Q（Q为试验的样本空间），故AUCW3UD,选项。错误.

故选：D.

【典例8](多选)(2023秋•越秀区期末)若集合M={x|xN0},N={x\(x-1)

(x-2)VO},则()

A.MGNB.MUN=AfC.(CRM)AN=0D.MU(CRN)

=R

【答案】BCD

【分析】解一元二次不等式得集合N,根据补集的概念可得CRM与CRN,根据

集合间的关系以及集合的运算法则，依次判断每个选项即可.

【解答】解：解一元二次不等式(x-1)(x-2)<0,得l<x<2,所以N=

(1,2)；CRN=(-8,1]U[2,+8),由于M={x|xN0},结合补集的定义

CRM=(-8,0),NJM,选项A不正确；

同时可得MUN=M,选项3正确；

由于CRM=(-8,0),且N=(1,2),可得(CRM)AN=0,选项C正确；

由于M={x|x>0},且CRN=(-8,1]U[2,+8),可得MU(CRN)=R,

选项。正确.

故选：BCD.

【典例9](2024春•崂山区校级期中)已知集合M={x|『+x-6>0},N={x|『

-2ax+3W0,。>0},若MAN中恰有一个整数，则a的最小值为.

【答案】2.

【分析】求解一元二次方程化简M,把MAN中恰有一个整数转化为一元二

次方程f-2取+3=0的根的分布列式求解.

【解答】解：集合〃={石炉+》-6>0}={x[x<-3或x>2},

x2-2ax+3W0所对应的二次函数尸f-2ax+3的对称轴方程为x=a>0,

N={x\x2-2ax+3^0,a>0},若MAN中恰有一个整数，

0<a<3

隽)望，解得2金得.

{/(4)=16-8a+3>0

：.a的最小值为2.

故答案为：2.

题型4空集

【典例10］（2023秋•衡阳县期末）下列结论正确的是（）

A.0£{2,3}B.V3eQ

C.NEZD.若AU3=A,贝UAG3

【答案】C

【分析】利用元素与集合的关系可判断A,B,利用集合间的包含关系可判断

C,D.

【解答】解：对于A,。不是集合{2,3}的元素，故A错误；

对于3,因为遍是无理数，所以旧医（5,故3错误；

对于C,任意一个自然数都是整数，所以NGZ,故C正确；

对于。，若AU3=A,则故。错误.

故选：C.

【典例11］（2023秋•川汇区校级期末）已知A={x|-2WxW4},B={x\x>a},

An3W0,则实数a的取值范围是.

【答案】a<4.

【分析】由A与5,以及A与3的交集不为空集，确定出a的范围即可.

【解答】解：：A={x|-2WxW4},B={x\x>a},且AABW。，

.'.a<4,

故答案为:aV4.

【典例12］（2024春•杨浦区期中）已知集合，={1},集合3={巾2-3x+a=0,

xGR}.

（1）若3=0,求实数a的取值范围；

（2）若AG3,求实数a的值.

【答案】（1）a>j.（2）a=2.

【分析】（1）根据集合为空集转化为方程无解的情况，进行求解即可.

（2）根据集合的包含关系即可求解.

【解答】解：（1）若3=0,则方程/Tx+a：。无解，

所以有判别式A=9-4a<0,

解得a*.

（2）因为AGB,所以集合A为集合5的子集，

即1为方程x2-3x+a=0的解，所以1-3+a=0,

解得。=2.

题型5集合中的参数问题

【典例13]（多选）（2024•海州区校级开学）已知全集U=R,集合A={x|-2W

xW7},B={x\m+l^x^2m-1},则使AGCuB成立的实数机的取值范围可以

是（）

A.{m|6<mW10}B.[m\-2<m<2}C.{m\-2<m<—D.{m15VmW

；}

【答案】ABC

【分析】分BW0和3=0两种情况，求出CuB,然后由子集的定义分析求解即

可.

【解答】解：①当3W0时，则m+lW2m-l,即加三2,

因为集合A={x|-2W无W7},B={x\m+l^x^2m-1},

则CUB={X|XVM+1或x>2机-1},

又AGCuB,贝或2机-1<-2,

解得m>6或mV-}

又加三2,所以机>6；

②当3=0时，则机+1>2加-1,即机V2,

此时Cu3=R,符合题意.

综上所述，实数机的取值范围为机>6或机<2.

故选：ABC.

【典例14]（2024春•建华区校级期末）设U={0,1,2,3},A={xEU\x2+mx

=0},若CuA={l,2],则实数机=.

【答案】-3

【分析】根据全集。和CuA,容易求出集合A,再根据已知集合A的等式判断

出m的值

【解答】解：,.•。={0,1,2,3},CuA={l,2},.•.A={0,3}

而,.♦4={疣0炉+阳=0},AO,3为炉+如=0的两个根

解得m=-3

故答案为-3

【典例15](2024春•河西区期中)已知集合，={x4-3尤-1040}

(1)若3GA,_8={x|/n+lWxW2/n-1},求实数机的取值范围；

(2)若A=3,1},求实数机的取值范围；

(3)若AC3,B={x\m-6^x^2m-1},求实数机的取值范围.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)分两种情况考虑：当集合3不为空集时，得到m+1小于痴-1

列出不等式，求出不等式的解集得到机的范围，由5为A的子集，列出关于

加的不等式，求出不等式的解集，找出机范围的交集得到机的取值范围；当

集合3为空集时，符合题意，得出机+1大于2机-1,列出不等式，求出不等

式的解集得到机的范围，综上，得到所有满足题意的加范围.

(2)A=B,机-6=-2且2机-1=5,机无解；

(3)利I用AC3,3={x|m-6WxW2m-1,机为常数},建立不等式，即可求

得结论.

【解答】解：(1)集合A={x|-2WxW5},

分两种情况考虑：

(D若3不为空集，可得m+1W2/K-1,解得：机三2,

,：BQA,A={x|-2WxW5},B={x\m+l<x<2m-6],

.•.机+1N-2,且2m-lW5,解得-3WmW3,

(“)若3为空集，符合题意，可得机+1>2机-1,解得：机<2,

综上，实数机的范围为机W3；

(2)A=B,机-6=-2且2机-1=5,，加无解；

(3)'：AQB,B={x|m-1,机为常数},

：・m-6W-2,且2m-125,

且加23,

...3W机W4.

题型6集合的新定义问题

【典例16]（2023秋•南溪区校级期末）定义A*B={Z|Z=xy+l,xGA,yEB},设

集合A={0,1},集合8={1,2,3},则A*B集合的子集的个数是（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【分析】通过定义可得A*3={1,2,3,4},再根据元素与集合的关系可解.

【解答】解：因为定义A*3={Z|Z=xy+l,xGA,yEB},

又集合A={0,1}