2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷（浙江专用浙教版九年级上册+九年级下册1~2章）

2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷（浙

教版）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：浙教版九年级上册全册+下册第1章，其中二次函数20%,概率11.7%,圆32.5%,相似

17.5%,解三角形18.3%。

5.难度系数：0.65o

第一部分（选择题共30分）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知O。的半径为5cm,PO=3cm,则点尸与O。的位置关系是（）

A.点尸在圆外B.点尸在圆上C.点P在圆内D.无法确定

【答案】C

【详解】解：：O。的半径为5cm，P0=3cm，

d<r,

...点P在圆内，

故选：C.

2.一个转盘白色扇形和红色扇形的圆心角分别为120。和240。，让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次

落在红色区域的概率是（）

1214

AyB.§C.-D.-

【答案】D

【详解】解：白色区域用A表示，红色区域分别用Bi和B2,如图，

一共有9种等可能的结果，而转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的结果数有4种，

.••让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是小

故选：D.

3.将抛物线y=(加一1)%2+m％+瓶+3向左平移2个单位，再向上平移3个单位后经过(一2,3).则zn的值是

()

A.-1B.2C.-3D.0

【答案】C

【详解】解：把点(一2,3)先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得对应点的坐标为(0,0),

把(0,0)代入y=(m—l)x2+mx+m+3,

得：m+3=0,

解得：m=-3.

故选：C.

4.如图，在△力BC中，黑=宾=|,△CDE与四边形ABED的面积的比是()

DCEC3

【答案】D

【详解】解：•••黑=案=弓，

DCEC3

.DC_EC_3

**AC-BC~59

VzC=zC,

・•・ACDE〜ZkCAB,

SACDE=Zpc\2—2,

°.SACAB\AC/25

,SMDES2XCDE_9_9

S四边形ABEDSACAB-SACDE25-916’

故选：D.

5.如图，在扇形OAB中，点。在。2上，点C在而上，乙AOB=LBCD=90°.若CD=3,BC=4,则。。

的半径为（）

A.4B.4.8C.2V5D.3近

【答案】C

【详解】解：过点。作0E1BC与E,连接BD交0E与点F,连接CF,

/.BD=VCD2+BC2=5,

V0E1BC,

.•.0E垂直平分BC,

ABF=CF,

AzFBC=ZFCB,

XVZBCD=90°,

/.ZFBC+ZFDC=ZFCB+zFCD=90°,

.".ZFDC=ZFCD,

?.CF=DF=BF,

；.F是BD的中点，

--.OF=|BD=|,

又「OE垂直平分BC,

EF=|CD=I，BE=|BC=2

；.OE=OF+EF=?S+-34,

22

.••OB=VOE2+BE2=V42+22=2V5,

即（DO的半径为2遍，

故选：C.

6.中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中

间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块.这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形

4BCDEF的周长约为18而mm，则4。的长约为（）

图1图2

A.6V5mmB.5V3mmC.12V5mmD.18-\/3mm

【答案】A

【详解】解：如图，连接CF与AD交于点0,

D

YABCDEF为正六边形，

•••ZCOD=孥=60°,CO=DO,

6

・•・△COD为等边三角形,

•••CD=CO=DO,

•.•正六边形ABCDEF的周长约为18V^mm，

**,CD=3"\Z5rnm，

・•・AD=2CD=6V5mm，

故选：A.

7.如图，在平面直角坐标系中，已知点48的坐标分别为(一3,1),(-1,4)，以点。为位似中心，在原点的

另一侧按2:1的相似比将△OAB缩小，则点/的对应点4的坐标是()

A.(-3,1)B.(_|4)C.(3,-1)D.

【答案】D

【详解】解：以点0为位似中心，在原点的另一侧按2:1的相似比将4OAB缩小，将A(—3,1)的横纵坐标先

缩小为原来的?为(一1，9,再变为相反数得(|,—a.

故选：D.

8.在边长相等的小正方形组成的网格中，点4B,C都在格点上，那么sin乙4cB的值为()

【答案】C

【详解】解：过点B作AC的垂线，垂足为M,设小正方形的边长为a,

•••在边长相等的小正方形组成的网格中，点A,B,C都在格点上,

AB=Ja2+(3a)2=VlOa，BC=^/a2+(3a)2=VlOa，AC=J(2a)2+(2a)2=2五a,

AAB=BC,

VBM1AC,

...点M是AC的中点,

CM=1AC=|x2岳=V2a,

在RtZ\BCM中，BM=VBC2-CM2=(VlOa)2-(V2a)2=2四a,

...s.mZ.AaCcBc=—BM2VIa_2V5

BCVlOa5

•••sin/ACB的值为竽.

故选：C.

9.如图，AB是。。的直径，AB=6,CD是。。的弦，连接AC,BC,OD.若乙4CD=2/BCD,则已。的

71

cD.

-54

【答案】A

【详解】解：「AB是直径,

•••Z.ACB=90°,

vZ.ACD=2ZBCD,

ZBCD=jzACB=30°,

ZBOD=2ZBCD=60°,

・'~、v|x6(hix3

••8。1的l长=不^=兀・

故选：A

10.如图，是。。的直径，。。为半径，过4点作力D〃OC1交。。于点D,连接AC,BC,CD,连接8。交OC

于点E,交AC于点小若图中阴影部分分别用Si和S2表示，则下列结论：①NC4。+NOBC=90。；②若F为AC

中点，则CE=2OE；③作DP||BC交48于点P,则叱=OB-BP；④若S1S2=则NHC。=30°；其中正

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【详解】解：①「ADIICO,

・•.Z.CAD=zACO,

•・•OA=OC,

・•.ZACO=Z.CAO,

:.zBOC=2Z.ACO=2Z.CAD,

vOC=OB,

・•・zOBC=Z.OCB,

vZCOB+ZOBC+Z.BCO=180°,

・••2ZCAD+2Z.OBC=180°,

・・・ZCAD+ZOBC=90°,

故①正确；

②ADIIOC,F为AC中点，OA=OB,

•••CE=AD,OE=|AD,

・•.CE=2OE,

故②正确；

③rAB为圆0直径，

•••AC1BC,

・・•DP||BC,

・••DP1AC,

由①知，zCAD=zCAB,

・•・zAPD=zADP,

AD=AP,

在4ACD和AAPC中，

(AC=AC

]4CAD=ZCAB,

(AD=AP

/.AACD=AAPC(SAS),

:.Z.ADC=Z.APC,

・・・四边形ABCD为圆内接四边形,

・•・Z.ADC+ZABC=180°,

ZAPC+ZCPB=180°,

•••Z.ABC=zCPB=Z.OCB,

.*.△OBC-'ACBP,

.BC_PB

**OB-BC*

・・・BC2=OB-BP,

故③正确；

④连接OD,

.♦.Si=S扇形OAD,

S1：S2=1

•••ZAOD=jzBOC,

zAOD=zCAO=zDAC=Z.ACO,

vOA=OD,

・•・5zACO=180°,

・•.ZACO=36°,

故④错误；

综上所述，正确的是①②③，共三个.

故选：B.

第二部分（非选择题共90分）

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.已知线段m=2,n=8,则科九的比例中项是.

【答案】4

【详解】解：设线段m,n的比例中项为x,

是长度分别为2、8的两条线段的比例中项，

Ax2=mn=2x8,

即X?—16,

Ax=4（负数舍去）.

故答案为:4.

12.在RtaABC中，ZC=90°,AB=13,AC=5,则sinA的值为.

【答案】g

【详解】解：：在RtaABC中，4c=90。，AB=13,AC=5,

ABC=VAB2-AC2=12,

・・smA=鼾=五'

故答案为：y|.

c

13.如图，BD、CE是。。的直径，弦AE〃BD,AD交CE于点F,乙4=25。，则乙4FC=

4E

【答案】75。

【详解】解：：弦AE||BD,且NA=25°,

•••zD=zA=25。，

・・・瓦所对的圆周角是NA,圆心角是NEOD,

ZA=^ZEOD,

•••ZEOD=2zA=2x25°=50°,

•••ZAFC=ND+ZEOD=25°+50°=75°,

故答案为：75。.

14.如图是一个学生自制的七巧板飞镖游戏盘，若向游戏盘内投掷飞镖，投掷在阴影区域的概率是,

【答案】|

【详解】解：如图：作辅助线可将正方形分成16等份，其中阴影部分占6份，则投掷在阴影区域的概率是

63

168

故答案为：

O

15.某种商品的商标图案如图（图中的阴影部分），已知O。的直径2B1CD,且48=8cm,弧AB是以。

为圆心，ZM为半径的弧，则商标图案的面积为.

【答案】8TTcm2

【详解】解：；AB=8,AB是O0的直径，

AzADB=90°,

:弧AB是以D为圆心，DA为半径的弧，

AD=BD=逗AB=返x8=4vL

22v

二商标图案的面积为：9°xnx(45=8n(cm2)

360

故答案为：8ncm2

16.如图，已知抛物线y=%2—2%—3与久轴交于8两点，与y轴交于点C,。是坐标原点.P为线段BC上

【详解】解：过点P作PD，x轴于点D,贝IJPDIIOC,

把y=。代入y=x2—2x—3得，x2—2x—3=0,

角军得Xi=-1,x2=3,

・・・A(—1,0),B(3,0),

AOB=3,AB=3-(-1)=4,

把x=0代入y=x2—2x—3得，y=—3,

・・・C(0,-3),

OC=3,

VzBOC=90°,

BC=VOB2+OC2="32+32=3近，

VzACB=ZPAB,ZABC=zPBA,

・•・AABP-ACBA,

.AB_BP

**BC-AB*

・_4_____BP

一3V2-4'

：.BP=鸣

3

VPD||OC,

ADBP^AOBC,

.BD_BP

**BO-BC"

BD随

即=q,

33V2

BD=l，

；.OD=OB—BD=3*DP=VBP2-BD2=J(嘤)?_(|丫=8；

...点P的坐标为G，—I),

三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.（本题满分8分）计算：

(l)2sin300+4cos30°-tan60°—cos245°

(2)(-2)°-3tan30°+|tan60°-2|.

【详解】(1)解：2sin30°+4cos30°•tan60°—COS245°

2

1V3广

=2x-+4x—xV3-

(2)解：(-2)°-3tan30°+|tan600-2|

V3广

—1—3X--"F|—21

=1-V3+2-V3

=3-2V3...............................8分

18.(本题满分8分)有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字一1,0,I,2,将卡片的背面朝

上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡

片上的数字记录下来.

(1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率；

(2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡

片上的数字的乘积为负数，则小亮胜.这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说

明理由.

【详解】(1)解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种，

...第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是a............................2分

(2)解：列表如下：

-1012

-110-1-2

00000

1-1012

2-2024

............................5分

由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果，

所以小亮获胜的概率=4+16=；，小明获胜的概率=5+16=白，............................7分

41O

,此游戏不公平...............................8分

19.（本题满分8分）如图，某景区为方便游客上下山，现在从甲山4处的位置向乙山B处拉一段缆绳.已

知甲山上4点到CD的垂直高度力C=100米；从。处往B处看的仰角为60。，乙山上B点到河边。的距离

BD=500米，从B处看力处的俯角为25。.（4、B、C、。在同一平面内，参考值：sin25°«0.4,cos

（1）求乙山8处到河边CD的垂直距离（结果保留根号）；

（2）求甲山与乙山所拉缆绳力B的长度（结果保留整数）.

【详解】（1）如图，过点B作BE1CD,垂足为E,

•.,从D处往B处看的仰角为60。，

.\tanzBDE=^=V3.

.•.设BE=V^k米，则DE=k米，

在RtZiBDE中，BD=VDE2+BE2=J(V3k)2+k2=2k(米)，

VBD=500米，

：.k=250,

ABE=250遥米，

乙山B处到河边CD的垂直距离为250g米；..............4分

由题意得：AF=CE,AC=EF=100米，BG||AF,

AzABG=ZBAF=25°,

VBE=250V3-425米，

ABF-BE-EF«425-100=325（米）,............................7分

在Rt^ABF中，AB=$〜等=813.（米），

sin2500.4

.••甲山与乙山所拉缆绳AB的长度约为813米..............................8分

20.(本题满分8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，△。力B的顶点坐标分别为0(0,0),4(5,0),B

(4,-3).将△。力B绕点。顺时针旋转90。得到△。4夕，点/旋转后的对应点为4.

(1)画出旋转后的图形△。4夕，并写出点4的坐标；

(2)求线段8夕的长.

【详解】(1)解：：O(0,0),A(5,0),B(4,—3),△OAB绕点O顺时针旋转90。,

；.从((),—5),B((-3,-4),连接OAQAB,OB',得到△0AE,

△0AB即为所求，如图1所示，

此时A<0,—5)；

（2）解：连接BB，，如图2,BB'="2+12=5vL

图2

21.(本题满分8分)如图，点2在%轴的正半轴上，且。4=4,点8在y轴的正半轴上，且0B=6,直线力B

与抛物线y=a久2—1在第一象限内相交于点p,连接OP,已知=6.

⑴求a的值;

(2)若将抛物线y=a久2—1先向右平移2个单位，再向下平移t(t>0)个单位，恰好经过点力，试确定t的值.

【详解】(1)解：：0A=4,OB=6,

/.A(4,0),B(0,6),

设直线AB的解析式为y=kx+b(k70),

解得，卜「二I,

(b=6

，直线AB的解析式为y=—|x+6,.........................................................2分

・・•二次函数y=ax2—1与直线AB在第一象限交于点P,

・••设P(p,—gp+6)(p>0),则点P到lx轴的距离为hp=—|p+6,

SAOAP—6，BP^OA-hp=6,

-'-hp=3X=T=3,即一|P+6=3,

解得，p=2,

；.P(2,3),

，4a—l=3,

解得，a=1；............................4分

(2)解：由(1)可得二次函数的解析式为y=x2—1,

•••经过平移后的解析式为y=(x—2尸一1—t,

,/平移后的图象经过点A(4,0),

，(4—2)2—l—t=0,

解得，t=3...............................8分

22.(本题满分10分)如图，2B是。。的直径，弦CD14B与点E,已知AB=10/E=8,点P为线段4E

上任意一点，(点P不与4、E重合)，连接CP并延长与O。交于点Q,连接Q。、PD、AD.

⑴求CD的长；

⑵乙4DP与乙4DQ满足什么关系？并说明理由;

(3)若NPCE=45。，求CP2+PQ2的值.

【详解】(1)解：如图所示，连接。。，

A

B

•.•直径4B=10,AE=8,

：.BE=2,

.".OF=5-2=3,

'：AB1CD,

：.CD=2DE=2CE,乙OED=90°,

在RtZkOEO中，由勾股定理得P£>2=PE2+ED2

：.ED-<52-32=4,

：.CD=2ED=8；...............................................................................3分

(2)解：/.ADP=^ADQ,理由如下：

如图所示，连接AC,

9：AQ=AQ,

・••乙4CQ=乙4OQ,

B

•「AB是。。的直径，AB1CD,

:.CE=DE,即是CD的垂直平分线,

：.AC=AD,PC=PD,

U

：AP=AP9

：.Ai4£)P(SSS),

：.^LACP=乙40P,

：.Z.ADP=A.ADQ；..........................................................6分

(3)解：如图所示，过点。作。H1CQ,连接0C,

由（1）得CE=DE=4,0E=3,

ACH=QH,

9：AB1CD,Z.PCE=45°,

A/-CPE=90°一乙PCE=45°=乙PCE,

：.PE=CE=4,

：.OP=PE-OE=lf

VOH1PH,

・•・同理可得PH=。”，

：.PH=OH=^OP=^,

22

在Rt△0cH中，由勾股定理得CH=70c2—0甲=J52—停J=苧，

?.CH=QH=竽，

CP=CH+PH=4vLQP=QH-PH=3vL

/•CP2+PQ2=（4烟2+（3&,=50.............................................................I。分

23.（本题满分10分）根据背景素材，探索解决实际问题

乒乓球发球机的运动路线

如图1所示，乒乓球台规格是

矩形，长为2.8米，宽为1.5米，

素

球网高度为0.14米某品牌.乒

材

乓球发球机的出球口在桌面

中线端点。处的正上方0.25米

处P

图1

如图2所示，假设每次发出的

乒乓球都落在中线上，且球的

运动路线是一条抛物线，且形

状固定不变，在与P水平距离

素

为1机的。点正上方达到最高

材

点，此时与桌面的高度为0.45

m,并且乒乓球落在桌面的点O\MX

M处，以。为原点，桌面中线

图2

所在直线为无轴，建立平面直

角坐标系.

如图3所示，若乒乓球落在桌

Q

素面上弹起后，在与O点的水平

但

材距离为3米的位置达到最高

点，设球达到最高时距离桌面

的高度为九米.0Mx

图3

问题解决

任

(1)求出发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动的抛物线关系

务研究乒乓球飞行轨迹及落点

式，并求出点“与。的水平距离.

任(2)当h=0.2时，运动员小亮想把球沿直线擦网击打到O点,他

务击球点的确定能不能实现，若能实现，请求出击球点位置的高度，若不能实现，

请说明理由.

(3)当九=：时，运动员小亮的球拍/离点。的水平距离为3.8m，

位于桌面上方，离桌面0.2m，且运动员挥拍的过程中，球拍的击打

任

路线48近似于一条直线，球拍与桌面的夹角为45。，如图3所示.当

务运动员移动的距离

球飞行的高度在。至，时，小亮可以获得最佳击球效果.小亮想要成

loZ

功击中乒乓球，球拍需要先向前平移，设球拍向前平移的距离为"，

则n的取值范围为二

【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为：(1,0.45)

设抛物线的解析式为y=a(x-l)2+0.45,

将P(0,0.25)代入可得0.25=a(0—1)2+0.45,解得：a=-0.2,

所以抛物线的解析式为y=-0.2(x-l)2+0.45,......................................................................2分

当y=0时，0=—0.2(x—+0.45,解得：X1=2.5,x2=-0.5<0(舍弃负值)，

所以M(2.5,0)，点M与O的水平距离为2.5m；.....................................................................3分

任务二：不能实现，理由如下：

设球弹起的抛物线轨迹为y=b(x-3)2+0.2,

将M(2.5,0)代入可得:0=b(2.5-3)2+0.2,解得：a=-0.8,

所以y=—0.8(x—3)2+0.2,.......................................................................4分

由题意可得：球网上方点F的坐标为(1.4,0.14),

设OF的解析式为y=kx,贝UO.14=1.4k,解得：k=0.1,

所以OF的解析式为y=O.lx,

由一0.8(x—3)2+0,2=O.lx,整理得：8x2-47x+70=0,

所以△=472—4x8X70=—31<0,即方程无解，

所以不能实现；............................6分

任务三，如图：依题意可得P(0,0.25),Q(l,0.45),M(2,5,0),A(3.8,0,2),第二个抛物线的顶点坐标为D

(3,0.5)，

.,.0=a（2.5-3）z+1,解得：a=-2,

•'•Y2=-2（x-3）2+1,............................8分

令y2=-2（x—3）2+J=3解得：乂=与或乂=:

ZloJo

故击球点的横坐标的取值范围为：|<XB<y,

•op_22_2—QQ_£—iZ.

**,~~~159,-3-15，

4<n（卷..............................1。分

24.（本题满分12分）【问题情境】（1）如图1,正方形力BCD中，£、尸分别是边48和对角线4C上的点,

ZEDF=45°,易证△£>&£1“△DCF（不需写出证明过程），此时的值是：

Ih----