2024-2025学年人教版高一数学上学期期末考前必刷押题卷（必修一全册 提高卷）（解析版）

高一数学上学期期末考前必刷押题卷

(范围：必修一全册提高卷)

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.集合卜€z归-3<2}的另一种表示法是()

A.{0,123,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】B

【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合

【分析】把描述法改写为列举法，由描述法所表示集合中的元素，在集合中列举出元素即可.

【详解】集合{xeN*|x-3<2}是用描述法来表示的，用另一种方法来表示就是用列举法，

所以{xeN*|x_3<2}={xeN*|x<5}={l,2,3,4}.

故选：B.

2.函数=J2x-3+一1的定义域为()

x-3

3

A.[-,+℃)B.(-00,3)u(3,+oo)

33

C.[],3)U(3,+8)D.(I,3)U(3,+8)

【答案】C

【知识点】具体函数的定义域

【分析】利用函数有意义，列出不等式求解得定义域.

I-------1f2x—3203

【详解】函数/(幻=岳=5+—I有意义,则°八，解得尤"且"3,

x-3x-3^02

3

所以原不等式的定义域为［-,3)U(3,+功.

故选：C

sincr-2cos6r3皿,、

3.若1--------------=-,贝Utana=()

sina—3cosa2

44

A.—5B.5C.—D.一

33

【答案】B

【知识点】正、余弦齐次式的计算

【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出tana.

.、生加、,sina-2cosa3tana-23-

【详解】由二-----------得-------------=-1所以tana=5.

sin6Z-3cosa2tana-32

故选：B

4.已知x>l,则x=3x+6的最小值是()

X—1

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【知识点】基本不等式求和的最小值

【分析】由)-3x+6=x」+<利用基本不等式求解.

x-1x-1

【详解】解：因为X>1,

所以X、-3x+6=(X1)2(X1)+4,

x—1x—1

4I4~

=x-l+—--l>2J(x-l)——--1=3,

4

当且仅当x-1=——，即x=3时，等号成立,

x—1

故选：A

(a-2)x+3a-l,xK1

5.已知函数/(%)二(0<。<2且a,若/(x)有最小值，则。的取值范围是()

2ax,x>1

3

A.B.c.(oa)uh,|D.

°4°'4。C2

【答案】D

【知识点】判断指数函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、根据分段函数的单调性求参数

【分析】对。分类讨论，利用。的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求

得实数。的取值范围.

［详解］/(l)=a-2+3tz-l=4a-3,

当x=1时，2a1=2a,

若当时，若x)为减函数,此时/(x)Z/(l)=4a-3,

当x>l时，/(X)为增函数,且此时/(x)>2a,要使“X)有最小值,

33

贝I］4a-342a,即2aW3,a<—,则

22

若0<a<l,当xWl时〃x)为减函数,此时/(x)N/(l)=4"3,

当x>2时，〃x)为减函数，且〃x)>0,要使〃x)有最小值，

33

贝lj4Q—3K0,即aW—,贝I]0<QW—.

44

3、3

综上所述，1<。4彳或

24

二实数a的取值范围是[o]。（1,|.

故选：D.

6.若关于x的不等式（加-1）/-加x+机+1>0在当0<掰<1时恒成立，则x的取值范围是（）

A.（-1,1）B.（一叫2]C.[-U]D.（-1,2）

【答案】A

【知识点】函数不等式恒成立问题

【分析】将问题转化为一次函数在区间上的函数值恒大于0,由此求解出结果.

【详解】因为-l）x?—mx+m+l>0=（x?-x+lj/w+l-x2>0,

所以关于根的一次函数了=（--x+l）7〃+l--在0〈掰<1时恒有>>0,

所以只需在加=0,加=1时都有>>。即可，所以IL">Q,2c，解得

[x-x+l+l-x->0

所以x的取值范围是（-1,1）,

故选：A.

7.定义域在R上的奇函数〃x）=7^j.若存在匹一/0,使得/（6对13。）+/卜-8$26）>0成立,

则实数人的取值范围为（）.

A.（2,+<»）B.[j+sjC.（一°°,2）D.

【答案】D

【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、根据函数的单调性解不等式

【分析】由/（。）=0得。=1,由指数函数的性质可得/（x）在R上为减函数，利用函数奇偶性转化不等式,

结合函数单调性可解决问题.

【详解】•••/（X）是定义域在R上的奇函数，

:/⑼=*?=°，解得°=1‘检验得°=1时，〃x）是奇函数，

-2，+12*-1_2*+1-2_1]

2X+1+2-2（2X+1）-2（2工+1）—22*+]，

由指数函数的性质可得/（x）在R上为减函数.

由/(Gsin6cose)+/(左-cos?。)>0得/(V^sin8cose)>-f{k-co^0^=/(一左+cos2。),

兀

V3sin<9COS0<-k+cos26,即存在一'使得左<cos?夕一百sinMcos。，

t己g(e)=cos2。一百sinOcOS。，—；，0，贝U左<g(夕)max，

(n\1+COS28V31.(兀)

g\0)=-------------sin20=——sin20——，

22216j

L4J6L36j

-1,-1,•••g(^)max=1-(-l)=|-

即实数后的取值范围为I]

故选：D.

8.对于函数广/'(x),若存在/,使/-则称点(%,/(%))与点(fJ(fo))是函数“X)

、2+4xx>0

/c的图象存在“隐对称点”，则实数机的取值范围是()

｛mx+2,x<0

A.(0,4-272]B.[4一2"+“)

C.14+20,+。)D.(0,4+272]

【答案】C

【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据二次函数零点的分布求参数的范围、基本不等式求和的最小值、

函数新定义

【分析】由隐对称点的定义可知函数/(x)的图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义可将问题

转化为方程加x+2=-/<0)的零点问题，再结合基本不等式即可求解.

【详解】由隐对称点的定义可知函数/■(x)的图象上存在关于原点对称的点,

设g(x)的图象与函数/(x)=x2+4x(x>0)的图象关于原点对称，

令x<0,则-工>0,所以/(-X)=X2-4X,

所以g(X)=-/(-X)=-X2+4x(x<0),

因为=又〃。)=2一(0)，

[mx+2,x<0

Y2+4%r>0

所以函数7'(x)='c的图象存在“隐对称点”等价于g(x)与“X)在(-叫0)上有交点，即方程

mx+2,x<0

2

mx+2=-x2+4x(x<0)有零点，贝加=一%——+4,

x

又-X-2+422jxx]-2j+4=2血+4,

当且仅当-x=-V,即》=一百等号成立，

X

所以加220+4.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转化为g(x)与/(x)在(-*0)上有交

点的问题，从而求解.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=tan]ox-£|(0>0)图象的相邻两个对称中心之间的距离为5,贝I」()

A.①=4

B.的最小正周期为

C.〃x)的图象向左平移9个单位长度后得到函数g(x)=tan2x的图象

O

D.7(%)的单调递增区间为〒，丁+丁](左GZ)

【答案】BCD

【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切(型)函数的周期、求图象变化前(后)的解析式

【分析】由题设知周期，得。的值，求出函数的解析式，由正切函数的图象性质逐项判断即可.

【详解】对于A、B,因为函数/(》)山]妙-力(0>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为5，

则该函数的最小正周期为T二所以，0=3=2,故A错误，B正确；

1

对于

C,/(x)=tan^2x-^,/(X)的图象向左平移g个单位长度后得到

O

函数g(x)=tan21+1^一(

=tan2x的图象，故C正确；

:万+胃(无可得当一<程+

对*于D,由kji——<2x——<)eZ),/<x

所以“X)的单调递增区间为1y-pT+T^eZ))口正确•

ZoZoJ

故选：BCD.

Y

10.设〃X)的定义域为(0,+8),对任意x>0/>0,都有〃一)=/(x)-〃y),且当X>1时，/(x)<o,又

y

〃；)=2.则()

A."1)=0

B.7(x)在(0,+co)上为增函数；

C.f(xy)=f(x)+f(y)

D./(x)+/(5-x)>-2解集为{x|O<xWl或4Vx<5}

【答案】ACD

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式

【分析】对于A,用赋值法即可求值；对于B,根据增函数的定义证明即可；对于C,对条件进行适当变形

即可得结论；对于D,对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式.

【详解】对于A,令x=y=l,则/(1)=/⑴一/(1)=0,故A正确；

对于B,令0<玉<苫2，则巡>1,/(―)=f(x2)-f(xl)<0,即〃尤,)</(占)，

再x2

所以函数〃X)为减函数，故B错误；

对于C,/(-X)=/(—)=f(xy)-/(y),即“孙)=/(x)+/(y),故C正确；

y

15x-x2

对于D,由/(%)+/(5—x)N—2得到/(x(5—x))+/(a)N0,所以之0=/(I),

-5-XL

4—

于是,x>0,解得0<xVI或4Kx<5,故D正确.

5-x>0

故选：ACD.

9~1<1

11.已知函数/(x)=<,若函数>=/(x)-上有四个零点，从小到大依次为x1，x2,x3,

|10§4(x-1)Lx>1

z,则下列说法正确的是()

A.Ae(0,1]

B.毛+匕的最小值为4

C.玉+工2〉°

D.方程八〃x)]—=0最多有10个不同的实根

【答案】ACD

【知识点】对数的运算性质的应用、根据指对幕函数零点的分布求参数范围、基本不等式求和的最小值、

由指数函数的单调性解不等式

(分析］根据题意结合图象分析可知X1<0<X2<1<X3<2<X4,H.O<AT<|可判断A；根据对数函数性质结

合基本不等式可判断B；根据指数函数性质结合基本不等式可判断C；设加=/(x),则方程/［/(x)］—=0

化为了(〃?)=/,讨论/的取值范围，结合图象分析可判断D.

［详解］令y=/(x)—左=0,则/(》)=左，

可知函数y=/(x)-左的零点即为函数^=/(》)与>=后图象的交点的横坐标，

如图，作出函数y=/(x)的图象，

贝(J玉<0<«1<n3<2<工4，

对于A,由函数7=/(切-后有四个零点知，函数y=/(x)与^=左的图象有四个交点,

所以0〈左4:，故A正确；

2

对于B,因为/(工3)=/(%4)，即配4(工3fl=|1吗(演fl，

且1<<2<，则0</—1<1<%4—1，

可得log4(%3T)+log4(%T)=log4(工3T)(%4T)=0，

即(%3-1)(工4一1)=1，整理得工3工4一工3-工4=。，

即退+工4=三天4W匕豆，解得X3+MN4,

当且仅当w=Z时等号成立，因为三片匕，所以毛+匕>4,故B错误;

对于c,因为/(再)=/(%),即=

I.%1<0<x2<1,则出-l>0,出-l<0,

可得g1_l+gj_l=0,

即已<1,所以再+%N0,

当且仅当玉=%时等号成立，因为占片工2，所以再+%2>0,故C正确;

对于D,方程/'"(x)]一蚱。，gp/[/(x)]=Z,

令加=/(x),则〃加)“注意到了出=1一5，

①若/<0,则方程〃相)=/无实根，即方程"z=〃x)无实根，

故方程/[“司]—=0无实根；

②若，=0,则方程〃加)"有2个不相等的实根。和2,

且/(町=。有2个不相等的实根；

=2有3个不相等的实根；

故方程/'[/(X)]—=0有5个不相等的实根；

③若—*

则方程〃7")=:有4个不相等的实根加1<0<加2<^-<1<W3<2<W4

且/(》)=/无实根；

/(x)=性有4个不相等的实根；

〃x)=%或"X)=啊均有3个不相等的实根;

故方程/'[/(x)]—=0有10个不相等的实根；

(5)^1--<r<—，

22

则方程/(〃7)=/有4个不相等的实根叫<0<；<心2<2<吗，

且“X)=叫无实根；/(x)=顼或"X)=加3或〃x)=%均有3个不相等的实根;

故方程/[/(X)]—=0有9个不相等的实根；

⑤若然；，则方程〃加)=/有3个不相等的实根叫<0<1<?<2〈加4，

且“X)=叫无实根；"X)=%或〃制=%均有3个不相等的实根；

故方程/'[/(x)]—=0有6个不相等的实根；

综上所述：方程/［7（x）］T=O最多有10个不同的实根，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法：

（1）转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式（方程）求解；

（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合/满足｛1,2｝包"$｛1,2,5,6,7｝,则符合条件的集合M有个.

【答案】7

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】由子集及真子集的概念，可转化为求集合｛5,6,7｝真子集的个数即可得解.

【详解】因为｛1,2｝uM$｛1,2,5,6,7｝,

所以V中含有元素1,2,

故符合条件的集合刊个数相当于求集合｛5,6,7｝的真子集个数，

故有23-1=7个，

故答案为：7

13.已知函数/（x）对任意x满足3/（x）-/（2-x）=4x,则.

【答案】无+1

【知识点】已知函数类型求解析式、函数方程组法求解析式

【分析】采用方程组法消去/（2-x）,得出〃x）的解析式即可.

【详解】因为3〃x）-/（2-x）=4x①，以2-x代替x得：

3/（2-x）-/（x）=4（2-x）,@,

②+①x3得:8/（x）=8+8x,/（x）=l+x.

故答案为：x+L

14.甲说：>=111卜2_2办+3）在（-8,1］上单调递减，乙说：存在实数x使得/-2分+1>0在1,2成立，

若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则。的取值范围是

【答案】H0<2｝

【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、根据函数的单调性求参数值、由对数（型）的单调性

求参数

1

【分析】若甲对，根据对数型函数单调性求得14。＜2；若乙对，分析可得太e5,2,xH>2a,结合函

X

数单调性可得取反面,结合集合间的运算求解即可.

【详解】若甲对，则/卜）=/-2"+3在（-叫1］上单调递减，且--2办+3＞0在（-%1］上恒成立,

a>1

则/(l)=4-2a>0，解得

11

若乙对，由12-2ax+l>0,%£5,2,可得Hxw—,2,x+—>2a,

2x

因为g(x)=X+g在内单调递减，在（1,2］内单调递增,

g（2）=g，可知g（x）在I1，2内的最大值为g,

且g

2

5

可得5＞2"，解得a

4

若甲、乙说的均不对，且｛4。＜1或与：的交集为,

若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则。的取值范围｛4\a<2

故答案为：｛4\a<2

【点睛】关键点点睛：取“甲、乙两人至少有一人说的话是对的”的对立面“甲、乙说的均不对“，把问题转化

为集合间的运算求解即可.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

已知集合N={x|ax2-3x+2=0,xeR,aeR}.

（1）若A中只有一个元素，求。的值，并求集合A；

（2）若A中至少有一个元素，求。的取值范围.

9294

【答案】（1）。的值为。或者7,当。=0时，A=;当。=三时，/=

OO

9

⑵—00—

8

【知识点】根据集合中元素的个数求参数

【分析】（1）分。=。和。力0两种情况讨论，当时，A=0解出即可;

（2）方程无解时，且△＜（）,解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得.

【详解】(1)当a=0,集合/={M—3x+2=0

9

当QWO时，A=9—8a=0,解得。=一，此时4

8

99

综上可知，。的值为0或者g,当a=O时,;当。=三时，”=

OO

(2)当集合A中有两个元素时，方程"2-3x+2=0有两个不相等的实数根,

,9

贝！JawO且A=9-8。〉0,解得a<—且〃w0,

8

9

又当A中只有一个兀素时，4=0或。=三，

o

9

故A中至少有一个元素时，。的范围为。《石,

O

9

所以。的取值范围为—00—

8

16.（15分）

已知函数/(x)=3x+印］

⑴证明：函数”X)是奇函数；

(2)用定义证明：函数/(x)在(0,+8)上是增函数.

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断

【分析】(1)根据奇函数的定义证明即可；

(2)根据增函数的定义证明即可.

X

【详解】(1)由函数/(x)=3x+后，可得其定义域为R，关于原点对称,

/

X

又由〃-x）=-3x-3x+=-〃x）,

x|+l

所以函数/(x)为定义域R上的奇函数.

⑵当x«0，+⑹时J（x）=3x+—Y=3川-十1

任取再,%©(°，+00)，且玉<马,

可得〃再)-〃%)=3再+1-±11

-3X2+1———=3(再一再)+

Ix2+lx2+1再+1

X>21

=3（X-X）+-_/——T-

A2'伍+1）（网+1）伍+1）（网+1）

因为国,％e(0,+°°),且再，可得%一芍<0,(x2+l)(x1+l)>0J

所以/(国)-/(%)<。，即/(Xi)</(X2).

所以函数/(x)在(0,+8)上是增函数.

17.(15分)

在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源

汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆.

(1)设从2021年底起经过x年后新能源汽车保有量为了辆，根据以上数据，试从>=夕6%。>0,6>()且bwl)

和〉=elog/(a>0,6>0且6H1)两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋

势，并说明理由，求出新能源汽车保有量,关于x的函数关系式；

(2)2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降2%,若每年新能源

汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有

量.(参考数据：lg2«0.30,lg3«0.48,lg7«0.85)

【答案】(1)应选函数模型是且，理由见解析，y=1500x1|J

(2)2030年底

【知识点】已知函数类型求解析式、对数的运算、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问

题

【分析】(1)由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，所以应该选择指数模型，然后将x=0,y=1500

和x=l,y=2250代入函数中可求出,从而可求得y关于x的函数关系式；

(2)设从2021年底起经过x年后传统能源汽车保有量为冽辆，则有m=50000x(1-2%)，，由题意得

1500xf|j>50000x(1-2%)*,化简后两边取对数可求得结果.

【详解】(1)由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，

因此应该选择指数模型，应选函数模型是月.6=1),

a=1500

=1500解得L3

由题意得

a-b'=2250b=—

I2

3

所以歹二1500x

(2)设从2021年底起经过％年后传统能源汽车保有量为加辆，则有切=50000x(1-2%)”,

令1500x[mj>50000x(l-2%)\

即3x[j>100x(1-2%)，=100x(肃J=100><[1(^

化简得lg3+x(lg3-lg2)>2+x(21g7+lg2-2),

解得、>2+雇工(-21g7

-8.44,

故从2021年底起经过9年后，即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量.

18.(17分)

已知函数"X)=log”x(a>0,aw1).

⑴若去e［l,+s),2/3)=〃x+l),求。的取值范围；

⑵若g(x)=2mx2+/(/)+x-3-〃?在［-1,1］上存在零点，求实数m的取值范围.

【答案】(1)(0,1川(1,亚］

(2)u［l,+co)

【知识点】根据零点求函数解析式中的参数、根据函数零点的个数求参数范围

【分析】(1)将问题转化为方程/=《+▲在xe［l,+S)上有解，令进而利用二次函数的

性质求解即可；

(2)分析易得加/0,将问题转化为一7=5(、-3)+汇f+3在上有解，令

Z=2x-3(-5<Z<-l),进而利用对勾函数性质求解即可.

【详解】(1)由2/(ax)=/(x+l),xe[l,+oo),a>0,a^l,

得210g.(ax)=k>g.(x+l),则小2=》+1,即/=3+工,

则问题转化为方程/=4+L在Xe［1,+C0)上有解，

XX

令工=《0</41),则y=/;(/)=/+/,

因为函数力(。在(0,1］上单调递增，且为0)=0,%(1)=2,

,11

所以要使方程/=F+—在xe[l,+如上有解,

X"X

0<a2<2

则<a>0,解得0<a(收且"1，

QW1

所以a的取值范围为(O4)U(l,亚］.

(2)g(x)=2mx2++x-3-m=2mx2+2x-3-m,

令g(x)-2mxi+2x-3-m=0,BPm(^2x2-1)=3-2x,

当机=0时，方程为0=3-2x,解得工二,式-1,1],不符合题意,

则加。0,若2%2_I=O,则X=±Y1,此时方程显然不成立，

2

2

贝|)2/一iwo,整理方程为—_1L=*?r-_1L,

m2x-3

i7

-(2x-3)9+3(2x-3)+-

又2x2-1i7

=-(2x-3)+—-----7+3,

2x-32x-32V72(2x-3)

17

设尸5(2X-3)+^^+3,xe[-l,l]

i7

4f=2x-3(-5<f<-l),贝I]、=M⑺=于+加+3,

因为函数”(/)在卜5,-5)上单调递增，在卜疗，-1)上单调递减,

且“(-5)=-g,u(-V7)=3-V7,M(-1)=-1,

所以贝|J-5e[-1,3—近],又?.0,

(_3_k

解得加e-00,--—U[l,+co).

19.(17分)

定义域为R的函数〃(x)满足：对任意xeR,都有〃(x+2兀)=〃卜)+//(2兀)，则称域x)具有性质尸.

⑴分别判断以下两个函数是否具有性质P：7"(x)=2x-l