2024-2025学年人教版八年级上册数学期末专项训练：根据三线合一的证明题

第十三章根据三线合一的证明题一2024-2025学年人教版八年

级上册数学期末专题训练

1.如图，ZA=ZD=90°,AC=DB,AC和8。相交于点E,/3EC的平分线交于点

F.求证：EFJ.BC.

2.如图，在VA3C中，点。、E在边BC上，BD=CE,AD=AE.求证：AB=AC.

BC

DE

3.如图，在VABC中，8。平分/ABC,E是BD上一点,EA±AB,且EB=EC.

⑴如果NBCE=20。，则4®的度数为

(2)探究BC与4B的数量关系，并说明理由.

4.如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,以AC为边作AACD,使得AD=AC,E为边BC上

一点，连接AE,DE,S.ZBAE=^ZCAD.

若CD〃AB,求证：AE±AD.

5.如图：在VABC中，A8的垂直平分线跖交BC于点E,交A8于点/，£＞为线段CE的

中点，BE=AC.

(1)求证：AD.LBC-,

⑵若5=35。，求NC的度数.

6.如图，在VABC中，分别以点A和点3为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于

2

点M和点N,作直线"N交CB于点。，连接，若AC=8,BC=15.

⑴求AACZ)的周长；

(2)在下方取点K,以。为圆心OK为半径画弧，交A3于点E和点尸，求证：AE=BF.

7.如图，已知VABC,A£＞是NB4C的角平分线，DEJ.AB于点、E,OF1AC于点日连

接跖交AD于点G.

⑴求证：垂直平分E尸；

(2)若AB+AC=18,DE=3,则VABC的面积为

8.如图，点C在线段AB上，AD〃EB,AC=BE,AD=BC,CP平分/DCE.求证：CF1.DE.

9.如图.已知VABC中，NACB=90。，点。是边AB上一点.连结CD,过点£)作DE人C。,

交BC于点、E,且有AC=AT>=CE.求证:

(1)ZACD=ZCED；

Q)CD=2DE.

10.如图，在VABC中，平分ZA4C,BD=CD,DEJ.AB于点、E,DP1AC于点P,

⑴求证：ZB=ZC；

⑵求证：AD-LBC.

11.在VABC中，AB=BC,BE平分工ABC,C£)_LAB于。，CE>=3D,点H是BC边的

中点，连接£），，交BE于点、G,连接CG.

⑴求证：CE=：BF；

⑵求NFG。的度数.

12.如图，已知：ZC+ZD=180°,Z1=Z2,-3=/4.求证:AD+BC=AB.

13.已知，如图=ZB=ZE,BC=ED,窃平分184石，求证：AF±CD.

14.如图，在VABC中，ZACB=9Q°,CD_LAB于。，点E为CB上一点，S.CE=AC,

EFJ.CD,垂足为尸，连接AE.

⑵点G为AE上一点，连接GD、GF,若Nl=45。，求证：GD±GF.

15.在VABC中，AB=AC,点。在2C上，点E在AD上，连接BE,CE,BE=CE.

AA

图2

(1)如图1,求证：4。平分/54C；

(2汝口图2,过点E作EF_LTW,EGLAC,在不添加其他辅助线的情况下，请直接写出图2

中四对的全等的直角三角形.

16.如图，在VABC中，AB=AC,4。平分NBAC,点G是54延长线一点，点尸是AC

上一点，AG=AF,连接G/并延长交BC于点E,求证：GE±BC.

17.如图，在VABC中，AB=AC,过BC的中点。作DEIAB,DFJ.AC,垂足分别为E、

F.

A

(1)求证：DE=DF；

⑵若NBDE=55°,求^BAC的度数.

18.在RtAABC中，AB=AC,/。历=45。且/。跖的顶点石在边261上移动，在移动过

(2)当E为BC中点时，连接求证：NC=AM+MN

19.如图，在VABC中，AD±BC,垂足为。，AC的垂直平分线交BC于点E,交AC于

点、F,AE=AB.

A

⑴若NC=40。，求NfiAE的度数；

⑵若CD=5,CF=4,求VA3C的周长.

20.已知，VABC和VADE均为等腰直角三角形,连接交于点G.

(D如图1,求证：BDLCE；

(2)如图2,当点C,D,E在同一条直线上时，求NADC的度数；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接BE,F为BE上一点,连接"，若

ZFAD=135°,BE=BC,AF=2,求8。的长.

参考答案:

1.证明见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，先证明

RtAABC^RtADCB(HL),得ZACB=NDBC,根据等角对等边得EB=EC,再根据等腰

三角形三线合一的性质即可得证.解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质：等腰三角

形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”.

【详解】证明：：NA=ND=90。，

VABC和4DCB是RtA,

在RtZXABC和RtADCB中,

[AC^DB

[BC=CB，

RtAABC^RtADCB(HL),

ZACB=ZDBC,

：.EB=EC,

,/EF平分NBEC,

EP是BC边上的高，

EFIBC.

2.见解析

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作AFIBC于点R，由等腰三角形的性质

可得DF=EF,再求出3B=CF,即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题

的关键.

【详解】证明：作AF/BC于点F,

,:BD=CE,

:.BD+DF=CE+EF,BPBF=CF,

QAF1BC,

AB=AC.

3.(1)70°

(2)BC=2ABf理由见详解

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到N£C5=NEBC=20。，根据角平分线的定义求出

/EBC=20。,根据三角形内角和计算，得到答案；

(2)作EFJ.BC于F,根据等腰三角形的性质得到5C=2FB,证明,

根据全等三角形的性质可得结论.

【详解】(1)解：-,'EB=EC,

ZECB=ZEBC=20°,

•・・比＞平分/ABC,

,\ZEBC=ZABE=20°f

EALAB,即N历场=90。，

/.ZAEB=90°-20°=70°,

故答案为：70°.

(2)解：BC=2AB.

证明：过点石作E尸15。于点尸，

Q平分ZABC,EA.LAB,

,\EA=EF,

在RtAABE和RUFBE中,

EA=EF

EB=EB

RtAABE^RtAfBE（//L）,

二.AB=FB,

QEB=EC,EFLBC,

:.BC=2FB,

:.BC=2AB.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理,

角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键.

4.见解析

【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质

是解题的关键.过点A作㈤0，CD交CD于点证明ZDAM=ZBAE.得到ZBAM=90°,

贝UNB4E+/M4E=NZMA/+NM4E=90。，即可得到结论；

【详解】证明：如图1,过点A作AM_LCD交C。于点

•/AD=AC,

ZDAM=-ZCAD.

2

ZBAE=-ZCAD,

2

ZDAM=ZBAE.

VCD//AB,AMLCD,

：./BAM=90。，

ZBAE+ZMAE=ZDAM+ZMAE=90°,即AE_LAD.

5.(1)见解析

(2)ZC=70°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角

形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键.

(1)连接AE,利用线段垂直平分线的性质证得/场=疫，再根据等腰三角形的三线合一

性质即可求证结论；

(2)由三角形的外角的性质可得ZAEC=2ZB,进而得到NC.

【详解】(1)证明：连接AE,

A

".'AB的垂直平分线EF交BC于点、E,

/.AE=BE,

BE=AC,

：.AE=AC,

为线段CE的中点，

ADJ.BC.

(2)解：=

：.^BAE=^B=35°,

：./AEC=2/B=70。，

■.■AE=AC,

:.ZC=ZAEC=2ZB=70°.

6.(1)23

(2)见解析

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的

性质，掌握“线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键.

(1)由作图可得：跖V是的垂直平分线，可得再利用三角形的周长公式进

行计算即可；

(2)由是A8的垂直平分线，可得AO=BO,由作图知利用等

腰三角形的性质得到EO=FO,据此计算即可证明结论成立.

【详解】(1)解：由作图可得：是的垂直平分线，

DA=DB,

•.AC=8,BC=15f

\CVACD=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=8+15=23；

(2)证明：如图,

•/MN是AB的垂直平分线，

/.DOLAB,AO=BO,

由作图知，DE=DF,

•/DOIAB,

：.EO=FO,

：.AO—EO=BO—FO,

：.AE=BF.

7.⑴见解析

(2)27

【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质.掌握角平分线上的点到

角两边的距离相等是解题关键.

(1)由角平分线的性质定理可得出=结合题意可证RMD4£2RSZM/(HL),即

得出从而由等腰三角形“三线合一”的性质可证AD垂直平分斯；

(2)根据5，诙=久板＞+5小力，SLABD=^ABDE,S^ACD=^AC-DF,据此求解即可•

【详解】(1)证明：:AD是/R4C的角平分线，DEJ.AB,DF1AC,

:.DE=DF.

・.•AD=AD,

RtAZM£=RtAZMF(HL),

AE=AF.

：.AGLEF,EG=FG,即垂直平分跖；

(2)解：由(1)可知。£尸=3.

*.*^,ABC=S“ABD+S，SABD=—A3,DE,SACD=—AC,DF,

S=-AB-DE+-AC-DF=-（AB+AC}xDE=-xl8x3=21.

-AABRCr222V72

故答案为：27.

8.证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三线合一定理，根据平

行线性质得出NA=NB,根据SAS证△ACD丝△3EC,推出OC=CE,再根据等腰三角形

的三线合一定理证明即可.

【详解】证明；：/⑦,仍，

:.ZA=ZB.

在AACD和V3EC中

AD=BC

<NA=NB,

AC=BE

：.AACD^ABEC（SAS）,

:.DC=CE

•:CF平分/DCE,

:.CFLDE.

9.⑴见解析

（2）见解析

【分析】本题考查全等三角形判定及性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，这些知识

点的掌握是正确解题的关键.

（1）由垂直的定义得到NCDE=90。，再根据NACB=90。，结合直角三角形的性质即可证

明结论；

（2）取CD的中点F,连结Ab,则由等腰三角形的性质得到

ZAFC=NCDE=90。,由（1）知/ACD=/CED；证明“CF丝ACED（AAS）,即可证明结

论.

【详解】（1）证明：VZACB=90°,

：.ZACD+ZBCD=90°,

,：DELCD,

NCDE=90。,

・•・/CED+/BCD=9伊,

：.ZACD=ZCED；

(2)证明：取CD的中点R连结AF,则C9=DP=La>,

2

:.ZAFC=ZCDE=90°,

由(1)知NACD=/CED；

•/AC=CE,

..△ACWACED(AAS),

:.CF=ED,

：.CD=2DE.

10.(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】此题主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的判定以及等腰三角形的性质，

(1)首先根据角平分线的性质可得OE=DF,又有3D=8,可证RtABDE^RtACDF(HL),

即可得证NB=NC.

(2)根据等腰三角形三线合一即可得出结论

【详解】(1)解：:AD平分NR4C,DEJ.AB,DF1AC,

：,DE=DF,ZBED=ZCFD=90°,

•。是BC的中点，

:.BD=CD

在RQBDE和RSCDF中

.DE=DF,

DB=DC,

RtABDE^RtACDF(HL)

;.NB=NC

(2)由(1)得NB=NC

AB=AC

三角形7ABe为等腰三角形

平分4AC,

AD.LBC

11.⑴见解析

(2)67.5°

【分析】(1)由等腰三角形的性质得8ELAC,再证NACDuNABEnNEB。，然后利用ASA

证明AADC/AFD3,^AC=FB,由等腰三角形的性质得AE=CE,得CE=gAC,即可

得出结论；

(2)由等腰三角形的性质得ABC=45。，DHLBC,则4"G=90。，再由直角三角形的

性质得NFG。的度数.

【详解】(1)证明：：•二台。，郎平分，ABC,

/.BEVAC,

:CD1AB,

：.ZCAD+ZACD=90°,ZCAD+ZABE=90°,

：.ZACD=ZABE=ZFBD,

在△AOC和出中，

'4ADC=ZFDB

<CD=BD,

ZACD=ZFBD

：.AADC四△尸Z阳(ASA)

AC=FB,

VAB=BC,BE平分/ABC,

：.AE=CE,

：.CE=-AC,

2

：.CE=-BF；

2

(2)解：CDAB,

：.NBDC=90。,

,?CD=BD,

，△BCD是等腰三角形，

，/ABC=45。，

•/5E平分/ABC,

ZCBE=-ZABC=22.5°,

2

,:CD=BD,点H是3C边的中点，

，DHIBC,

：.ZBHG=90°,

ZBGH=90°-NCBE=90°-22.5°=67.5°,

ZFGD=ZBGH=67.5°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知

识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

12.见解析

【分析】延长BE交AD的延长线于点首先根据平行线的性质和判定得到NM=N4,然

后结合N1=N2,N3=/4,得到/M=/3,求出=AEJ.BM,然后利用等腰三

角形三线合一性质得到=然后证明出ABCE/ASA),得到BCu/W,进

而求解即可.

【详解】证明：如图，延长BE交AD的延长线于点

BC//AD,

:.ZM=Z4,Z3+Z4+Zl+Z2=180°,

VZ1=Z2,N3=/4,

ZM=Z3,Z2+Z3=90°,

:.AB=AM,AEJ.BM,

:.BE=EM,

又N4=ZM,ADEM=/CEB,

.\ABCE^AMDE(ASA),

:.BC=DM,

:.AD+BC=AD+DM=AM=AB.

:.AD+BC=AB.

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，平行线的性质和

判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点.

13.证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一，先证明

△ABC丝AAE/YSAS),得到AC=AD,根据三线合一即可得到AF±CD.

【详解】证明：如图，连接AC,AD,

CFD

'：AB=AE,NB=/E,BC=ED,

：.AABC^AAED(SAS),

/.AC=AD,NBAC=NEAD,

,/AF平分N54E,

ZBAF=ZEAF,

：.NBAF-ABAC=ZEAF-ZEAD,即ZCAF=ZDAF,

：.AFI.CD.

14.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三线合一：

(1)证明AADC=ACFE,即可得证；

(2)取AE的中点H,连接FH,DH,证明△47。段《7小，进而得到NCH尸=NAHD,

FH=DH,推出NFHD=90。，ZDFH=45°,进而得到=得到G,“两点重合,

得到NFGD=90。，即可得证.

【详解】(1)证明：VCP1AB,EF1CD,

：.ZADC=ZEFC=90°,

:・NECF+NCEF=9伊,

9

：ZACB=90°f

：.Z4CD+N瓦方=90。，

/.ZACD=ZCEFf

又,.・C£=AC,

：.AADC'CFE,

：.AD=CF；

(2)证明：取AE的中点H,连接FH,DH,贝!J：AH=EH,

VAC=CE,ZACB=90°,

ZCAE=ZCEA=45°,CH_LA及S平分/ACE,

...ZCHA=90°,ZACH=ZECH=45°=/CAE=ZCEA,

:・AH=CH,

•；AADC'CFE,

:.NCAD=NECF,

：.ZCAD-ZCAE=ZECF-ZHCEf即：/HAD=/HCF,

又，：CF=AD,

:・△AHDQCHF,

：・NCHF=ZAHD,FH=DH,

:・NCHF+ZAHF=ZAHD+ZAHF,即：ZFHD=ZCGA=90°f

:./DFH=/FDH=45。,

ZDFG=Z1=45°=ZDFH,且H,G都在A石上，

・••点”,G重合，

・•・ZFGD=90°,

.GD±GF.

15.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、等腰三角形的性质,

熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

(1)利用SSS证明ZWE丝"支得出ZaW=NC4Z),即可得证；

(2)由角平分线的性质定理得出EF=EG,即可证明Rt△但丝RtAAEG(HL),

RGBEF/RtACEG(HL),由等腰三角形的性质得出AD工3C,即可证明

RtAA5D^RtAACr>(HL),RtA£BD^RtAECD(HL).

【详解】(1)证明：在4WE和“久中，

AB=AC

<AE=AE,

BE=CE

/.AABE丝AACE(SSS),

?.ABAE=ACAE,即NA4T>=NCW,

/.AD平分NA4C；

(2)解：由(1)可得：A£>平分/BAC,

•：EF1AB,EGLAC,

：.EF=EG,

在RtAAEF和RtAAEG中，

(EF=EG

[AE=AE"

：.RtAAEF^RtAAEG(HL),

在RtABEF和RtACEG中，

JEF=EG

\BE=CE'

:.RtAJBEF^RtACEG(HL)；

VAB=AC,AD平分NBAC,

・•・AD±BC,

在RtAABD和RtAACr)中，

AD=AD

AB=AC

：.RtAAB£>^RtAACD(HL)；

在RtAEBD和RtAECD中,

ED=ED

AB=AC'

：.RtA£BD^RtAECD(HL).

16.见解析

【分析】本题考查三线合一，三角形的内角和定理，三线合一得到AD23C,平角结合三

角形的内角和定理，以及角平分线的定义，得到4MD=NG,得到AD〃GE,即可得出结

论.

【详解】解：：AB=AC,4。平分ZBAC,

：.ADJ.BC,ABAD=ACAD,

•/AG=AF,

NG=ZAFG=1(180°-ZE4G)

ABAC=1800-AFAG,

/BAD=ZCAD=)(180。-ZFAG)

：.ABAD=AG,

：.AD//GE,

：.GE1BC.

17.(1)见解析

(2)110度

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰

三角形“三线合一”，“等边对等角“，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和

是180度，是解题的关键.

(1)连接力D,根据“三线合一”得出AD平分N2MC,再根据角平分线的性质定理，即可求

证;

(2)先根据直角三角形两个锐角互余得出乙？=35。，再根据“等边对等角”得出

NC=NB=35。,最后根据三角形的内角和定理，即可求解.

【详解】(1)证明：连接2D,

■：AB=AC,。是8C的中点,

.〔AD平分"4C,

-.DE±AB,DF1AC,

:.DE=DF.

(2)解：-：DELAB,

:"BED=90。，

-.■ZBDE=55°,

：.ZB=35°,

■,AB=AC,

,-.ZC=ZB=35°,

ABAC=110°.

18.(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，

(1)根据等腰直角三角形的性质可得4BE=N£CN=45。，利用三角形外角的性质与等量

代换可得NA4£=NCEN,在根据全等三角形的判定即可证明；

(2)连接AE,在AC上截取AM=CG,根据等腰直角三角形的性质可得短=EC,

ZMAE=ACAE=ZACE=45°,证得△4WE刍ACGE(5AS),可得ME=GE,NMEA=NGEC,

利用等量代换可得NMEN=NGEN=45。，证得AMEN丝AGEN(S4S),可得MN=GN,即

可得证.

【详解】(1)证明：VAB=AC,ZBAC=90°,

：.ZABE=ZECN=45°,

•/ZAEC=ZAEN+ZCEN=45°+ZCEN,

又：ZAEC=ZABE+ZBAE=45°+ZBAE,

:./BAE=/CEN,

又•：BE=CN,

・・..ABE%ECN(AAS)；

(2)证明：连接AE,在AC上截取AM=CG,

VAB=AC,ABAC=90°fE为5C中点，

；・AELBC,AE=EC,

：.ZMAE=ZCAE=ZACE=45°,

在AAME■和△CGE中，

AM=CG

</MAE=NGCE,

AE=CE

：.^AME^CGE(SAS),

：.ME=GE,NMEA=NGEC,

,/ZAEG+ZGEC=90°,

：.ZMEA+ZAEG=90°,即ZMEG=90。，

VZD£F=45°,

ZMEN=ZGEN=45°,

又•：NE=NE,ME=GE,

:・4MENAGEN(SAS),

・•・MN=GN,

•・・CN=CG+GN,

：.CN=AM+MN.

19.的度数为20。

(2)VABC的周长为18

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据

题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键.

(1)先利用线段垂直平分线的性质可得E4=EC,从而可得NC=NC4E=40。，然后利用

三角形的外角性质可得ZAEB=80°,从而利用等腰三角形的性质可得ZAEB=NB=80°,

最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；

(2)先利用线段垂直平分线的性质可得AC=2CF=8,然后利用等腰三角形的三线合一性

质可得DE=BD,再利用等量代换可得CE=AB,最后利用线段的和差关系以及三角形的周

长公式进行计算，即可解答.

【详解】(1)解：:班是AC的垂直平分线，

/.EA=EC,

.\ZC=ZCAE=4O°f

NAEB是ZXACE的一个外角，