2024-2025学年陕西省汉中市高三年级上册期中数学试题及答案

大市联考卷（三）

数学

满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

z

1.己知复数z=2+i,则一==（)

z—z

1.1.

C.—FiD.----Fi

22

2.已知命题?：VxeR,ex\..1,命题Inx=-（x-1）2,则（）

A.2和q都是真命题B.-和q都是真命题

C.2和-都是真命题D.-和-都是真命题

3.己知N为全集。的非空真子集，且N不相等，若（dM）UN=U,则（）

A.N=MB.MUN=N=0D.MU（Q；^）=[/

4.已知/（x）=（x+a）cosx为奇函数，则曲线y=/（x）在点（肛/（乃））处的切线方程为（）

A.x+»y—乃=0B.x-7ry+»=0C.x-y+7i=0D.x+y=0

5.法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式.“奥林匹克之父”

顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是拼搏.为弘扬

奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，

在高一年级随机抽取1。名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表

中的样本数据：

男生82858687889090929496

女生82848587878788889092

则下列说法错误的是（）

A.男生样本数据的25%分位数是86

B.男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数

C.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变

D.女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变

6.已知。是A4BC所在平面内一点，且2疝5=砺+反，若〃=2万+〃衣，则4+〃=（）

7.己知体积为46兀的球0与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为473.则该正

四棱锥体积是()

1287380#)

A.------B.43V3C.96百

3

8.已知双曲线—不=1,在双曲线C上任意一点P处作双曲线。的切线(马〉O,yp〉0),交C在第

一、四象限的渐近线分别干Z,8两点.当=2时.该双曲线的离心率为()

A.V17B.3V2C.V19D.2A/5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数列｛%｝的通项公式为%=(〃+2)［。］,则下列说法正确的是()

A.aA是数列［an｝的最小项B.%是数列｛a,,｝的最大项

C.%是数列｛%｝的最大项D.当“25时，数列｛%｝单调递减

10.已知抛物线=2px(2>0)的焦点为尸，其准线与x轴交于点过点/作斜率为左的直线/与C

交于NG2,%)两点•若直线〉=e(％-1)经过点尸，则()

A.p=2B.xrx2-1

C.|^|>1口.|四『+|月开的取值范围是(8,+00)

11.若函数/(COSX)=1-COS〃X,72GZ,则下列说法正确的是()

A.若〃=2,则函数/(力的最大值为2

B.若〃=3,则函数/(x)为奇函数

C.存在〃EZ,使得了(sinx)=1-sin〃x

D.若/(sinx)+/(cosx)=2,则〃=4后+2,keZ

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知sin(a-7?)=，，"吧=4,则sin(a+〃)=_______.

3tan分

13.记为等比数列｛%｝的前〃项和，若a2a5=2，^a4=4,贝!J£=.

14.以maxAf(minM)表示数集V中最大(小)的数.设a〉0,b>0,c>0,已知/c+b2c=],则

min〈max〈一】，一，一}}=

•JJ[abicfj

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

DI

15.(13分)AA3C的内角4,B,。所对的边分别为。，b,c,a=6,加in----=asinB.

2

(1)求角/的大小；

(2)〃r为A4BC的重心，的延长线交5c于点。，且AM=26,求AA8C的面积.

16.(15分)已知四棱柱/BCD—44GQ中，底面为梯形，AB//CD,42，平面幺8。),

40J.48其中4B=Z4=2,40=DC=1.N是4G的中点，M是的中点.

(1)求证：RN//平面

(2)求平面CAM与平面的夹角余弦值.

V2V2

17.(15分)己知椭圆C：/+R=l(a>b>0)的左、右焦点分别为片，鸟，点河(2,1)在。上,

过点初作两条斜率互为相反数的直线，分别交C于不同的两点Z,B.

MFCMF2=-\,

(1)求C的标准方程；

(2)证明：直线4B的斜率为定值，并求出该值.

18.(17分)已知函数g(x)=21n(-x-l)+cos(-x-2).

(1)函数/(x)与g(x)的图象关于x=-1对称，求/(x)的解析式；

(2)—lWax在定义域内恒成立，求。的值；

(3)求证：V|<ln4,〃eN*.

晨2)

19.(17分)有编号为1,2,…，〃的〃个空盒子(〃22,〃eN),另有编号为1,2,…，左的左个球

(2<k<n,左eN)将左个球分别放入〃个盒子中，每个盒子最多放入一个球.放球时，先将1号球随机

放入〃个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应

的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空

盒子中的其中一个.记k号球能放入k号盒子的概率为尸(〃,k).

(1)求P(3,3)；

(2)当“23时，求尸

(3)求尸(〃,女).

大市联考卷(三)

数学答案

1.A［命题立意］本题考查复数代数形式的加法运算，复数的除法运算，共轨复数的概念及计算，意在考查数

学运算等学科素养.

2.C［命题立意］本题考查判断全称量词命题的真假，判断存在量词命题的真假，全称量词命题的否定及其真

假判断，存在量词命题的否定及其真假判断，意在考查逻辑推理等学科素养.

［解题思路］对于命题夕，因为炉》0,所以产21,所以命题?为真命题，「0为假命题；对于命题q,

当x〉l时，—(x—l)2<0,lnx>0,lnx=—(x—不成立，所以命题q为假命题，「q为真命题.故选C

3.B［命题立意］本题考查判断两个集合的包含关系，交并补混合运算，利用Venn图求集合，意在考查数形结

合等学科素养.

［解题思路］因为(6M)UN=。，等价于=等价于MqN,且N不相等，可知集合河

是集合N的真子集，故A错误；且“UN=N,故B正确；据此作出韦恩图，

可知(Q")nNw0,MU(dN)wU,故CD错误.

故选B.

4.D［命题立意］本题考查求在曲线上一点处的切线方程(斜率)，基本初等函数的导数公式，导数的运算法则,

由奇偶性求参数，意在考查数学运算等学科素养.

［解题思路］因为/(x)=(x+a)cosx为奇函数，且定义域为R,所以/(0)=0,即

/(0)=(0+a)cos0=0=>a=0,所以/(x)=xcosx,经检验符合题意，则/'(x)=cosx-xsiiu,曲线

y=/(x)在点(肛/(乃))处的切线斜率为左=/'(乃)=cos乃—》sin乃=一1,又/(7)=乃cos»=-»,所

以曲线y=/(x)在点(肛/(乃))处的切线方程为y-(-7)=-lx(x-»),即x+y=0.故选D.

5.D［命题立意］本题考查计算几个数的中位数、平均数、极差、方差，总体百分位数的估计，意在考查数据

分析等学科素养.

［解题思路］10x25%=2.5,所以男生样本数据的25%分位数是86,故A正确；男生样本数据的中位数为

QQ।(J。

———=89,男生样本数据的众数为90,故B正确；女生样本数据的平均数为

'x(82+84+85+87x3+88x2+90+92)=87,女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得

数据的平均数为gx(84+85+87x3+88x2+90)=87,故C正确；女生样本数据中去掉一个最高分和一

个最低分后所得数据的平均数不变，但是极差变小，所以方差变小，故D错误.故选D.

6.C［命题立意］本题考查平面向量的混合运算，利用平面向量基本定理求参数，意在考查转化与化归等学科

素养.

［解题思路］因为2/0=08+0。，所以240—204=08—CM+OC—CM,即4/O=A8+4C,即

----*1----*1----*----、----*----*----*----►1

A0=-AB+-AC,又A0=24B”AC,AB,NC不共线，所以《,所以；1+〃=—.故选C

44k?2

7.A［命题立意］本题考查球的体积的有关计算，多面体与球体内切外接问题，意在考查数形结合、直观想象

等学科素养.

［解题思路］设正四棱锥P-4BCD的内切球的半径为R,笈为底面中心，由体积为=g乃&得

R=6,连接尸77,ABCD,球心。在7W上，OH=R,取CD的中点尸，连接班

PF,设。点在侧面尸上的投影为。点，则0点在P尸上，且尸尸，APOQ~APFH,设球心

到四棱锥顶点的距离为力，所以£2=£Y解得力=拽，所以

0QFHV32733

展;S四边物BC/H=；x4百xx容=粤।.故选A.

8.A［命题立意］本题考查求直线交点坐标，己知双曲线的方程求双曲线的渐近线，求双曲线的离心率或离心

率的取值范围，意在考查数形结合、转化与化归、数学运算等学科素养.

［解题思路］如图，设双曲线C在点尸处的切线为/,切线/与x轴交于点。，

2___________h2X

根据题意点？在双曲线第一象限，由/-与=1,得＞=夜e万，所以了=,则在点

2所以在点尸(马,力)的切线方程为XpX-爷=1,令

P(XpJp)的切线斜率为左=J；.

y=0,#x=—,所以点。—,0，设点Z(Xi，yJ,5(苫2，%),渐近线方程为J=±bx,联立

%IXP)

x

y=bx,l二，人人2、（卜72、

解得<所以点4--------------，同理可得5--------，——

yPy）

XPX--辱^bxp-ypbxp-yp\bxP^yPbxp+yp

%二

bbb2-b2

-------------1-------------VY

xx

又bxp一孙'p+力P-yp—p+yP=所以点尸是线段48的中点，所以

2P2P

（22、

340«=2&。力=4,即得3。。「民—%|=4，即人><——+——=4，解得分=4.又/=1,

22Xp{bxp-ypbxp+yp）

所以。2=1+16=17,即。=&7,所以双曲线的离心率6=9=J17.故选A.

a

9.BCD［命题立意］本题考查判断数列的增减性，确定数列中的最大(小)项，意在考查数学运算等学科素养.

［解题思路］设第〃项为｛%｝的最大项，贝U""」

U，2%+1，

〃+2）［。［“〃+3）•出

〃V5,

所以

77>4,

又〃EN*,所以〃=4或〃=5,

£5

故数列｛4｝中为与%均为最大项，且%=%=了，当时，数列｛%｝单调递减，故BCD正确;

当"趋向正无穷大时，an=(/7+2)J|j无限趋向于0且大于0,且q=T〉0,所以为不是数列｛%｝的

最小项，且数列｛%｝无最小值，故A错误.故选BCD.

10.ABD［命题立意］本题考查抛物线中的参数范围问题，直线与抛物线交点相关问题，根据韦达定理求参数,

意在考查数形结合、数学运算等学科素养.

［解题思路］因为抛物线C：/=2px(p>0)的焦点为产，且直线y=G(x—1)经过点尸，所以尸(1,0),

则K=l,解得：p=2,故A正确；

2

所以抛物线方程为：/=4x,贝设过点/作斜率为左的直线/的方程为：y=kx+k,联立

「=缶消去了可得左2必+0后2一4卜+左2=o,显然左。0,A=Qk2_41—4左4=16—16左2〉0,

y—kx+k,

2左2-4

解得—1＜左＜0或0＜左＜1,故C错误；由韦达定理可得：X]+工2=----2--，x^x2—1，故B正确；因

为|FA/[=X]+],|7W|=X2+1,所以+|m|2=#+考+2(/+/)+2=(/+12)2

+2(%+%)—2再12+2=—2]，令t=,贝U，£(4,+8),贝U

—2]=/e—2)=(/—1『_1〉(4_1『_1=8,所以I四「+怛N『的取值范围是(8,+8),故D正

确.故选ABD.

11.ACD[命题立意]本题考查已知/(g(x))求解析式，函数奇偶性的定义与判断，求含sinx(型)函数的值

域和最值，三角恒等变换的化简问题.意在考查转化与化归、知识迁移与创新应用等学科素养.

[解题思路]因为cosxe[—l,l],可知/(x)的定义域为[—1,1],当〃=2时，

f(cosx)=1-cos2x=2-2COS2X,可得/(x)=2-2x2＜2,xG[-1,1]，当且仅当x=0时，等号成立,

jr

所以函数/(x)的最大值为2,故A正确；当〃=3时，则/(cosx)=l—cos3x,令x=,，贝。

jr37Z"

cos-=cos-y=0,可得/(o)=lwo,所以函数/(X)不为奇函数，故B错误；当〃=1时，

f(cosx)=1-cosx,则/(x)=l-x,x€[-1,1]，且对任意XER,sinxG[-1,1]，所以/(sinx)=l-

sinx,故C正确；因为/(sinx)=/cos2一%=l-cos«—-x=l-cosnx--,若

rurn7i

f(sinx)+f(cosx)=1一cosnx--+--1-COS77X=2,可得COSnx--=---COS72X=

22

cos(nx—2k兀一兀),keZ,则——=2左万+»,keZ,解得〃=4左+2,左£Z，故D正确.故选ACD.

12.［命题立意］本题考查三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系，用和、差角的正弦公式化简、求

值，意在考查数学运算等学科素养.

［解题思路］由sin(a—/)=±购吧=4,

3tan分

sinacos£-cosasin/=—,

得13

sinacos£=4cosasin四

41

解得sinacos£=—,cos“sin£=—,

所以sin(a+0)=sinorcos/7+cos6zsin/?=：.

［答案《

13」命题立意］本题考查等比数列通项公式的基本量计算，等比数列的性质及应用，求等比数列前〃项和，意

在考查数学运算等学科素养.

［解题思路］因为。2=2，所以。2=。3=2，又因为。1%=4，所以的=2，a4=l,从而

8xf1——j

q=g,又％=%夕2=2,所以q=8,所以$6=-------p—=16x1］一王63

T

1-2

14.［命题立意］本题考查基本不等式求和的最小值，意在考查逻辑推理、转化与化归等学科素养.

,。991fill］11

［解题思路］由/c+b2c=1,得/+〃=_,设max上；」=〃，则M2—,M>-,

c\abc\ab

M>-=a-+b2>2ab,由3"=2西•西+“22•二+=口+义

cyja［bslabNab

1

当且仅当a=b=c=时，取等号，所以

w

［答案］次

15.［命题立意］本题考查二倍角的正弦公式，正弦定理边角互化的应用，三角形面积公式及其应用，余弦定理

解三角形，意在考查数形结合、数学运算等学科素养.

［解］(1)在A48c中，因为加in"C=bsin(二—W］=bcosa=asin8,由正弦定理可得

/AA.AA

siaScos一=siiL4siriS,♦:金<B<兀，/.sinBwO,即cos—=siib4,所以cos-=2sin—cos一,

22

(2)因为〃为A43C的重心，的延长线交8C于点。，且=所以点。为8C中点，且

122_z-2］

AD=3y/3,在AA8C中，a=6,cosA=————=-,即be=〃+c?—36,在AXB。和ZUS

中，cosN4DB="+BD-t=—COSN4DC=-AL>式"-',化简得〃=72,所以

2AD-BD2ADCD

be=b2+c2-36=12-36=36,故S会=—besinA=—x36xsin—=9^/3,所以A43c的面积为

9A/3.

16.［命题立意］本题考查证明线面平行，面面角的向量求法，意在考查数形结合、直观想象、逻辑推理等学科

素养.

［解］(1)证明：取C4的中点P,连接NP,MP,由N是4G的中点，得NP//CG，且NP=gcq,

由M是。£>1的中点，得2河=；。〃=；cq,且RM//CG，则有。1M//NP,D［M=NP,四边

形是平行四边形，于是AN//MP,又"Pu平面C4〃，QNU平面。耳〃，所以QN//平

面CAM.

(2)四棱柱ABCD-44Goi中，A,A1平面ABCD,AD1AB,则直线AB,AD,AAX,两两垂

直，以力为原点，直线4S,AD,分别为x,j,z轴建立空间直角坐标系，如图,

有/(O,O,O),5(2,0,0),4(2,0,2),M(0,1,1),C(l,l,0),Q(1,1,2),则有函=(1,—1,2),

CM=（-l,0,l）,函=（0,0,2）,设平面与平面8BCC的法向量分别为蔡=（X］,%,Z］）,

"_»—»

-/\,,CB,=x-y,+2z,=0,<,—/、nCB[=/一%+2^2~°，

〃二(%2，%/2)，则有｛_______令AX,=1,得加=(1,3,1),

m-CM=-xx+4=0,n-BB、=2Z2=0,

令％2=1，得〃=(1,1,0),

因此cos/ffl,Q=普%=I__113_=拽2.所以平面CB.M与平面BB&C的夹角余弦值为

'//雨V1+9+1-VTTT11

2后

11,

17.［命题立意］本题考查根据a,b,。求椭圆标准方程，椭圆中的直线过定点问题，意在考查数形结合、数

学运算等学科素养.

［解］（1）设耳（―c,0）,M（c,o）,且,2=42—］2,因为砺=（一。一2,一1）,汨=（C—2,—1）,又

所以（―c—2）（c—2）+1=—1,解得c=后，又点/（2,1）在C上，所以:+:=1

MFXMF2=-\,

fV2

①，又/—〃=6②，联立①②，解得/=8,〃=2,所以C的标准方程为一+乙=1.

82

（2）设直线叱的方程为y—l=Mx—2）,直线"3的方程为y—l=-左（x—2）,

由8+2一，消y得到(1+4左*卜「8左(2左—l)x+16左2—16左—4=0,

y-\=k(x-2),

8M2左-1)8k2-8k-2-8k-2—4左2一4左+1

所以肛+2=得到犯所以>4=k-2+1=

1+4左21+4公1+4F

、1+4左27

8左2+8左一2

_4左2+4左+1，所以七B=区』

同理可得%=，

1+4左2yB=1+4公

XB-XA

—4左2+4左+1—4左2—4左+1

1+4左2-1+4左2=!为定值，即直线48的斜率为定值，定值为'.

8k、8k—28k2—8k—222

1+4左21+4左2

18.［命题立意］本题考查函数对称性的应用，利用导数证明不等式，利用导数研究不等式恒成立问题，意在考

查数学运算、转化与化归、逻辑推理等学科素养.

［解］（1）依题意，设/（同图象上任意一点坐标为（为,%），则其关于》=-1对称的点（一2-//0）在8（力

图象上，则为=/(Xo)=g(—2—%),则=2)=21n(xo+l)+cosxo，(x0>-1),故

/(x)=21n(x+1)+cosx,(x>-1).

(2)令〃(x)=f(x)-l-ax=21n(x+l)+cosx-l-ax,(x>-1),贝！J/z(x)W0在xe(-l,+oo)恒成立,

又〃(0)=0,且/z(x)在xe(-l,+co)上是连续函数，则x=0为//(%)的一个极大值点，

2

/(%)=-----sinx-a,〃(0)=2-a=0na=2,

1x

下证当a=2时，/z(x)K0在xw(-1,+8)恒成立，令=ln(x+l)-x,0'(X)=------1=------

当X£(—1,0),d(x)>0,9(x)在(—1,0)上单调递增,

当X£（0,+8）,,0（X）在（0,+00）上单调递减,

故9(x)«9(0)=0,ln(x+l)Vx在(-1,+8)上恒成立，又cosxKl,

则a=2时，A(x)=/(x)-l—ax=2[ln(x+l)—x]+(cosx—l)40恒成立，

综上，a=2.

(3)证明：由(2)可知：f(x)-l<2x,则/即/(1―工]<2,则

\k2J\k2J\k2Jk

>f\----------------1------1----1---].又由(2)可知:

ln（x+l）<x在（一1,+8）上恒成立，则

I左2)(〃+1〃+22n)

InxVx-l在(0,+8)上恒成立且当且仅当％=1时取等，令x=—9不£(0,1),〃wN*,则

Inn<-1=——,即---v-ln」=ln〃+l=ln(〃+l)—ln〃,则

〃+1〃+1〃+1〃+17/+1n

111

+---+・・•+一<++ln（〃+2）-ln（〃+1）H-----bln（2〃）-ln（2〃-1）

〃+1〃+22n

2n

=ln（2〃）-ln〃=ln2综上,Z/<21n2=ln4,得证.

k-n+1

19.［命题立意］本题考查计算古典概型问题的概率，利用全概率公式求概率，意在考查知识迁移与创新应用、

逻辑推理、转化与化归等学科素养.

［解］（1）1号球放入1号盒中的概率