2024-2025学年上海市崇明区高三年级上册第一次模拟考试数学检测试题（含答案）

2024-2025学年上海市崇明区高三上学期第一次模拟考试数学

检测试题

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非

选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，其中1〜6题每题4分，7〜12题每题5分)

【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】

1.已知集合—4,5}回口>①则一八.

2.不等式上」<0的解为________.

2x+l

3.若复数z满足2z+I=l+i,其中i是虚数单位，则2=.

4.(x-1)’的二项展开式中V的系数为.

5.双曲线V—上=1的渐近线方程是________.

4

6.已知xj为正实数，且满足4x+y=40,则的最大值是.

7.已知5=(1,2),3=(2"),如果5〃石，则实数上的值为.

乙.12X-I,x>l,

/(x)=<

8.已知I"-1''.1.关于x的方程/Xx)=2的解.

9.在空间直角坐标系中，点(L2,3)关于工何平面的对称点的坐标是.

10.某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为1°，％1°石，若这组数据的中位

数

和平均数相等，那么'=.

11.已知“X)=Nsin(<wx+m(/>0,。>0),若函数y=/(x)在区间［0,2］］上有且仅有3个

零点

和1个极小值点，则0的取值范围是.

12.已知函数〉=/(对的定义域。={1,2,3,4},值域/={5,6,7},则函数y=〃x)为增函

数的概率是.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，其中13〜14题每题4分，15〜16题每题5分)

【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂

黑，选对得满分，否则一律得零分.】

13.下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是

=x3

A.yB.y=cy=lgxDy=sinx

14.己知直线,和平面口，则“/垂直于平面々内的两条直线”是的

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

15.抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点

数，用了表示绿色骰子的点数，用(羽内表示一次试验结果，设事件E：X+V=8；事件

尸：至少有一颗点数为6；事件G:X>4；事件":y<4.则下列说法正确的是

A.事件E与事件尸为互斥事件B.事件厂与事件G为互斥事件

C.事件£与事件G相互独立D.事件G与事件”相互独立

16.己知无穷数列｛%｝,若存在数列｛"｝满足对任意正整数小都

有则称数列出“｝是｛6｝的交错数列•有下列两个命题：①对任

意给定的等差数列｛g｝,不存在等差数列｛4｝,使得｛，｝是｛%｝的交错数列；②对任

意给定的等比数列｛%｝,都存在等比数列｛4｝,使得｛，｝是｛七｝的交错数列.下列结论

正确的是

A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)

【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】

17.(本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分)

如图，在直三棱柱/8C-481G中，E、尸分别为8c的中点，

AAX=AB=BC=2,

CXFLAB.

(i)求证：G尸〃平面45氏

(2)求点。到平面/BE的距离.

B

18.(本题满分14分，本题共有2个小题，第⑴小题满分6分，第⑵小题满分8分)

在△/BC中，已知点。是8c边上一点，且50=1,CD=3.

（1）若ZO_L3C,且=2/ZCD,求AD的长；

（2）若443。=55。，ZACD=32°,求4D的长（结果精确到0.01）.

19.（本题满分14分，本题共有3个小题，第⑴小题满分4分，第⑵小题满分4分，第（3）

小题满分6分）

王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如

图所示的频率分布直方图,现将150,60）记作第一组，［60,70）、［70,80）、［80,90）、

［90,100］分别记作第二、三、四、五组.已知第一组、第二组的频率之和为0.3,第一组和第

五组的频率相同.

（1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）；

（2）王老师将测试成绩在BQ9。）和［90,100］内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行

优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在［90,100］内

的概率；

（3）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40,第四组考生成绩的平均数和方差

分别为83和70,据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差.

20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第⑴小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）

小题满分8分）

22

己知椭圆「：宁+3=1,点6、4分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点心的直线/与

椭圆交于/、2两点.

（1）若直线/平行于x轴，求线段的长；

_______9

(2)若点/在了轴左侧，且6/•5/=/,求直线/的方程；

(3)已知椭圆上的点C满足|C4|=|。叫，是否存在直线/使得△NBC的重心在x轴上？

若存在，请求出直线/的方程，若不存在，请说明理由.

21.(本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)

小题满分8分)

定义：若曲线G和曲线C2有公共点尸，且曲线CI在点尸处的切线与曲线C2在点尸处

的切线重合，则称C］与在点9处“一线切”•

(1)已知圆(》-4+/=/&>0)与曲线了=尤2在点(I1)处“一线切。求实数。的值；

(2)f{x}=x1+2x+a,g(x)=ln(x+l),若曲线y=/(尤)与曲线y=g(x)在点P处“一线

切”，

求实数。的值；

(3)定义在R上的函数了=〃x)的图像为连续曲线，函数了=〃无)的导函数为了=/'(尤)，

对任意的xeR,都有“⑼<必成立.是否存在点P使得曲线y=/(x)sinx和

曲线了=1在点P处“一线切冷若存在，请求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由.

答案及评分标准(高中数学)

一、填空题

1.{3,4,5}；2.(-pl)；3.1+i；4.35；5,v=+2x；6.100；

7.4；8.log,3；9.(1,2,-3)；10.8或12；11.12-12.^

二、选择题

13.A；14.B；15.D；16.C.

三、解答题

17.(1)解取48中点G,连接尸G,则/G?^AC.

................................2分

又GE?gzc,所以/G〃C]E,.......................................4分

所以四边形尸GEG是平行四边形，所以G/〃EG,........................5分

又EG在平面内，G尸不在平面Z8E内，所以G/〃平面48£；........7分

(2)取NC中点X,连接EH、BH,则平面48C,所以EH上BH,

由题意£8=指，同理"=&，又25=2,所以..................2分

因为GCJ_平面N5C,C^IAB,由三垂线定理得C5LZ5,所以S~BC=2,..…4分

设点C到平面ABE的距离为h,

由^C-ABE~^E-ABC得§S4ABE，"=§ABC,EH

所以〃=逑，即点C到平面的距离为述..............................7分

55

A1J

18.解(1)因为4D_L5C,所以tan//AD=---tanZACD=—

13

2tan//CD

又NABD=2NACD,所以tanZABD=..............4分

1-tan2ZACD

2x四

即AD=3解得ZQ=百..................6分

IT学2

(2)在△48C中，由正弦定理得.BCAC

sinZBACsinZABC

5c©11/48。

所以ZC=®3.281,......................4分

sinZBAC

在△/CD中，由余弦定理得

AD=yjAC2+DC2-2AC-DC-cosZACD«1.75.....................8分

fl°"l°b=0.3,解得!a=0.005,

19.解(1)由题意得<

10(0.045+0.020+o)=0.76=0.025.

所以平均数等于55x0.05+65x0.25+75x0.45+85x0.2+95x0.05=74.54分

(2)由题意，［80,90)内有8人，［90,100］内有2人

所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在［90,100］内的概率

C217

为=U4分

第)45

(3)设第二组、第四组的平均数与方差分别为x”X2，s；，s：由题意，第二组、第四组分别有

65x10+83x8__

x=----------------=73

10人和8人，所以成绩在第二组、第四组的平均数10+8

成绩在第二组、第四组的方差

故估计成绩在第二组、第四组的方差是36分

20.解(1)由题意，片(0,—1)、7^(1,0),所以直线/的方程是y=l,

2V23

代入v\+：=1中，得》=±：，所以|Z5|=3...........................................4分

(2)设幺(%,%)(/<0)，则用=(%,%+1),可=(%,%-1)

所以片—4►.g—/►=/02+（%+lx为_1）=a9,

22f3

又2£+至=i,所以＜%=—5,所以幺点坐标是（_3,i）或...........4分

431122

［比=土1.

4

所以直线/的方程是y=l或y=§x+l.......................6分

22

（3）当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=Ax+l,代入宁+.=1中，得

（3+4左2）+6日一9=0

设2（西,％）、B（x2,y2）,C（x3,y3）

_6k_2k4

则-2=素*’所以"中点〃（素*,素富）

又△/5C的重心在％轴上，所以必+%+为=0

8

即左（玉+々）+2+”=0，故%=_认2+4........4分

因为|G4|=|CB|,所以

—■—3k4

所以MCAB=（七+，%-）-（XI_》2，%一%）

3.2+43^2+4

3〃4

乃f）（l,左）=°

因为西fHO'所以&=帝记，所以C（E,—素富）

（-））2（TPR

因为点。在椭圆上，所以3k+4+/土电_=i,解得左=。或左=±四………6分

433

当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,此时幺、8恰为长轴顶点，点C为短轴顶

点，满足题意.

综上所述，存在直线/使得△/BC的重心在x轴上，

V3

其方程为：＞=±}+1或y=l或x=0.......................8分

21.解(1)j'=2x,所以曲线＞=/在点(1,1)处的切线方程为y—l=2(x—1),

即2x—v—1=