2022年高考全国乙卷数学（文）真题（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

2022年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择

题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合A/={2,4,6,8,10},N={x|-l<xv6},则MQN=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.

{2,4,6,8,10)

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可解出.

【详解】因为M={2,4,6,8,10},^={x|-l<x<6),所以MflN={2,4}.

故选:A.

2.设(l+2i)a+b=2i,其中。，力为实数，则()

A.a=\,b=-\B.a=1,Z?=1C.a=-l,Z?=lD.

a=-\,h=-\

【答案】A

【解析】

【分析】根据复:数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出.

【详解】因为。加R，(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,〃=2,解得：

a=l,b=—\.

故选：A.

rr

3.已知向量。=(2]),6=(—2,4),则a-b()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

rr

【分析】先求得a-b，然后求得a-b.

【详解】因为。一人=（2,1）-（-2,4）=（4,-3）,所以归一4=#不7=5.

故选：D

4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h）,得如下茎叶

图：

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.

则下列结论中错误的是（）

A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】C

【解析】

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.

73+75

【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为二--=7.4,A选

2

项结论正确.

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.1_

-------------------------------------------------------------------------------=8o.50625>8o

16

B选项结论正确.

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值4=0.375<0.4,

C选项结论错误.

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值7=0.8125>0.6,

16

D选项结论正确.

故选：C

x+y>2,

5.若-y满足约束条件・x+2”4,则z=2x-y的最大值是（）

”0,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【解析】

【分析】作出可行域，数形结合艮」可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

上下平移直线y=2冗-z,可得当直线过点（4,0）时，直线截距最小，z最大,

所以Zma、=2x4-0=8-

故选：C.

6.设尸为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点8（3,0）,若|"|=忸「|,则

\AB\=()

A.2B.2yliC.3D.3亚

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得

点A坐标，即可得到答案.

【详解】由题意得，尸(1,0),^i\AF\=\BF\=2t

即点A到准线工二一1的距离为2,所以点A的横坐标为7+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，4(1,2),

所以|二J(3-厅+(0—2)2=272.

故选：B

7.执行下边的程序框图，输出的〃=()

/^入a=l,b=l,n=\/

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根据框图循环计算即可.

【详解】执行第一次循环，人=力+2〃=1+2=3,

a=b-a=3-l=2,n=n+l=2f

^--2=^—2=->0.01：

a2224

执行第二次循环，。=匕+为=3+4=7,

〃—。=7—2=5,〃=〃+1=3,

72

4-2-2=—>0.01；

a-25

执行第三次循环，b=b+2a=7+10=17,

a=b—。=17—5=12,〃=〃+1=4,

b2172

-2=—<0.01此时输出77=4.

144

故选：B

8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3,3］的大致图像，则该函数是)

-x3+3xx3-x2xcosx

A.B.C.y=D.

y=x2+\y=/十1x2+1

2sinx

y=

X24-1

【［发】A

【解析】

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设/(力=£^，则/(1)=0,故排除B;

设/?(x)=2：：：；,当卜j,0<cosx<l,

所以g卜笔等＜含“故排除C;

设g（x）=?Jf，则g（3）=\器＞0,故排除D.

故选：A.

9.在正方体A8CO-ASGA中，E,尸分别为A8,8C的中点，则（）

A.平面B.EF±平面BDD,B.平面B.EF1平面

C.平面片所//平面4ACD.平面4所〃平面AC。

【答案】A

【解析】

【分析】证明卯_L平面8。。，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标

系，设AB=2,分别求出平面BEF,AiBD,AG。的法向量，根据法向量的位置关

系，即可判断BCD.

【详解】解：在正方体A8CO—A8GA中，

ACJL且DDJ平面ABCD，

又Mu平面ABCZ），所以EF1DR,

因为E,"分别为AB,BC的中点，

所以所||4C,所以EF上BD，

又BD。DD[=D,

所以MJ■平面8。乌，

又EFu平面B]EF,

所以平面4£;尸_1平面故A正确：

选项BCD解法一：

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，

则4（2,2,2）,£（2,1,0）,尸（1,2,0）,3（2,2,0）,A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,

G（O,2,2）,

则甫=（T,1,0）,瓯=（0,1,2）,DB=（2,2,0）,D4；=（2,0,2）,

M=（O,O,2）MC=（-2,2,0）,AG=（-2,2,0）,

设平面与后厂的法向量为m=（%,y,zj,

m-EF=-x.+y.=0一,八

则有《1/'八，可取加=（2,2,

小£片=y+2Z|=0'）

同理可得平面\BD的法向量为q=(1,-1,-1),

平面AAC的法向量为%=(1,1,0)，

平面4G。的法向量为4=(14,-1),

则加•勺=2-24-1=1^0，

所以平面四石厂与平面不垂直，故B错误;

一UU

因为加与％不平行，

所以平面qE/与平面AAC不平行，故C错误;

因为病与％不平行，

所以平面旦环与平面AC。不平行，故D错误,

选项BCD解法二：

解：对于选项B,如图所示，设4/。与£=加，EFCBD=N,则MN为平面与七尸

与平面A8。的交线，

在△BMN内，作BP工MN于点P,在‘EMN内,作GPtMN,交EN于点G,连

结BG,

则ZBPG或其补角为平面B】EF与平面\BD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2，PG2+PN2=GN2»

底面正方形ABC。中，瓦尸为中点，则七F_L3E>,

由勾股定理可得NB2+NG2=BG?，

从而有：NB2+NG2=(PB2+PN?)+(PG2+PN2)=BG2,

据此可得PB?+PG2*BG?，即NBPG工90，

据此可得平面尸J.平面ABD不成立，选项B错误；

对于选项C,取4片的中点”，则A//II旦E,

由于与平面AAC相交，故平面耳£:尸〃平面AAC不成立，选项C错误;

对于选项D,取AO的中点很明显四边形为平行四边形，则4M

由于4"与平面ACQ相交，故平面6避尸〃平面ACQ不成立，选项D错误；

10.已知等比数列｛〃”｝的前3项和为168,%-6=42,则4=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列｛《,｝的公比为夕，夕。0,易得4工1,根据题意求出首项与公比，再根

据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列｛%｝的公比为4国/0,

若g=l,则生一4=0，与题意矛盾，

所以,

q=96

则,+4+%=--=168,解朴

1，

4Q=~

a2-a5=%q-a1q=42

所以4=〃闻，=3.

故选：D.

11.函数〃x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2元)的最小值、最大值分别为()

-9+2

22

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数求得“X)的单调区间，从而判断出〃力在区间［0,2可上的最小值和

最大值.

【详解】/'(x)=-sinx+sinx+(x+l)cos%=(x+l)cosx,

k/(x)>0,即f(x)单调递增;

(2、

在区间±/(%)<0,即“X)单调递减,

Iz乙)

又〃0)=/(2兀)=2/电=畀2,/传卜信+1,1=卡,

所以f（x）在区间［0,2可上的最小值为耳，最大值为g+2.

—2

故选：D

12.已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为0,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当

该四棱锥的体积最大时，其高为（）

11「百D夜

A.RB----U.----

3232

【答案】C

【解析】

【分析】先证明当四棱锥的顶点。到底面A8C。所在小圆距离一定时，底面ABCO面积最

大值为2/，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱隹体积的最大值，从而

得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】设该四棱锥底面为四边形48CD,四边形A8C。所在小圆半径为r,

设四边形A8CO对角线夹角为。，

则枭88=,乂。3。与11。工，4。8。工12广2r=2，

222

（当且仅当四边形ABC。为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面A8CQ所在小圆距离一定时，底面A8C。面积最大值为2/

又产+川=/

则v~=*h777^V卜＜+2咛=挈

J。J号JV\J/4/

当且仅当r2=2h2即力=4时等号成立，

故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.记S〃为等差数列｛%｝的前〃项和.若2s3=3§2+6,则公差d=.

【答案】2

【解析】

【分析】转化条件为2（q+"）=〃+d+6,即可得解.

【详解】由2s3=3S2+6可得2伍+&+q）=3（4+%）+6,化简得为3=4+。2+6,

即2（q+M）=〃+d+6,解得d=2.

故答案为：2.

14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为

3

【答案】—##0.3

【解析】

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,

（乙，1,2）,（乙，1,3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10种选法；

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率P二布.

3

故答案为：—.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

3

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率尸=而

3

故答案为：—

15.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(42)中的三点的一个圆的方程为.

［答案］(x_2j+(y_3)2=］3或(x_2j+(y_l)2=5或+^-->1=竺或

\3\3/9

【解析】

【分析】设圆的方程为―+产+以+4+尸=o,根据所选点的坐标，得到方程组，解得

即可；

【详解】解：依题意设圆的方程为/+/+6+或+/=0,

F=0[F=0

若过（0,0）,（4,0）,（-M）,则,16+40+尸=0,解得・。二一4,

\+\-D+E+F=0[E=-6

所以圆的方程为f+y2-4x-6y=0,即（x—2）2+（y—3）2=13；

F=0F=0

若过（0,0）,（4,0）,（4,2）,则16+40+尸=0,解得秒=-4,

16+4+4D+2E+F=0[E=-2

所以圆的方程为/+产一4%一2），=0,即（工一2）2+（丁一1）2=5；

Q

若过(0,0),(4,2),(-1,1),则1+1-D+E+尸=0,解得俨二—],

16+4+4D+2E+F=0一

所以圆的方程为x2+y2—|x—£),=0,即(x-g)—=^；

'16

F=----

l+l-D+£+F=05

若过(fl),(4,0),(4,2),则416+4。+尸=0,解得,。二一学,

16+4+4。+2£+/=0厂c

E=-2

所以圆的方程为f+y2一£%一2丁一牛二0,即

X——

7丫65

故答案为：(x_2j+(y_3)2=13或(x_2j+(y_l)2=5或

3)~~9

16.若〃x）=lna+J—+〃是奇函数，则。=,b=.

【答案】①.——；In2.

2

【解析】

【分析】根据奇函数定义即可求出.

【详解】因为函数f（x）=lna+J—+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称.

I-X

由—。0可得，（1—x）（tz+l-所以x=j2=-l,解得：a=—,即

函数的定义域为(YQ,-1)U(-1,1)D(1,+8),再由/(o)=o可得，b=\n2.即

/(x)=ln-l+-^-+ln2=ln^,在定义域内满足〃r)=-/(x),符合题意.

故答案为：一!；m2.

2

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.

17.记上ABC的内角A,B,C的对边分别为。，4c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=2B，求C；

(2)证明：2a2=b2+c2

5兀

【答案】(1)?；

o

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意可得，sinC=sin(C—A),再结合三角形内角和定理即可解出；

(2)由题意利用两角差的正弦公式展开得

sinC(sinAcosB-cosAsinB)=sinB(sinCcosA-cosCsinA),再根据正弦定理，余

弦定理化简即可证出.

【小问1详解】

由A=2B，sinCsin(A-4)=sin3sin(C-A)可得，sinCsinB=sinBsin(C-A),

而0vB<g,所以sin8即有sinC=sin(C-A)>0,而

0<C<7t,0<C-A<7i,显然CwC-A,所以，C+C-A=7T,而A=25，

57t

A+B+C=n,所以C=—.

8

【小问2详解】

由sinCsin(A-8)=sin3sin(C-A)可得，

sinC(sin4cos5-cos/AsinB)=sinB(sinCcos4-cosCsin/4),再由正弦定理可得,

accosB-bccosA=bccosA-abcosC,然后根据余弦定理可知，

3（/+02_/）_；92+/_/）=3伍2+,2_/）_；（〃2+/_。2）,化简得：

2a2=从+。2,故原等式成立.

18.如图，四面体A8CO中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

（1）证明：平面平面ACD；

（2）设48=3£）=2,NAC3=60。，点F在BD上,当4A尸。的面积最小时，求三棱

锥产一ABC的体积.

【答案】（1）证明详见解析

⑵3

4

【解析】

【分析】（1）通过证明ACJL平面8EO来证得平面BE。_L平面4co.

（2）首先判断出三角形AFC的面积最小时/点的位置，然后求得尸到平面A8C的距

离，从而求得三棱锥尸-A5C的体积.

【小问1详解】

由于A£>=CD,£是AC的中点，所以ACJ_0£

AD=CD

由于<80=3。,所以△403二△CD3,

ZADB=NCDB

所以48=8,故AC_L8。，

由于DEcBD=D，DE.BDX平面BE。，

所以AC_L平面3瓦），

由于ACu平面AC。，所以平面3E£）_L平面ACO.

【小问2详解】

依题意A8=BO=8C=2,ZACB=60°,三角形48c是等边三角形，

所以AC=2,A£=CE=1,8E=>5，

由于AD=CDADJ_CO,所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以力£=1.

DE2+BE2=BD2»所以DEJLBE，

由于ACc3E=E,AC,3Eu平面ABC,所以OE_L平面ABC.

由于AADB三ACDB,所以NEfiA=NF6C,

BF=BF

由于<NF6A=/尸8C,所以二五班二二EBC,

AB=CB

所以Ab=Cb,所以MJ_AC，

由于2.c=；・AC-EF，所以当班'最短时，三角形A/C的面积最小值.

过E作防_LBD，垂足为尸，

11/o

在RtZ\3KO中，—BE・DE=—BDEF,解得石尸二、！，

222

过尸作F〃J_BE，垂足为“，ROFH//DE,所以切_1_平面ABC,且

FH8F_3

~DE~^D~4,

3

所以尸”=7，

4

所以

5.ABC=；.SABCFH=ixlx2x>/3x1=^.

19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总

材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量

（单位：n?），得到如下数据：

总

样本号i12345678910

和

根部横截面积

0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.0606

%

材积量y,0250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并计算得=。.038,2律=1.6158,、＞3=02474.

i=li=li=l

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积

总和为186nl2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林

区这种树木的总材积量的估计值.

£（%-初凹一刃

附：相关系数厂=”，J1.896Q1.377.

Vi=li=l

【答案】（1）0.06m2;0.39m3

（2）0.97

（3）1209m3

【解析】

【分析】（1）计算出样本的•棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该

林区这种树木平均一棵的根部横戳面积与平均一棵的材积量；

（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的

总材积量的估计值.

【小问1详解】

样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x=—=0.06

样本中10棵这种树木的材积量的平均值》=二三二0.39

据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.0611?,

平均一棵的材积量为0.39m3

【小问2详解】

1010

思X_/岑(乂_才停一回序_10,

八仙

—0.2474-10x0.06x0.390.01340.0134।j97

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)Vo.00018960.01377

则”0.97

【小问3详解】

设该林区这种树木的总材积量的估计值为hn3，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得病二丁厂，解之得¥=120911?.

则该林区这种树木的总材积量估计为1209m3

20.已知函数f(x)=o¥-」-(a-l)lnx.

x

(1)当4=0时，求/⑶的最大值；

(2)若f(x)恰有一个零点，求〃的取值范围.

【答案】(1)-1

(2)(0,+oo)

【解析】

【分析】(1)由导数确定函数的单调性，即可得解：

(2)求导得r(x)=@Z华二D,按照aWO、Ovavl及。>1结合导数讨论函数的单

X

调性，求得函数的极值，即可得解.

【小问1详解】

当4=0时，/(x)=---lnx,x>0,则r(x)=l；■-！=二^,

xv7xxx-

当X£(0,l)时，r(x)>0,/(x)单调递增；

当次£(i,y)时，r(x)<o,/(无)单调递减；

所以〃x)a=〃l)=f

【小问2详解】

/(^)=av---(a+l)lnx,A：>0,则/⑴:^+士一^^二(公“产【),

XX'XX"

当a<0时，依一1<0,所以当文«0,1)时，/(力〉0，/(X)单调递增；

当“«1,+8)时,r(x)<0,〃%)单调递减；

所以/(司2=〃1)=4-1<°，此时函数无零点，不合题意；

当Ovavl时,:>1,在(0,1),+oo)上,Z(x)>0,“力单调递增；

在(1，)上，f(^)<0,单调递减；

又/⑴

由(1)得』+lnxNl,即In’Ni-x,所以］nxvx,ln4v61n.E<2五，

Xx

当x>l时，f(x)=ax---(a-i-\)\nx>cix---2(a+\')\/x>ax-(2a+3)\［x,

xx

则存在m=弓+2)>5,使得/(团)>0，

所以〃x)仅在+8)有唯一零点，符合题意；

当°=1时，/(力=(二］所以单调递增，又41)=〃-1=0,

所以f(x)有唯一零点，符合题意：

当时，-<1,在上，r(x)>0,/(X)单调递增；

在(J,，上，/'(x)<0,单调递减；此时/(l)=a—1>0,

由(1)得当Ovxvl时，lnx>l--Iny[x>1-7=,所以In工

x

(HH+誓

存在〃=.<!’使得

所以/（3）在（o，）有一个零点，在5,+8）无零点，

所以f（x）有唯一零点，符合题意；

综上，〃的取值范围为（0,+8）.

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点

问题转化为函数的单调性与极值的问题.

21.已知椭圆上中心为坐标原点，对称轴为x轴、1y轴，且过4（0,-两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点?（1,一2）的直线交E于M,N两点，过M且平行于工轴的直线与线段A8交于

点T,点H满足MT=TH•证明：直线HN过定点.

【答案】（1）+—=1

43

（2）（0,-2）

【解析】

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【小问1详解】

解：设椭圆E的方程为胆?+71y2=1,过A（O,-2）,5（|,-1）,

4〃=1

则《9.，解得帆=1,"=二，

—m+n=l34

14

22

所以椭圆E的方程为：-^+―=1.

43

【小问2详解】

32

A（0,-2）,B（-,-l）,所以AB:y+2=—x,

23

22

①若过点尸（1,-2）的直线斜率不存在，直线％=1.代入—+21=1,

34

可得用（1,_2①），N（l,2匹），代入A8方程y=可得

H-V6+3,-，由=/得到〃(一2"+5,-3？).求得"N方程:

)，=(2+乎口―2,过点(。,一2).

②若过点P(L-2)的直线斜率存在，设履一y-也+2)=0,M(%),y),N(w,力).

kx-y-(k+2)=0

联立《x2v2，得(3公+4*-6攵(2+k)x+3k(k+4)=0,

—+—=1

34

_6kQ+k)一8(2+攵)

*2一3公+4%+旷卡丁

可得〈

3k(4+k)4(4+4k-2k2)'

x,x=-------------

73火2+4

r-24k小

且为力+巧Y=市二1()

3Av।4

y=y3y

联立〈2c，可得r(—+3,y),H(3y+6-％,y).

y=-x-22

I3

可求得此时HN:y-y2=-一筑2——(x-x2),

3J|4-O-X1-x2

将(0,-2)，代入整理得2(x,+w)―6(1+%)+石%+W%_3yM_12=0,

将(*)代入，得241+12/2+96+48%-24%-48-48k+24k2-36k2-48=0,

显然成立，

综上，可得直线”N过定点(0,-2).

【点睛】求定点、定值问题常见的方