2025年北师大版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、在等比数列{an}中，已知a1=a5=9，则a3=（）

A.1

B.3

C.±1

D.±3

2、由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（）A.归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.其它推理3、【题文】函数的图像如图所示，A为图像与x轴的交点,过点A的直线与函数的图像交于C、B两点.则（）

A.-8B.-4C.4D.84、【题文】关于有以下命题；其中正确的个数（）

①若则②图象与图象相同；③在区间上是减函数；④图象关于点对称.A.0B.1C.2D.35、【题文】在实数集R上随机取一个数x，事件A=“sinx≥0,x∈[0，2]”，事件B=“”，则P（B︱A）=（）A.B.C.D.6、【题文】扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（）A.B.C.16D.327、【题文】连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（）A.B.C.D.8、下列函数中，在内为增函数的是（）A.y=sinxB.y=C.D.y=lnx-x9、已知鈻�ABC

的周长是16A(鈭�3,0)B(3,0)

则动点C

的轨迹方程是(

)

A.x225+y216=1

B.x225+y216=1(y鈮�0)

C.x216+y225=1

D.x216+y225=1(y鈮�0)

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、已知椭圆的左右焦点为若存在动点满足且的面积等于则椭圆离心率的取值范围是.11、设向量若则等于___________12、世卫组织规定，PM2．5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．清远市环保局从市区2013年全年每天的PM2．5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），从这15天的数据中任取3天的数据，则恰有一天空气质量达到一级的概率为_________（用分数作答）．13、已知单位向量，的夹角为60°，则____。14、某厂生产电子元件，产品的次品率为现从一批产品中任意连续抽出100件，记次品数为则____．15、“a＞0，b＞0”是“≥2”的____条件．16、甲两人在天每天加工件的个数用叶图表示图，中间一列的数字表示件数的十数，边的数字表示件个数的个位数，这10天甲、乙两人加工零件的平均数为______和______．

评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

21、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）22、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）23、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共15分)24、（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交另一点若求直线的倾斜角.25、在平面直角坐标系xOy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线相切．

（1）求圆C的方程；

（2）求过点（3，4）且截圆C所得的弦长为的直线方程．

26、如图；在四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱VA⊥底面ABCD，点E为VA的中点．

（Ⅰ）求证：VC∥平面BED；

（Ⅱ）求证：平面VAC⊥平面BED．

评卷人得分五、计算题(共2题，共20分)27、1.（本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。28、已知z1=5+10i，z2=3﹣4i，求z．评卷人得分六、综合题(共4题，共12分)29、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．30、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．31、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．32、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】

∵a1=a5=9；

由等比数列的性质可知，=1

∴a3=±1

当a3=-1时，=-9不合题意。

∴a3=1

故选A

【解析】【答案】由等比数列的性质可知，可求。

2、C【分析】【解析】试题分析：由类比推理的定义，由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是类比推理。选C。考点：本题主要考查推理。【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】

试题分析：因为函数可化为所对称中心是所以A点的坐标是（2,0）.因为A点是对称中心，所以点A是线段BC的中点，所以所以故选D.

考点：1.正切函数的诱导公式.2.函数的对称性.3.向量的加法.4.向量的数量积.【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】

试题分析：①：∵∴∴①错误；

②：∵∴②正确；③：当时；

∴在区间上是减函数，③正确；④：当时；

∴∴④正确.

考点：三角函数的图象与性质.【解析】【答案】D.5、C【分析】【解析】

试题分析：∵sinx≥0，x∈[0，2π]，∴x∈[0，π]，又∵=2sin（x+）≤1，∴sin（x+）≤∴x+∈[]，∴x∈[π]，故P（B|A）=

故选C

考点：本题考查了条件概率的求法。

点评：以几何概型为载体考查了三角函数的图象和性质，其中根据正弦函数的图象和性质求出所有基本事件和满足条件的基本事件的x的范围是解答的关键【解析】【答案】C6、C【分析】【解析】

试题分析：设扇形弧长为半径为那么则扇形面积等于故选C.

考点：1.扇形面积公式；2.弧度制公式.【解析】【答案】C7、C【分析】【解析】由题意知本题是一个古典概型；

试验发生包含的所有事件数6×6；

∵m＞0；n＞0；

∴=（m，n）与=（1；﹣1）不可能同向．

∴夹角θ≠0．

∵θ∈（0，】

•≥0；∴m﹣n≥0；

即m≥n．

当m=6时；n=6，5，4，3，2，1；

当m=5时；n=5，4，3，2，1；

当m=4时；n=4，3，2，1；

当m=3时；n=3，2，1；

当m=2时；n=2，1；

当m=1时；n=1．

∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1

∴概率P==．

故选C．【解析】【答案】C8、C【分析】【解答】对于A,由于正弦函数是周期函数，因此不会再整个正数范围内递增，排除。对于B，由于因此增区间不符合题意，故错误，对于C,可知，函数递增复合题意，对于D,由于则故错误；选C。

【分析】本题考查基本初等函数的性质，判断的关键是掌握各种函数的图象与性质，属于容易题．9、B【分析】解：由于鈻�ABC

的周长是16A(鈭�3,0)B(3,0)

则BC+AC=10>AB

故顶点A

的轨迹是以AB

为焦点的椭圆；除去与x

轴的交点．

隆脿2a=10c=3隆脿b=4

故顶点C

的轨迹方程为x225+y216=1(y鈮�0)

故选：B

．

由题意可得BC+AC=10>AB

故顶点A

的轨迹是以AB

为焦点的椭圆，除去与x

轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出ab

的值；即得顶点C

的轨迹方程．

本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用.

解题的易错点：最后不检验满足方程的点是否都在曲线上．【解析】B

二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】试题分析：设则所以存在动点使得的面积等于即即或又所以考点：椭圆的标准方程及其几何性质.【解析】【答案】11、略

【分析】试题分析：∵∴∴∴＝＝＝．考点：1、同角三角函数基本关系；2、两角和与差的正切函数；3、平面向量数量积的运算．【解析】【答案】12、略

【分析】试题分析：由茎叶图知随机抽取15天的数据中，PM2．5日均值在35微克/立方米以下的天数有5天，因此从这15天的数据中任取3天的数据，恰有一天空气质量达到一级的概率为：．故答案为：．考点：茎叶图．【解析】【答案】．13、略

【分析】【解析】试题分析：∵两个单位向量，的夹角是60°，=4-4×1×1×cos60°+1=3，故考点：本题考查了向量的运算【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

因为则【解析】【答案】15、充分不必要【分析】【解答】解：ab＞0⇔≥2，∴“a＞0，b＞0”是“≥2”的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

【分析】ab＞0⇔≥2，即可判断出结论．16、略

【分析】解：由茎图知；

甲加工零个数的平数为

故答案为：242．

叶图中共同数是数字的十；这事解决题突破，根据所给的叶图看出组数据代平均数个求出结果这是一个送分的题目．

本题主要茎图的应属于容易题．对于一组据通的是组数据的众数，中位数，平均数目分别表示一组数据的特征，这样的问可以出现选择题或填空考查最基的知识点．【解析】24；23三、作图题(共7题，共14分)17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

21、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．22、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．23、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共15分)24、略

【分析】

由得再由解得由题意可知即解方程组得所以椭圆的方程为(Ⅱ)【解析】

由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为直线的斜率为k.则直线的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得由得从而所以由得整理得即解得k=所以直线的倾斜角为或【解析】略【解析】【答案】（Ⅰ）25、略

【分析】

（1）设圆的方程是（x-1）2+（y+2）2=r2；（1分）

依题意，∵C（1，-2）为圆心的圆与直线相切．

∴所求圆的半径，（3分）

∴所求的圆方程是（x-1）2+（y+2）2=9．（4分）

（2）∵圆方程是（x-1）2+（y+2）2=9；

当斜率存在时；设直线的斜率为k，则直线方程为y-4=k（x-3），（5分）

即kx-y+4-3k=0；

由圆心C（1，-2）到直线的距离（6分）

即解得（8分）

∴直线方程为即4x-3y=0，（9分）

∴当斜率不存在时；也符合题意，即所求的直线方程是x=3．（11分）

∴所求的直线方程为x=3和4x-3y=0．（12分）

【解析】【答案】（1）假设圆的方程，利用以C（1，-2）为圆心的圆与直线相切；即可求得圆C的方程；

（2）分类讨论，利用圆心C（1，-2）到直线的距离，过点（3，4）且截圆C所得的弦长为即可求得直线方程．

26、证明：（Ⅰ）连结OE．

∵底面ABCD是正方形；∴O为AC的中点．

又E为VA的中点；∴OE∥VC．

又VC⊄平面BED；OE⊂平面BED；

∴VC∥平面BED．

（Ⅱ）∵VA⊥平面ABCD；∴VA⊥BD．

又AC⊥BD；AC∩VA=A；

∴BD⊥平面VAC．

∵BD⊂平面BED；

∴平面VAC⊥平面BED．【分析】【分析】（Ⅰ）连结OE；证明：OE∥VC，利用线面平行的判定定理证明VC∥平面BED；

（Ⅱ）证明BD⊥平面VAC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面VAC⊥平面BED．五、计算题(共2题，共20分)27、略

【分析】解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，高考+资-源-网分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/328、解：∴

又∵z1=5+10i，z2=3﹣4i

∴【分析】【分析】把z1、z2代入关系式，化简即可六、综合题(共4题，共12分)29、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）30、解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6；f（1）＞0

∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0

∴a2﹣6a﹣3＜0

∴{#mathml#}3-23<a<3+23

{#/mathml#}

∴不等式的解集为{#mathml#}a|3-23<a<3+23

{#/mathml#}

（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集为（﹣1，3），

∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集为（﹣1，3），

∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的两个根

∴{#mathml#}-1+3=a6-a3-1×3=-6+b3

{#/mathml#}

∴{#mathml#}a=3±3,b=-3

{#/mathml#}

【分析】【分析】（Ⅰ）f（1）＞0，即﹣3+a（6﹣a）+6＞0，即