解析：重庆市巴南区2024届高三诊断（一）数学试题（解析版）

高2024届高考诊断考试（一）数学试题

（试卷满分：150分120分钟完卷）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1.已知集合AX、国』〉。},8={0,1,2,3,4},则隔4）IB=（）

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3；D.{0,1,2,3）

【答案】B

【解析】

【分析】先解出集合A，找到A的补集，再求出和4的交集.

【详解】因为A={x|2x2—5x>0}=(Yo,0)U(g,+8),所以为4=0,|,又3={0,1,2,3,4},所以

&A)I8={0,1,2}.

故选：B.

0•

已知复数则，=

2.z=—^7,)

1+21

A.l+2iB.l-2iC.2+iD.2-i

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的除法法则求复数z,再由共加复数定义求5.

5i(l-2i)6.

【详解】V2=-----;---------=2+1,

z=2—i-

故选：D.

心.（兀11।（2兀。）

3.已知sin[x+kJ=-§,贝ijco;（丁一2xJ=（）

72

A.----B.----C.

99

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.

【详解】因为sinfx+l]=_,所以

k6J3

2兀_|7C_I..兀7

cos生一2x=兀-¥--2-x=-cos—+2x=-l-2sinx+—

I3)3(36JT㈢9

故选:A.

4.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是

中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1〜9的一种

方法.例如：3可表示为“三”，26可表示为“二1”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用

1〜9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（）

一=三三।­L=L工

1234567X9

15八17

A.—B.—C.-D.

3122V2

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作答.

【详解】1根算筹只能表示1,2根算筹可表示2和6,3根算筹可表示3和7,4根算筹可表示4和8,5根

算等可表示5和9,

因此5根算筹表示的两位数有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12个,

其中个位数与十位数之和为5的有14,41,23,32,共4个，

41

所以所求概率为P==

123

故选：A

9

5.若数列｛q｝的前〃项积4=1-百〃，则明的最大值与最小值的和为（）

A.-3B.-IC.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得q=1+/—,利用数列的增减性可得最值.

2H-17

2

【详解】•・•数歹U｛为｝的前〃项积7；=1—百〃，

当〃=1时，a.=一,

15

当〃之2时，a,=J^=—二〃::］十^^,

©,的l-l（n-l）2〃772〃-17

15'）

〃=1时也适合上式，

,2

/.（l=1H----------»

n2/1-17

・•・当〃K8时，数列｛4｝单调递减,且*vl,

当〃29时，数列｛%｝单调递减，且%>1,

故品的最大值为％=3,最小值为6二一1,

・•・%的最大值与最小值之和为2.

故选：C.

6.如图所示，正方形48co的边长为2,点七，F，G分别是边8C,CD,AD的中点，点P是线段

E尸上的动点，则GP-AP的最小值为（）

【答案】A

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设P（x,y）,FP=AFE，（^E［0,1］）,即可得到y=3—x、工=1+几,

根据数量积的坐标表示得到GP•八P，再结合二次函数的性质计算可得.

【详解】如图建立平面直角坐标系，则A（0,0）、G（0』）、E（2』）、/（1,2）,

设P（x,3）,FP=AFE，（2G［0,1］）»则（冗-14-2）=4（1「1）,

x-\=A

所以

y-2=-A

所以工一1=一(),一2),即y=3—x,所以GP=(x,y-l),AP=(x,y),

所以G户户=/+y(y—l)=x2+(3-x)(2—x)=2x2-5x+6

J5丫23

=2x一一+—，

I4)8

523

又x=l+/l£[l,2],所以当x时GPSP取得最小值为不.

7.椭圆C:二十与=1(。>/7>0)的左右焦点为片，E,点P为椭圆上不在坐标釉上的一点，点M,N

a~b~

满足£M=MP，2ON=OP+OF2,若四边形MQVP的周长等于4〃，则椭圆。的离心率为e二

()

A1B.正C.也D.亚

2223

【答案】C

【解析】

【分析】根据=2ON=OP+OFh可得点M为线段尸耳的中点，点N为线段尸人的中点，再

根据四边形MONP的周长结合椭圆的离心率公式即可得解.

【详解】因为£M=MP,所以点”为线段尸片的中点，

因为2ON=OP+OR,所以ON-OP=OF2-ON,

即PN=NF?,所以点N为线段2鸟的中点，

又因点。为线段打入的中点,

所以OM〃尸乙且|0例|二3尸周，ON〃PG且|0N|用,

22

所以四边形MONQ的周长为俨用+1P周，

又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以|P周+归周=2%

所以2。=48，即2=4，

a2

故椭圆C的离心率为e=£=、［X=3.

a\a22

8.已知偶函数/（%）满足〃4+力=/（4一力,/（0）=-1,且当工«0,4］时，/（力=一.若关于x

的不等式在［T8,48］上有且只有60个整数解，则实数。的取值范围是（）

/-八ln2）（,\n2］ln2\n3}

A.（-1,0］B.C.［-1*—Jd•［彳，亍）

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知，函数/（X）是周期为8的周期函数，由题意可得关于％的不等式/（另＞々在［0,8）上有

且只有5个整数解，数形结合可得出实数。的取值范围.

【详解】囚为偶函数/（力满足/（4+八）=/（4一八），则/（八十4）=/（八一4）,即/（八+8）=/（4），

所以，函数/（“是周期为8的周期函数，

当xe（0,4］时，/（力=上学,令r（x）=o,可得x=e.

X

由用司＞0可得Ocxve,由ra）＜0可得evx«4.

所以，函数〃力在（O,e）上单调递增,在（e,4］上单调递减，

因为关于X的不等式"6＞。在［-48,48］上有且只有60个整数解，

则关于4的不等式/（力＞〃在［0,8）上有且只有5个整数解，如下图所示:

因为/（4）=等=午=竽=/（2），且〃6）=〃2）,

又因为/（3）＞/（4）,所以，要使得不等式/（可＞。在［0,8）上有且只有5个整数解,

则这五个整数解分别为3、5、2、4、6，

所以，/（1）,即0工〃＜竽，

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于作出函数

的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9.已知函数/（xbcosA-sin%,则（）

A./（x）=cos2%B./（X）的最小正周期为兀

C./（力在（（）,［）上单调递减D./（“在卜找上单调递增

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先根据三角函数二倍角化简，然后利用整体代入法研究函数图像即可；

【详解】/（八）=cos?A-sin3A=cos2A,选项A正确;

所以函数/（x）的最小正周期为了二学二兀，选项B正确;

根据余弦函数图像性质，年Ju（0,7i）（余弦函数对应的单调递减区间），函数单调

递减，选项C正确;

根据余弦函数图像性质，xu1—（一兀,0）（余弦函数对应单调递增区间），函数

不单调，选项D错误；

故选:ABC.

10.某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证口小学生每天

一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：

学校人数平均运动时间方差

年校2000103

乙校300082

记这两个学校学生一周运动的总平均时间为［，方差为『，则（）

Ax=8.7B.x=8.8

C.$2=3.36D.『=3.56

【答案】BC

【解析】

【分析】根据平均数和方差的计算公式求解.

2000X10+—30°°—x8=8.8,

【详解】依题意，总平均时间为工=

2000+30002000+3000

20003000223

方差为『=3+（10-8.8『卜2+（8-8.8）1=-x4.44+-x2.64=3.36.

2000+3000L2000+3000L）」55

故选：BC

11.如图，平行六面体AC中，NAAO=NAA3=45。，AD=AB,AC与交于点O,则下列说法

A.平面ACC14_L平面30〃四

B.若|AO|=|AO|,则平行六面体的体积V=/|AC|S四边形8mg

C.AXO=^AB+^AD^AA]

D.若NRW=60。，则cosNA,AC=巫

3

【答案】ABD

【解析】

[分析]对于A,由题意可得四边形A3CQ为菱形，则可得BD1AC,再计算胡，可得BD1A4,,

从而得工平面ACGA，再利用面面垂直的判定定理可得结论；对于B,连接A。，可得AC_LAA,

从而可证得ACJ,平面BOA用，进而可求出体积，对于C,利用空间向量的加法分析判断，对于C,设

A8=a,AA=/>,则可得a。=石〃AC=£a，然后利用向量的夹角公式计算判断.

【详解】对于A,因为在平行四边形ABCO中，AD=AB^所以四边形A8CO为菱形，所以

BD1AC,

因为NAAD=/A〕AB=45°,AD=AB»

所以A力・AA=叫・卜4COS45°,4MA4J=44河际45。,所以AZ>A4,=AA,,

因为BD=AD-AB>所以8OA4)=^AD-=AD-AAy-AB-AAy=0t

所以8O_LAA，所以〃。_LA4,,

因AAAAC=A,AApACu平面ACC14,所以8OJ.平面ACG4,

因为8Z)u平面所以立面ACG4，平面所以A正确，

对干B,连接AC,因为Ha=ka，|4«=|3,所以|4。|=|。0|=|4。|，

所以△AAC为直角三角形，即AC，A4,因为441〃8四，所以ACJ.8科，

因为由选项A知平面4CGA，4。匚平面人。。14,所以BD_LAC，

因为BB[CBD=B,BB「BDu平面BDD网,所以4,C平面8。。蜴，

所以平行六面体的体积

311[

==

V2咚梭柱")8.°=2X、VA-BD0tBi=3x^S四边形明°。半40卜5四边形四O。，所以B正确，

对干C,因为四边形A3CO为平行四边形，所以。为8。的中点,

所以=+所以AO=AA+AO=AA+g4B+gAO,所以C错误,

对于D,设A3=a,A41=Z?,因为在菱形ABC力中，NBAD=60。，所以

AC=2A0=2/lBcos30o=y/3a，

MAC_4A（A8+AQ）_2"cos45。_瓜

所以cos/AAC=,所以D正确,

|M|,|ACCabCab3

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判断，考查平行六面体体积

的求法，考查空间向量的运算，解题的关键是正确利用平行六面体的性质结合题意分析求解，考查空间想

能力和计算能力，属于较难题.

12.已知函数/(x)=x(lTnx)，下列选项正确的是()

A/(X)有最大值

C.若xNe时，/(x)—a(e-x)K0恒成立，则

In%\nx_1111c

D.设方,与为两个不相等的正数，且2则一+—>2

X]x2x2x]

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C利

用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.

【详解】对于选项A：由题意可得：函数/(x)的定义域为(0,小⑹，且〃x)=l—lnx—l=-lnx,

令用”)>0,解得0cxe1；令/(力<0,解得x>l；

则函数/(X)在(0,1)卜单调递增.在(1,+8)卜单调递减.

所以/(X)有最大值/(1)=1，故A正确

对干选项B：因为/日=斗

e\e)e\eJeJe

2⑶/]13(2-hi3)24-31n31.e4八

则f十/十二--------=------------=-ln—>0,

\eJVe)eeee27

所以故B错误;

对干选项C：构建波(x)=f(x)—〃(e-x),则F(x)=-lnx+〃,

因为产(e)=0,且当xNe时,广(x)«0恒成立,

则k(e)=-l+nK0,解得aWI,

若,则b'(x)=-mx+a〈0当xNe时恒成立，

则外”在［e,+8)上单调递减，则/(“Wb(e)=0,符合题意

综上所述：符合题意，故C正确；

Inx.Inx,11

对于选项D：因为一L——-=------

X]x2x2X)

由选项A可知：函数/(“在(0J)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

当工趋近于。时，/(%)趋近于()，且令/(力>0,解得0<x〈e,

八I,1

不妨设0<一<1<一<e,

玉x?

构建g(x)=/(l+x)_/(l_x),x£(O,l),

因为且'(戈)=/'(1+力+/'(1_同=_111(1+/)―始(1_/)=_||1(1_12)>0在(0,1)上恒成立,

则g(x)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g(o)=o,

所以/(l+x)>/(l-x)，x£(O，l)，即/(2-x)>/(x),为£(0,1),

(1)(1(1)

可得了-=/-</2-一，

•%

1一1

注意到了（X）在（1,I8）上单调递减，且1V2—<2,1<—<e,

Ic11I-

所以一>2---即一+—>2,故D正确;

工2N玉/

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

（1）作差或变形；

（2）构造新的函数〃（x）；

（3）利用导数研究〃（力的单调性或最值；

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问

题.

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

2

13.（--X）”展开式中的各二项式系数之和为256,则/的系数是

x

【答案】112

【解析】

【分析】由二项式系数和等于2〃,求得〃的值，再利用展开式的通项公式计算即可.

【详解】依题意得：2"=256,解得〃=8,

,2、8T

则=-(-x)r=(-I);-28-rC；x2r'\rGN,r<8,

由力•一8=4,解得1=6,

从而(-1)6C"=112.

故答案为：112.

14.现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解

决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、

布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互

独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为.

【答案】N

27

【解析】

【分析】根据题意，先求出进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率，然后根据各局游戏是相互独立,

即可得到结果.

【详解】设事件A表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，

则P（A）=

333

21

则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为1--二一,

33

且各局游戏是相互独立的，

则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为x-=—.

故答案为：

27

15.己知等比数列｛%｝满足；.+生-20,%+%―80.数列｛包｝满足a=1（^2%（，26升），其前〃项

和为s“，若恒成立，则几的最小值为.

3

【答案】一##0.3

10

【解析】

【分析】设等比数列｛q｝的公比为夕，求出％、4的值，可得出数列｛4｝的通项公式，可求出也｝的通项

公式，求出S”，利用对勾函数的单调性求出言彳的最大值，即可得出实数丸的最小值.

+O

【详解】设等比数列｛q｝的公比为4,则生+仆=^（4+。2）=209=80,解得t7=4,

所以，q+4=4+《4=5。］=20,解得％=4,则〃"=qq"T=4"，

所以.bH=log?。”=log24"=2n.

%一々=2（〃+1）—2〃=2,所以，数列也｝为等差数列，

所以，5.=出产1=*型=小+1）,

——2〃一2

则S”+8川+8+〃〃+§+］，

n

因为函数产X+&+1在（0,2⑹上单调递减，在（2后,+8）上单调递增，

%—一=一=2仇63

当〃=2时，$+82+117；当〃=3时，而=

23b3

又因丐＜历,故市的最大值为帚

因此，磐石44对任意的〃£1＜恒成立，所以，/l＞—，故4的最小值为二.

，,+N1010

故答案为：—.

16.已知抛物线），2=4%上存在两点AB（AB异于坐标原点。），使得NAO3=90°,直线A8与x轴

交于M点，将直线绕着M点逆时针旋转90。与该抛物线交于C，。两点，则四边形AC8O面积的最小

值为.

【答案】80

【解析】

【分析】设直线AB的方程为x=+联立方程组，由条件证明1=4,由此可得|4四，再求|。。|,求

四边形AC8D面积的解析式，求其最小值即可.

【详解】由已知直线A3的斜率存在，且不为0,

故可设直线AB的方程为x=〃D+f,

y2=4x

联立厂，

x=my+1

消x得，y2-^my-4r=0.

方程y2-4my-4t=0的判别式A=16/M2+16/>0，

设A1,yj,3（孙必）,则y+>2=4肛yy2=-4，

所以$%二,•5■=〃

因为NAO8=90。，

所以。4・OB=()，所以内工2+)'。2=°，

所以，一4，=0,

又48异于坐标原点。，所以y%w。，所以20,

所以，=4,

所以直线AB的方程为x=my+4,

22

且\AB\=\l\+nr\y2-y,|=5/l+w\l\6m+64=4不（而+4）

所以直线AB与x轴的交点为(4,0),

所以点M的坐标为(4,0),

所以直线。。的方程为x=--y+4,

m

9-

y~-4x

联立1j

x=——y+4

m

消才得，/+—y-16=0,

m

41A

方程），2+一丁-16=0的判别式A=r+64>0,

mnr

设。（七,％）,。（刍,%），则为+必=一2Y必=T6,

m

422

所以|CD|=7=64/M+1）（4/M+1），

m

由已知A4_LC£）,

所以四边形ACBD面积S=gx,8冈8|=8(〃，：2+4）（4〃5+1）,

设〃则4>。，s=J住业卫辿，

所以词笆士里士四

二8』4（/1+，1Y1+25心+，1+34,

AJ

由基本不等式可得九十工22,当且仅当4=1时等号成立，此时〃?=±1,

2

设〃=2+；,可得向^---------(25、

S=8425〃+34=8收〃+5

/t

所以当〃=2时，即m=±1时，S取最小值，最小值为80,

所以四边形AC8O面积的最小值为80.

【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的

方程联立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的

等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为。或不存在等特殊情形.

四、解答题（共6小题，共70分）

17.在川中，角所对的边分别为。也c,c=6Z（cosB+V3sinB）.

（1）求角A：

（2）若XBC的面积为且，且a=l,求的周长.

4

【答案】（1）B

6

⑵6+2

【解^5]

【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换化简题干条件，从而得解:

（2）利用三角形面积公式与余弦定理分别得到反与〃+,.2的值，从而求得〃+。，由此得解.

【小问1详解】

c=a(cosB+JJsin8),

由正弦定理得sinC=sinA(cosB+>/3sinB),即sin(A+B)=sinAcosB+百sinAsinB>

即sinAcosR+cos4sinB=sinAcosB+6sinAsinB./.cosAsinB=bsin>4sinB.

8£（0,兀）,.tsin8wO,

厂x/3

cosA=>/3sinA,「.tanA=——,

3

A€（0,7T）.：.A=\

【小问2详解】

=­/?csinA=—hcsin—=be=6，

ABC2264

又。=I,/,cosA=b+'----=—b1+c2=4，

2bc2

所以（〃+C）2=4+2〃C=4+2G=（退+1尸，即〃+c=J5+l（负值舍去）,

又。=1,所以-43c的周长为々+6+c=G+2.

18.已知数列｛〃”｝的首项4:1,且满足4Z+%=3X2".

（1）求证：｛q-2"｝是等比数列：

（2）求数列｛q｝的前项和S”.

【答案】（1）证明见解析

c[27-2,〃为偶数

（2）S"—[23-3,〃为奇数

【解析】

【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；

（2）先根据等比数列的通项公式可得知=（-1）"+2",再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求解.

【小问1详解】

因为M+I+。”=3X2",即。“+|=一凡+3X2",

/,n+,

-an+3x2-22〃-%

则%"

32”…二口一

又因为4=1,可得4-2|=-1*0,

所以数列｛4-2"｝表示首项为一1,公比为-1的等比数列.

【小问2详解】

由⑴知勺-2"=-1x(—1)=(-1)\所以。”=(一1)"+2".

所以"=4+出+…+4=(_1_2)+(1+22)+・・・+[(_1)〃+2”]

=2(2〃-1)-匕宇-，

.1_1

当〃为偶数时，可得S〃=2(2M-1x)--=2H+,-2；

当〃为奇数时，可得5〃=2（2"-1）一?=2.—3；

2向-2,〃为偶数

综上所述：5〃二

2向-3,〃为奇数

19.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日

为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查/100位年轻人，对这些人每

天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.

（1）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数X（单位：分钟）；（同一组数据用

该组数据区间的中点值表示）

（2）若年轻人每天阅读时间X近似地服从正态分布N（〃,100）,其中〃近似为样本平均数1，求

P（64<X<94）；

（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组

[50,60）,[60,70）,[80,90）的年轻人中抽取1（）人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位

干[80,90）的人数J的分布列和数学期望.

附参考数据：若,则①P(…vX«…)=0.6827；②尸(〃-2bvX«4+2J)=0.9545；③

-3b<X<〃+3b)=0.9973.

【答案】(1)74

(2)0.8186

(3)分布列见解析；期望为g

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；

(2)依据P(〃—5<XW〃+2»=P(64vXW94),利用正态分布的对称性计算即可；

(3)先由题意得到随机变量百的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即

可.

【小问1详解】

根据频率分布直方图得：

x=(55x0.01+65x0.02+75x0.045+85x0.02+95x0.005)xl0=74.

【小问2详解】

由题意知X〜N(74,100),即〃=74,b=10,

所以P(64<X<94)=P(〃-3<X<〃+26)=66827=08186

【小问3详解】

由题意可知［50,60),［60,70)和［80,90)的频率之比为：1：2:2,

故抽取的10人中［50,60),［60,70)和［80,90)分别为:2人，4人，4人,

随机变最&的取值可以为0,1,2,3,

C31c2C'1

p《=0）=演葭，P（"i）=3=w，

jo°jo乙

雄=2)=詈尸…噌

故《的分布列为:

40113

\_31

P

62To30

所以七（4）=0x‘+lxL+2xa+3x-!-=9.

6210305

20.如图所示，在三棱锥P—A8C中，已知R4_L平面A8C,平面PA8_L平面P8C.

（1）证明：3cl平面Q4B：

（2）若F4=A3=6,BC=3,在线段PC上（不含端点），是否存在点。，使得二面角4—AO—C的

余弦值为典，若存在，确定点。的位置；若不存在，说明理由.

5

【答案】（1）证明见解析

（2）存在；。是PC上靠近。的三等分点

【解析】

【分析】（1）过点A作A£J_心于点E,由面面垂直性质定理可得AEJ_平面尸3C,由此证明AE_L5C,

再证明24_L3C,根据线面垂直判定定理证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求平UACO,平面加的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件

列方程确定点。的位置；

【小问I详解】

过点人作4石_1,依于点E，

因为平面抬31,平面P3C,且平面P43c平面03C=尸8,AEu平面RW，

所以AE1.平面PBC,

乂8Cu平面03C,所以A£_LBC,

又B4_L平面ABC,3Cu平面P8C,

所以EA_LBC,

又因为AE】A4=A,AE,Hu平面

所以4cl平面

【小问2详解】

假设在线段夕。上（不含端点），存在点O,使得二面角5—AO—C的余弦值为巫,

5

以8为原点，分别以8C、84为x轴，）'轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系,

则4((),6,0),5(0,0,0),C(3,0,0),尸(0,6,6),

AC=(3,-6,0),A尸二(0,0,6),PC=(3,-6,-6),BA=(0,6,0),

设平面ACD的一个法向量为m-（x,y,z）,

〃!•AC=0,3x-6v=0,

即取x=2,y=1,z=0,

m•AP=0,6z=0,

所以〃z=（2,1,0）为平面ACD的一个法向量,

因为。在线段PC上（不含端点），所以可设PZ）=/lPC=（3Z-64-62）,

所以A。=AP+=(34-64,6—6A)，

设平面ABD的一个法向量为n=（x,y,z）,

凡,BA=0,6y=0,

即，

〃•A。=0,+(6-6A)z=0,,

取工=22—2,y=0,z=X,

所以〃=（2%—2,0,九）为平面至。的一个法向量,

2x(2/l-2)+lx()+0xA

cos(m,n

V5x^(2/l-2)2+22，又OvAvl,

2x(24-2)V10

由已知可得逐X,(24-2)2+分于

解得2=3或4=2（含去），所以，存在点。，使得二面角3—4）一。的余弦值为如,

35

此时。是尸C上靠近C的三等分点.

P

21.在平面直角坐标系x0y中，已知点耳（-6,0）、6（6,0）,△/耳鸟的内切圆与直线耳居相切于点

。（4,0）,记点M的轨迹为C.

（1）求。的方程；

（2）设点了在直线x=2上，过T的两条直线分别交。于A、8两点和P,Q两点，连接8P,4Q.若直线

AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0,试比较cos/BAQ与cosNBPQ的大小.

V22

【答案】（1）--一v匕=1（x24）

1620

（2）cosZBAQ=cos^BPQ

【解析】

【分析】⑴根据内切圆的性质得到6HM^=闺"一优°1=8＜闺闾=12,从而结合双曲线的定义

得到轨迹方程；

（2）根据条件设的8=%（公＞；）,kpQ=-k,A（N，yJ,6（毛,J，2），C（W，）’3），。（%”），根据

直线与双曲线方程的联立，由韦达定理得到%+%=,再看二（41-：'[+80,结合弦长公式

4k—54k—5

得到|刑|用=（1+公）祟从而证明|3|叫=|力4||叫，进而可得相似于-T3Q,由四点

共园的知以即可得到答案.

【小问1详解】

因为点片（一6,0）、鸟（6,0）,△历七工的内切圆与直线耳鸟相切于点0（4,0）,

所以|峙|一|照|=|耳。|一|舄。|=10-2=8V忻闾=12,

因此根据双曲线的定义可知，点M的轨迹为以6，£为焦点的双曲线的右支，

设点M的轨迹。的方程为巨1（z?>0,b>0）,焦距为2c（c>0）,

a~

所以忸名|=2c=12,*|=2a=8,

所以。=4,c=6,b2=c2—a2=20»

22

所以点例的轨迹方程C为三-二=1324）

1620

【小问2详解】

由题意，直线AB尸。的斜率互为相反数，记左.二人伏2>:），

则%=—％，A（x，x）,8（七,%），。（七，%），。（冷乂），

设7（2/）,则直线A8:y=-r-2）+f,PQ:y=-k（x-2）+t.

y=k（x-2）+t

联立直线和双曲线方程）,2_,

56-26-

整理得（20-166）/+（64公—32K）X—（8Z—41）2—320=0.

该方程有两个不等实根为,巧，

’20-16公工（）

则;△=（64公—32町2一4（20-16/）[一侬一41『-320]>0

16/一8匕（4%-2/产+80

根据韦达定理可得X+七二中2

4P-548一5

同Eif理