2024-2025学年天津市高三上册10月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年天津市高三上学期10月月考数学检测试题第Ⅰ卷（共三部分；满分150分）一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）1.集合，集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先解不等式求出集合，，再根据交集的定义求解即可．【详解】由，，则，即，故选：C.2.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】分别化简和,再根据充分、必要条件判断即可.【详解】因为在单调递增，且,所以，即因为，所以,即,所以存在两种情况：且，且，因此推不出,同样推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是（）价格2需求量12107A.商品的价格和需求量存在正相关关系 B.与不具有线性相关关系C. D.价格定为万元，预测需求量大约为【正确答案】D【分析】由散点图判断A，根据回归直线方程判断B，求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，令求出，即可判断D.【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A错误；由经验回归方程为，可知与具有线性相关关系，故A错误；又，，又经验回归直线方程必过样本中心点，则，解得，故C错误；当时，，所以价格定为万元，预测需求量大约为，故D正确．故选：D．4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】定义域为，且，所以函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B、D．又，故A错误.故选：C．5.已知，，，则（）.A. B. C. D.【正确答案】C【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断.【详解】因为，，，故.故选：C.6.已知，，为球的球面上的三点，圆为△的外接圆，若，则球的表面积为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】应用正弦定理求△的外接圆半径，再根据外接球球心与截面圆心距离与截面圆半径、球体半径间的几何关系求球的半径，进而求球的表面积.【详解】由正弦定理得：△的外接圆半径满足，解得．设球的半径为，由平面，得，∴球的表面积为．故选：．7.已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【正确答案】B【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答.【详解】抛物线：的焦点为，准线为：，令交于点，即有，由，直线的倾斜角为，得，则，，又，则为正三角形，，因此点，双曲线：过点的渐近线为，于是，解得，所以双曲线的离心率.故选：B8.函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（）A.B.函数图象关于点对称C.函数图象向右移（）个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为D.若，则函数的最大值为【正确答案】C【分析】利用二倍角公式化简可得，由最小正周期可求得，可判断A错误，将点代入验证可得B错误，由平移规则并利用其对称性可得C正确，由三角函数值域可得的最大值为，即D错误.【详解】易知；对于A，由最小正周期为可得，即可得，即A错误；对于B，由A可得，将代入检验可得，可得B错误；对于C，若将函数图象向右移（）个单位可得到，若的图象关于轴对称，则可得，即，又因为，则当时，的最小值为，故C正确；对于D，若，，即，所以函数最大值为，即D错误.故选：C9.如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（）A. B.C.存在最大值为9 D.的最大值为【正确答案】D【分析】将分别用表示，结合数量积的运算律计算判断AB；以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算计算判断CD.【详解】在边长为3的正中，，为的中点，则，对于A，由，得，则，A正确；对于B，，则，B正确；对于C，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，显然点在以为圆心，为半径的下半圆上，设，则，，由，得，则当时，取得最大值，C正确；对于D，由，得，即，因此，则，而，则当时，取得最大值，D错误.故选：D关键点点睛：本题C选项的关键是建立合适平面直角坐标系，再设，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分.10.已知复数满足（其中为虚数单位），则_______．【正确答案】【分析】由复数的运算得出，即可根据共轭复数的概念及模长计算得出答案.【详解】由，得，所以，故答案为.11.的展开式中的系数是______.(用数字作答)【正确答案】【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中的系数.【详解】的展开式的通项所以展开式中的系数是.故答案为.12.两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________．【正确答案】①##②.0.42##【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概率公式计算即可得第二空.【详解】由题意可知从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为；而来自不同家庭的概率为，则游戏成功的概率为.故；13.已知直线与圆相交于两点，且，则实数_______【正确答案】7【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可.【详解】根据题意，圆，即，其圆心为，半径，若，则圆心到直线即距离，又由圆心到直线的距离，则有，解可得.故答案为.14.若，且，则的最小值为______.【正确答案】5【分析】根据对数的换底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.【详解】因为，所以，解得或，因为，所以，则，即，因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立.故5.15.设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是________．【正确答案】，．【分析】设，结合题意可知函数在区间，内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解．【详解】由题意，函数与函数在区间，内恰有3个零点，设，即函数在区间，内恰有3个零点，当时，函数在区间，内最多有2个零点，不符合题意；当时，函数的对称轴为，，所以，函数在，上单调递减，在上单调递增，且，当，即时，函数在区间，上无零点，所以函数在，上有三个零点，不符合题意；当，即时，函数在区间，上只有一个零点，则当，时，，令，解得或，符合题意；当，即时，函数在区间，上有1个零点，则函数在，上有2个零点，则，即，所以；当，即时，函数在区间，上有2个零点，则函数在，上只有1个零点，则或或，即无解．综上所述，的取值范围是，．故，．本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：(1)直接法：令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16.在中，内角的对边分别为、、，已知，，.（1）求角的大小；（2）求边；（3）求的值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据题意由三角恒等变换可得，即可求出；（2）利用余弦定理计算即可得；（3）利用正弦定理可求得，再由二倍角公式以及两角和的正弦公式计算可求得结果.【小问1详解】因为，所以所以，因为，所以，所以又，所以；【小问2详解】中，由余弦定理及，，，可得，解得.【小问3详解】由正弦定理，可得.因为，故.因此，.所以17.如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面的夹角的大小；（3）求点D到平面的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出平面与平面夹角的大小；（3）求出平面的法向量，利用向量法求出点D到平面的距离．【小问1详解】以D为原点，为x轴，为y轴，过D作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以.【小问2详解】因为平面的法向量，又，设平面的法向量，则，取，设平面与平面夹角的大小为，，所以，所以平面与平面夹角的大小为；【小问3详解】，由（2）知平面的法向量，所以点D到平面的距离．18.已知椭圆：（）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且，直线：与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值.【正确答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）由题意，，又，求得椭圆方程；（2）联立方程组，得到韦达定理，，所以所以，解得.试题解析：（1）联立解得，故又，，联立三式，解得，，，故椭圆的标准方程为.（2）设，，联立方程消元得，，∴，，又是一个与无关的常数，∴，即，∴，.∵，∴.当时，，直线与椭圆交于两点，满足题意.19.设an是等比数列，bn是递增的等差数列，bn的前项和为（），，，，.（1）求数列an和b（2）将数列an与数列bn的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前（3）x表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围.【正确答案】（1），（2）（3）【分析】(1)设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式；(2)数列与数列都是递增数列，根据(1)可知在新数列中只有5项，其余45项为数列中项，分别计算数列前五项和与数列前45项和即可求解；(3)由，即可得，，令由值，可判断的单调性，计算出前五项，即可得的取值范围.【小问1详解】设等比数列的公比为，等差数列的公差为（），由已知条件得，即，解得.（舍去）或，所以，【小问2详解】数列与数列都是递增数列，，，，，，，新数列的前项和为：【小问3详解】，其中，所以，，集合，设，则，所以当时，，当时，.计算可得，，，，，因为集合有4个元素，.20.已知函数，.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（3）若有三个零点，，，且，求证.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；（2）首先不等式转化为恒成立，并判断，并根据函数的导数，讨论得到取值，判断函数的单调性，即可求解；（3）首先方程等价于，并构造函数，注意到1是函数的一个零点，转化为在0,+∞上有2个零点，并结合零点存在性定理求的取值范围，由，判断，将所证明不等式转化为，再利用，将不等式转化为，再构造函数，利用导数，判断函数的单调性，即可证明.小问1详解】由函数，可得f1=0且，则，曲线y=fx在1,f1处的切线方程为【小问2详解】当x∈1,+∞时，等价于，设，则，，（ⅰ）当，x∈1,+∞时，，故，在1,+∞上单调递增，因此；（ⅱ）当时，令得，.由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是.【小问3详解】由等价于，令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点，又由，令（），当时，恒成立，故这时