2024-2025学年天津市西青区高三上册第一次月考数学检测试卷1（含解析）

2024-2025学年天津市西青区高三上学期第一次月考数学检测试卷一､选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上，1.已知集合，，则（

）A. B.C. D.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.三个数，，的大小关系为（）A. B. C. D.4.已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）A. B.C. D.5.随着居民家庭收入不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：时间12345交易量（万套）0.81.01.21.5若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误是（）A.根据表中数据可知，变量与正相关B.经验回归方程中C.可以预测时房屋交易量约为（万套）D.时，残差为6.在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（）A. B. C. D.7.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.B.在上单调递增C.在上的最小值为D.直线是图象的一条对称轴8.已知双曲线：，圆与圆公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（）A. B.2 C. D.9.已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（）A. B.． C. D.二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题卡上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分.10.是虚数单位，复数________．11.的展开式中常数项是______．（用数字作答）12.袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为__________；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为__________.13.在中，已知，为线段的中点，若，则______．14.已知实数，，，则的最小值是______．15.已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________．三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.（1）求值；（2）求的值；（3）求的值.17.如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.18.已知椭圆的离心率为，左顶点与上顶点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且点不在轴上，线段垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线的方程.19.已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（1）求和的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和；（3）若数列满足：，证明.20.设函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数（i）当时，取得极值，求的单调区间；（ii）若存在两个极值点，证明.2024-2025学年天津市西青区高三上学期第一次月考数学检测试卷一､选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上，1.已知集合，，则（

）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】因为集合，，所以，故选：A.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.【详解】若，如，则，故充分性不成立；若，则，则，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.三个数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用函数的性质求出的范围，即得解.【详解】由题得，，.所以.故选：A本题主要考查指数对数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.【详解】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为R，对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D；对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C；对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B.故选：A.5.随着居民家庭收入的不断提高，人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温．某城市统计了最近5个月的房屋交易量，如下表所示：时间12345交易量（万套）0.81.01.21.5若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则下列说法错误的是（）A.根据表中数据可知，变量与正相关B.经验回归方程中C.可以预测时房屋交易量约为（万套）D.时，残差为【正确答案】D【分析】首先求出、，根据回归方程必过样本中心点求出参数，从而得到回归方程，再一一判断即可.【详解】对于B，依题意，，所以，解得，所以，故B正确；对于A，因为经验回归方程，，所以变量与正相关，故A正确；对于C，当时，，所以可以预测时房屋交易量约为（万套），故C正确；对于D，当时，，所以时，残差，故D错误.故选：D6.在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【详解】解：设正方体的棱长为，则，由于三棱锥的表面积为，所以所以所以正方体的外接球的半径为，所以正方体的外接球的体积为故选：．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B.在上单调递增C.在上的最小值为 D.直线是图象的一条对称轴【正确答案】D【分析】由平移变换内容得可判断A；求出的增区间可判断B；依据的范围即可求出的值域即可判断C；根据对称轴方程求解的对称轴方程即可判断D.【详解】对于选项A，由题意，可得，故A错误；对于选项B，令，，所以在上单调递增，故B错误；对于选项C，因为，所以，故，在上的最小值为0，故C错误；对于选项D，函数的对称轴方程为，化简可得，取，可得，所以是图象的一条对称轴，故D正确.故选：D.8.已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（）A. B.2 C. D.【正确答案】C【分析】两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率.【详解】因为，，所以两圆方程相减可得，由题意知的一条渐近线为，即，双曲线的离心率．故选：C．9.已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（）A. B.． C. D.【正确答案】D【分析】利用三角恒等变换化简得到，从而得到，根据函数极大值点的个数得到方程，求出答案.【详解】，，，函数在区间上恰有3个极大值点，故，解得.故选：D二､填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将正确的答案填写到答题卡上.试题中包含2个空的，答对1个空的得3分，全部答对的得5分.10.是虚数单位，复数________．【正确答案】##【分析】根据复数除法法则计算出答案.【详解】.故11.的展开式中常数项是______．（用数字作答）【正确答案】【分析】利用二项式展开式的通项公式求出指定项即可.【详解】由的展开式的通项得：，令，得，故．故答案为.12.袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为__________；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为__________.【正确答案】①.##②.##【分析】利用古典概型和条件概率公式计算即可.【详解】两次都摸到红球的概率为，第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率，可通过缩小样本空间得出.故；13.在中，已知，为线段的中点，若，则______．【正确答案】【分析】根据题意，由向量的线性运算公式可得，由平面向量基本定理可得、的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，在中，已知，则，由于为线段的中点，则，又，、不共线，故，，所以．故．14.已知实数，，，则的最小值是______．【正确答案】【分析】先利用基本不等式求得的最小值，进而求得的最小值，即可得到答案.【详解】由题意，设，又由，当且仅当时，即时等号成立，即的最小值为，所以的最小值是.故答案为.本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中先利用基本不等式求得的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.15.已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________．【正确答案】①.②..【分析】由函数的定义，求，由时，，当时，可得已知条件等价于在上恒成立，化简可求的范围．详解】由已知，若，则，所以，当时，，当时，，因为对恒成立；所以当时，恒成立，所以当时，恒成立，若，则当时，，矛盾，当时，可得恒成立，所以，所以t的取值范围是为，故，.三､解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，角，，的对边分别为，，.已知，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由余弦定理计算可得；（2）利用余弦定理计算可得；（3）首先求出，从而由二倍角公式求出、，最后由两角和的正弦公式计算可得.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，又，，由余弦定理，即，解得或（舍去），所以.【小问2详解】由余弦定理.【小问3详解】由（2）可得，所以，，又，所以.17.如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）.【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可；（2）根据（1）的结论及点到面的距离公式计算即可；（3）利用空间向量计算面面夹角即可.【小问1详解】以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，则.又，可得，因平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离.易知，则点A到平面的距离为.【小问3详解】易知，设平面的一个法向量为，则，即，令，则.设平面与平面的夹角为，则故平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知椭圆的离心率为，左顶点与上顶点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）点在椭圆上，且点不在轴上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）根据已知条件得出关于，再由以及可得出、的值，由此可得出椭圆的方程；（2）分析可知，直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为，设点，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，进而可求得线段的中垂线方程，进而可求得点的坐标，由为等边三角形可得出，可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：（1）由题意可知离心率，即可得，且，又，解得，，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】解：如下图所示：由题意可知A−2,0，结合图形可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为，因为点不在轴上，则，直线的方程为，设，联立可得，显然是方程的一个根，由韦达定理可得，则，所以，即，可得的中点为，所以直线的垂直平分线方程为，令，解得，即，若为等边三角形，则，即，整理得，解得或（舍），所以，，所以，直线的方程为或.关键点点睛：本题第（2）小问的关键在于设出直线的方程求出后，进一步求出点、的坐标，结合得出关于的方程求解.19.已知为等差数列，前项和为是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（1）求和的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和；（3）若数列满足：，证明.【正确答案】（1），；（2）；（3）证明见解析．【分析】（1）由等比数列的通项公式求得公比，即可得数列的通项公式，再结合等差数列的通项公式求出公差和首项后，即可得解；（2）利用裂项相消法即可得解；（3）真