2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-基本不等式（学生版）

专题16基本不等式

【知识点梳理】

知识点一：基本不等式

1、对公式仍及包心2府的理解.

2

(1)成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求。力都是正数；

(2)取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a=6时取等号”.

2、由公式片+/“必和巴心2疝可以引申出常用的常用结论

2

①2+旦22(。,〃同号)；

ab

②—I—<—2(a,Z?异号)；

ab

d2r-ra+bla2+b2八，八、一，，/a+b.,a2+从/八，八、

(3)---<y/ab<------<J----------(za>0,Z?>0)或a。W(----)2<------(a>0,Z?>0)

1J_2V222

ab

知识点诠释：可以变形为：疝(^^,而可以变形为：(一了.

知识点二：基本不等式上史的证明

2

方法一：几何面积法

如图，在正方形XBCZ)中有四个全等的直角三角形.

设直角三角形的两条直角边长为a、b,那么正方形的边长为，巧+户.这样,4个直角三角形的面积

的和是2",正方形ABCD的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：

片+〃22必.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=6时，正方形石人山缩为一个点，这时有

tz2+Z?2=2ab.

得到结论：如果〃,b£R+,那么4+从之2"（当且仅当a=b时取等号“=”）

特别的，如果a>0,b>0,我们用G、振分别代替a、b,可得：

如果a>0,b>Q,贝|4+人22而，（当且仅当a=b时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果a>0,b>0,4ab<—^（当且仅当a=b时取等号“=”）

2

方法二：代数法

'/a2+b2-2ab=（a-b）2>0,

当aw》时，（a-»2>o；

当a=6时，（a-6）2=0.

所以（/+廿）22H,（当且仅当a=6时取等号

知识点诠释：

特别的，如果。>0,b>0,我们用y、扬分别代替。、b,可得：

如果口>0,b>0,则a+622痣，（当且仅当°=6时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：

如果a>0,b>0,疝V色丑，（当且仅当“=6时取等号

2

知识点三：基本不等式施V里的几何意义

2

如图，/由是圆的直径，点C是至上的一点，AC=a,BC=b,过点C作。CLAB交圆于点。，连

接AD、BD.

易证RtAACD~RfADCB,那么CE)2=C4-C3,即C£>=痣.

这个圆的半径为小,它大于或等于CD,即*2，而，其中当且仅当点C与圆心重合，即。=6

22

时，等号成立.

知识点诠释：

1、在数学中，我们称巴也为的算术平均数，称痣为的几何平均数.因此基本不等式可叙述

2

为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2、如果把小看作是正数a1的等差中项，/而看作是正数。力的等比中项，那么基本不等式可以叙

2

述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

知识点四：用基本不等式信4©求最大（小）值

2

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；

②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；

③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.

知识点诠释：

1、两个不等式：4+。222仍与巴吆2痣成立的条件是不同的，前者要求a,6都是实数，后者要求

2

a,b都是正数.

2、两个不等式：4+2仍与空府都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取"=”号

2

这句话的含义要有正确的理解.

3、基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使

用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项

的“和”为定值,则“积''有最大值.

4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和（或积）为定值;

③各项能取得相等的值.

5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行:

①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

③在定义域内，求出函数的最大或最小值；

④写出正确答案.

【题型归纳目录】

题型一：对基本不等式的理解及简单应用

题型二：利用基本不等式比较大小

题型三：利用基本不等式证明不等式

题型四：利用基本不等式求最值

题型五：利用基本不等式求解恒成立问题

题型六：基本不等式在实际问题中的应用

【典例例题】

题型一：对基本不等式的理解及简单应用

例1.（2023.上海静安.高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（）

①已知a,6eR,则口=2成立；

ab\ab

44I

②已知x£R且1W0,贝！J|1+—1=1X|+1—2X|•I—|=4成立；

XX\X

③已矢口xwR,则Jx，+2+1的最小值为2；

④已知a,6eR,ab<0,贝1]2+q=-(-2+*)«-2/-2)-(-与=一2成立.

ababyab

A.1个B.2个C.3个D.4个

例2.（2023•四川绵阳•高一校考开学考试）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了

后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证

明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点C在直径AB上，且设

AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

F

如；〃

A.2V^F(>0,b>0)B.a2+b2>2y[ab(a>0,Z?>0)

na+bla2+b2

C.<y[ab(a>0,Z?>0)D.-——<1--(«>0,/7?>0)

a+b

例3.（2023•高一课时练习）现有以下结论：

①函数y=x+'的最小值是2；

X

hn

②若〃、Z?£R且ab>0f则—1-->2；

ab

③y=-Jx2+3+j]+3的最小值是2；

④函数y=2-3x-：（x>0）的最小值为2-4g.

其中，正确的有（）个

A.0B.1C.2D.3

变式1.（多选题）（2023・全国•高三专题练习）下列推导过程，正确的为（）

A.因为。、b为正实数，所以3/口=2

ab\ab

B-因为所以”>1

C.a<0,所以t+aN2.=4

aVa

D.因为x、jeR,xy<0,所以'十2=—

y%

变式2.（多选题）（2023・湖北武汉•高一湖北省武昌实验中学校考阶段练习）下列推导过程，正确的为（）

A.因为a,6为正实数，所以2+：N2L=2

ab\ab

B-因为XCR'所以

4

C.因为aVO,所以—+位2

a

D.因为X、yeR,xy<0,所以:+!=_<-2

题型二：利用基本不等式比较大小

例4.（2023・湖南张家界•高一张家界市民族中学校考阶段练习）设0<。<N则下列不等式成立的是（）

A.y[ab<a+^<a<bB.a<a*。<<b

22

C.4ab<a<a+^<bD.a<yfab<"\"<b

22

例5.（2023•河南郑州•高一校考阶段练习）若Ovav。，则下列不等式成立的是（）

A.y[ab<a<a+<bB.y/ab<a+^<a<b

22

C.a<y[ab<a+^<bD.a<a+^<-fab<b

22

例6.（2023•浙江宁波•高一镇海中学校考期中）已知。>b>0,则（）

A7n11

A.ac2>be91B.------<—

a-ba

C.ci—>b—D.---------->y]cib

baa+b

变式3.（2023•山东青岛•高一青岛二中校考期中）设正实数〃、b满足。+8=1,则下列结论正确的是（）

A.《ab«—B.a?+。22—Q.-------1—23D.+yfbV2

422ab

变式4.（2023・北京•高一北京四中校考阶段练习）对于实数〃，仇c有下列命题：

①若a>b,则ac<be

②若ac2>bc2,则a>b；

③若a<b<0,则<-y[ab；

2

④若c>a>b>0,贝！J——>b.

c-ac-b

则其中真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

变式5.（2023•高一课时练习）已知a、6为正实数，A=^-,—=~+^-,G=4ab,贝1（）

2Hab

A.G<H<AB.H<G<A

C.G<A<HD.H<A<G

题型三：利用基本不等式证明不等式

例7.（2023•全国•高一专题练习）已知〃>0,b>0,且〃+A=l,求证：（1+11+|>9.

例8.（2023•新疆乌鲁木齐・高一乌鲁木齐市第70中校考期末）已知。是正实数.

9

⑴若4〃+6=2血证明：a+b>~；

（2）证明：a+b+c>yfab+y[bc+^fac.

hecnnh

例9.（2023•安徽芜湖—'校考阶段练习）已知〃>0,b>0,。>0,求证：H>a+b+c.

abc

变式6.（2023•陕西榆林•高一统考期末）已知a>0,b>0.

（1）若6=6-1,求2的最大值；

aa

⑵若々2+962+2必=々2〃2,证明：ab>8.

题型四：利用基本不等式求最值

例10.（2023•广东惠州•高一统考期末）已知〃>0,^>0,且a+b=4,则的最大值为

例11.（2023•陕西汉中•高一校联考期末）若满足尤2+y2=1+孙，则9+产的最大值是.

例12.（2023・北京•高一校考阶段练习）已知x,y都为正数，且2尤+y=l,则

①2口的最大值为：②4/+丁的最小值为:

③x（x+y）的最大值为:④5+；的最小值为3+2夜

所有正确的序号是.

变式7.（2023•广东汕头•高一金山中学校考期中）已知正实数满足4"+b=18,则,+工的最小值为

ab

变式8.（2023•全国•高一专题练习）已知x>0,y>0,若x+3y+4孙=6,则x+3y的最小值为.

41

变式9.（2023•湖南邵阳•高一统考开学考试）若x>l,y>2,且x+y=6,则--+—^的最小值为

x-1y—2

1A

变式10.（2023•高一校考课时练习）正实数a,6满足。+36-6=0,则一^+丁不的最小值为______.

a+138+2

X+V

变式11.（2023・高一课时练习）若兀>0,y>0,且盯=100,则一21的最小值为.

2

变式12.（2023・全国•高一专题练习）若〃>0,且a+2Z?=0,则丁+1的最小值为______.

b

变式13.（2023•云南保山•高一校联考阶段练习）若无>0,则x+■的最小值为.

X

变式14.（2023•浙江杭州•高一杭师大附中校考期末）已知a>0力>0,且必=1,则工+乙的最小值为

a2b

变式15.（2023•陕西咸阳•高一校考阶段练习）已知a,beR+,且而=4,则2a+b的最小值为

变式16.（2023•云南昆明•高一统考期末）a>0,b>0,且必=9a+b,则漏的最小值为.

变式17.（2023・四川眉山・高一校考期末）已知尤>1,则/⑺=无+工的最小值是

变式18.（2。23・上海宝山・高一上海市吴淞中学校考阶段练习）若…，则”的最小值为----------

变式19.（2。23.天津.高一统考期末）若则"+1的最小值为

变式20.（2023・云南昆明•高一统考期末）已知a>0,b>0,若防+2«+6=14,则a+6的最小值为

变式21.（2023•全国•高一专题练习）函数y='=二（x>2）的最小值为

x—2

Vx+3的最小值为

变式22.（2023・安徽滁州•高一校考期中）已知x>1

X—1

丫2Iy_C

变式23.（2023・全国•高一专题练习）函数y="（%>2）的最小值为

x-2

变式24.（2023・江苏常州・高一江苏省前黄高级中学校考开学考试）已知实数a>O,b>-lS.a+b^l,则

工+上的最小值为_____.

ab+1

变式25.（2023・上海宝山•高一上海交大附中校考阶段练习）已知a、beR,且/+4^=1,则曲的最大值

是.

13

变式26.（2023•江苏常州•高一华罗庚中学校考阶段练习）己知a+b=2,且a,beR+,a>b,则--+—

a—b2b

的最小值为.

题型五：利用基本不等式求解恒成立问题

例13.（2023・广东深圳•高一校考阶段练习）为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建

造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠

墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价

共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为x米。Wx«6）,公司整体报价为，元.

（1）试求y关于*的函数解析式；

（2）公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用.

例14.（2023・四川成都・高一中和中学校考开学考试）为了力口强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在

学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园

警务室住于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每

平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子

的左右两面墙的长度均为尤米（34x46）.

（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；

（2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为+元（。＞造,若无论左右

X

两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.

例15.（2023•全国•高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻

新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本

是8万元，设每年的管理费用为丁万元与总座椅数x千套，两者满足关系式：15年

的总维修费用为80万元，记w为15年的总费用.（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）.请

问当设置多少套座椅时，15年的总费用w最小，并求出最小值.

变式27.（2023・山西太原•高一校联考阶段练习）某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平

面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/

米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为无米，写出泳池的总造价/（%）,问泳

池的长为多少米时，可使总造价最低，并求出泳池的最低造价.

X

题型六：基本不等式在实际问题中的应用

41

例16.（2023•辽宁沈阳•高一统考期末）已知实数a,b满足3。+7=1,若对于Va,beR+，—+36>〃?恒成

ba

立，则实数机的取值范围是.

_14

例17.（2023・安徽•高一淮北一中校联考开学考试）已知正数x,y满足x+y=l,若不等式一+―>机对任意

xy

正数x,y恒成立，则实数相的取值范围为.

21

例18.（2023・广东广州•高一校考期末）已知x>0,y>0,且一+—=1,若2x+y>加恒成立，则实数加的

xy

取值范围是.

变式28.（2023•北京•高一校考阶段练习）对任意正实数无,V,不等式x+4y»必屈恒成立，则实数加的取

值范围是.

9

变式29.（2023・全国•高一假期作业）已知x>2,若无+一病-恒成立，则实数机的取值范围是

变式30.（2023・上海宝山•高一校考期中）已知/+丁=4,若不等式无+>+左？0对一切实数x、V恒成立，

则实数%的取值范围是.

21m

变式31.（2023•江苏徐州・高一徐州市第七中学校考阶段练习）若对任意a>0,b>0,不等式士+^^丁夫

ab2a+b

恒成立，则加的取值范围是.

变式32.（2023・湖南邵阳•高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）对任意正数XJ,不等式

―+—?W左恒成立，则实数左的取值范围是_________.

3x+yx+3y

13in

变式33.（2023•辽宁沈阳•高一沈阳市第十一中学校考期中）已知。>0,b>0,若不等式一恒成

ab2a+b

立，则实数机的最大值为.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•高一课时练习）若x>4,则y=x的最值情况是（）

%-4

A.有最大值-6B.有最小值6C.有最大值-2D.有最小值2

2.（2023•高一课时练习）函数y=2x+，（尤>0）的最小值为（）

X

A.2B.2A/2C.3D.4

3.（2023・高一课时练习）已知羽ywR+,%+y=2,。=孙,那么c的最大值为（）

A.1B.1C.@

D.-

224

4

4.（2。23・广东深圳•高一深圳外国语学校校考期中M+j的最小值等于（）

A.3B.-C.2D.无最小值

2

5.（2023・高一课时练习）已知0<x<l,则当无（5-5x）取最大值时，x的值为（）

A.-B.；C.—D-1

423

6.（2023•高一课时练习）若对任意x>0,d+5尤2+4尤2加恒成立，则实数。的取值范围是（

A.a>5B.5<a<9C.a<5D.a<9

1?

7.（2023-IWJ—*课时练习）已知相>。,〃=1,则—1—的最小值为（）

mn

A.4B.3+20C.40D.2+2有

8.（2023・高一课时练习）下列使用均值不等式求最小值的过程,正确的是（）

A.若a,6wR,则2+与2也3=2

ab\ab

B.若无eR+,则由尤+」一N2j(x+l)—1--1=1知，x的最小值为1

x+1Vx+1x+1

C.若％cR-,则x+32一2jx.9二一4

XVX

D.若孙=1,则/+丫222卬|=2

二、多选题

9.（2023•江苏扬州•高一校考阶段练习）以下四个命题，其中是真命题的有（）

A.若。<6<0,贝!

ab

B.若a>6>0,则々Z?+]>2h

a+la

C.若x>0,则函数y=2+3无+工的最小值为4石-1

x+1

D.若〃>0,b>0,a+b=2,贝!!'+」的最小值为4

ab

10.（2023•高一平湖市当湖高级中学校联考期中）设。>01>0,且6+3=1,贝|J（）

2a

A.0<Z?<lB.a+b>\

C.a-处的最小值为0D.a+1的最小值为j+3

b2

11.（2023•湖南邵阳•高一武冈市第二中学校考阶段练习）已知正数羽>满足x+y=2,则下列选项正确的是

（）

A.^+一的最小值是2B.冲的最大值是1

xy

C.无2+y2的最小值是4D.x（y+l）的最大值是2

12.（2023・福建泉州.高一石狮市第一中学校考期中）下列说法正确的是（）

A.若a>6,则工<1

ab

B.若正数a、b满足a+6=l,则工+。的最小值为4