2024年中考数学复习训练：解直角三角形的应用

2024年中考数学专题训练

解直角三角形的应用

1.某数学实践小组测量某古塔A8,如图，8是一个斜坡，坡面8的坡度为：j=l:2,

在斜坡点C处测得塔顶A处的仰角为45。，古塔48与水平地面8。垂直，测得Cr>=20米,

BD=5米,求古塔AB的高.（结果精确到0.1米.已知点A、B、C、。都在一个平面中，参

考数据：y/5«2.24）

2.近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了如图1所示的

护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱3C=18cm,灯臂

CD=31cm,灯罩DE=24cm,BC±AB,CD、DE分别可以绕点C、。上下调节一定的角

度.

⑴若将8绕点C转动使得ZBCD=135。，CO与DE之间的夹角/CDE=105。，求点C与点

E之间的水平距离；

（2）经使用发现：当E点到水平桌面的距离为41cm—43cm时，台灯光线最佳.当/DCS=140。,

且//AB时,试通过计算说明此时光线是否最佳.（精确到0.1cm,参考数值：sin50°«0.77,

cos50°«0.64,tan50°«1.19)

3.“忠义”是构成中华民族精神特质和文化品格的重要组成部分，东汉名将关羽是中华传统

忠义文化的代表和典范.如图1所示是坐落于山西运城常平村关公故里的“关帝圣像”.关帝

一手提青龙偃月刀，一手捋美髯飘须，伟岸挺拔，分外壮观，某数学兴趣小组开展了测量“关

帝圣像”雕塑高度的实践活动.具体过程如下：如图2,“关帝圣像”雕塑A3位于垂直地面的

基座上，基座高19m,身高1.7m的小明DE在雕塑前方的。处测得“关帝圣像”头顶A

的仰角为68。，测得“关帝圣像”脚底B的仰角为29。，求“关帝圣像”雕塑A8的高度.（A氏C

三点在同一直线上，ACLCD,结果精确到1m.参考数据：

sin29°x0.48,cos290»0.87,tan29°®0.55,sin68°®0.93,cos68°=0.37,tan68°®2.48）

ffll

4.科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点8处发出，经水面点E

折射到池底点A处.已知距与水平线的夹角a=36.9。，点3到水面的距离BC=1.20m,点

A处水深为1.20m,到池壁的水平距离AD=2.50m,点3,C,。在同一条竖直线上，所有

点都在同一竖直平面内.记入射角为夕，折射角为7,求人的值（精确到0」，参考数据：

sin/

sin36.9°®0.60,cos36.9°»0.80,tan36.9°«0.75）.

5.乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为碎框架式结构，造型独特

别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹.某校数学兴

趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度48的实践活动.A为乾元塔

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的顶端，AB13C,点C,O在点8的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角仪（即CE=1.6

米）测得A点仰角为37。，向西平移14.5米至点。，测得A点仰角为45。，请根据测量数据，

求乾元塔的高度AB.（结果保留整数，参考数据：sin37°»0.60,cos37°®0.80,tan37°«0.75）

图1图2

6.图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆人3C,活动杆AD可绕

点A旋转，8为液压可伸缱支撑杆，已知AB=10cm,3c=20cm,AD=50cm.

（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆8的长度（结果保留根号）；

（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度。，且tana（a为

锐角），求此时可伸缩支撑杆8的长度（结果保留根号）.

7.如图，有一条河流自北向南穿过某公园，河流的上游有一座桥梁8,A地和2地都有休

闲步道与桥梁8相连.为方便市民游览，在河流的下游新建了桥梁EF和休闲步道反，BF

（点A,E,F,B在同一水平直线上），桥梁所与桥梁8平行，且EF=1.5CD.经过测量，

桥梁8的一端C在A地的北偏东65。方向，另一端3在8地的北偏西45。方向，8地在A

地的正东方向.A,B两地相距870米，A,C两地相距650米.

⑴求桥梁所的长度；（结果精确到0.1米，参考数据：sin65°®0.91,cosc65°»0.42,

tan65°»2.14）

⑵周末，小明和爷爷在公园里游玩，他们同时从A地向B地出发，小明的路径为A-CTDTB,

平均速度为100米/分钟；爷爷的路径为平均速度为70米/分钟.请判断，谁

先到达B地？并说明理由.（参考数据：0^1.41）

8.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点尸恰好

看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离2Q=4m,仰角为a；淇淇向前走了3m后到达

点、D,透过点P恰好看到月亮，仰角为口，如图是示意图.已知，淇淇的眼睛与水平地面8。

的距离A3=CD=1.6m,点P到8。的距离P0=2.6m,AC的延长线交PQ于点E.（注：

图中所有点均在同一平面）

（1）求用的大小及tanc的值；

（2）求CP的长及sinZAPC的值.

9.如图1是一款不倒翁玩偶，如图2是该玩偶的主视图，其中半圆。与直线机相切于点C,

直径即〃“，且BD=10cm,ZABD=ZEDB=10°,/BAG=NDEF=40。,线段AG,EF

的延长线过圆心。.

图1图2图3图4

⑴求点A到直线机的距离；

（2）如图3是该玩偶的内部结构，已知线段GB的中点H在。上，在点”处悬挂了一个

小铃铛，小铃铛左右两侧对称的位置安装金属板跖V和尸Q,点、N,Q在半圆0上.当不

倒翁正立时，小铃铛恰好位于圆心。处；当不倒翁倾斜置小铃铛刚好碰到右侧金属板P。时

（如图4）,点。与切点C重合，此时悬线.所在直线与直线，"垂直.已知两块金属板之

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间的距离NQ与线段G/的长相等，悬线H0的长为5cm,小铃铛的摆动角度为21。，求此时

小铃铛O'与直线机的距离.(结果精确到Qlcm,参考数据：sin70°«0.94,cos70°®0.34,

tan70°®2.75,sin21°«0.36,cos21°®0.93,tan21°«0.38)

10.如图，小刚利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度MN.在桥面观测点A

处测得某根立柱顶端〃的仰角为30。，测得这根立柱与水面交汇点N的俯角为15。，向立柱

方向走40米到达观测点8处,测得同一根立柱顶端M的仰角为60。.已知点A,B,C,M,

N在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面.(参考数据：sinl5°»0.26,

cos15。=0.96,tan15°«0.27,73«1.73）

(1)求大桥立柱在桥面以上的高度MC(结果保留根号)；

(2)求大桥立柱在水面以上的高度MN(结果精确到1米).

11.如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形A3CD由支撑杆GE垂

直固定于底座上，其中BC=2cm,GE=1.5cm,压杆Cb=6cm,ZFCD=150°,使用

过程中矩形ABC。可以绕点E旋转.

图1

(1)订书机不使用时，如图2,AB//MN,求压杆端点下到底座的距离;

(2)使用过程中，当点3落在底座上时，如图3,测得NGBE=15。，求压杆端点尸到底

座MN的高度.

（参考数据：sin15°®0.26,cos15°«0.97,结果精确到0.1cm）

12.一天早上，小刚和小明利用无人机测量物体的高度.如图，某高楼又。上有一个信号发

射塔当无人机飞行至地面正上方的A处时，测得塔顶端尸的仰角a为37。，此时无人

机离地面的距离儿?=18米；无人机继续向前水平飞行至。处，测得塔顶端尸的仰角夕为64。,

此时无人机离地面的距离CD=18米.己知BC=25米，点&C、。在同一条直线上，求发

射塔顶端到地面的高度(即PQ的高度)为多少？(参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,

tan37°«0.75,sin640»0.90,cos64°»0.44,tan64°®2.00)

13.如图，大坝横截面的迎水坡AD的坡比为4:3,背水坡BC的坡比为1:2,大坝高上=40

米，坝顶宽CO=15米，

(1)求大坝横截面的面积；

(2)求大坝横截面的周长.(坡比指斜坡竖直距离与水平距离的比值)

14.如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B,。两港运送物资，最后到达A港正

东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏

东60。方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60。方向航行一定距离到达。港,

再沿南偏东30。方向航行一定距离到达C港.(