2024年中考数学试题分类汇编：图形的平移与旋转（二）

2024年中考数学真题知识点分类汇编之图形的平移与旋转（二）

选择题（共9小题）

1.平面坐标系xOy中，点A的坐标为（-4,6）,将线段OA绕点。顺时针旋转90°,则点A的对应点A'

2.在平面直角坐标系中，点尸（1,2）关于坐标原点的对称点P'的坐标为（）

A.（-1,-2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.（1,2）

3.点、P（a,-3）关于原点对称的点是P（2,b）,则a+b的值是（）

A.1B.-1C.-5D.5

4.2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的

变化，指导农事活动.下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图

形的是（）

5.用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

6.在平面直角坐标系xOy中，点尸（1,-4）关于原点对称的点的坐标是（）

A.（-1,-4）B.（-1,4）C.（1,4）D.（1,-4）

7.如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角

三角形和一个小正方形组成.在正方形ABC。中，AB=10.下列三个结论：①若tan/A。尸=系则所

=2；②若Rt^ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点尸是AG的三等分点；③将△ABG绕点A

逆时针旋转90。得到△AOG,则BG'的最大值为54+5.其中正确的结论是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理.“赵

爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（）

C.既是轴对称图形又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形

9.如图，在平面直角坐标系中，D(4,-2),将Rtz\OCD绕点。逆时针旋转90°到△049位置.则点

二.填空题(共6小题)

10.如图，在△ABC和△&£)£1中，AB=AC,ZBAC=ZDAE=40°,将△AQE绕点A顺时针旋转一定角

度，当AO〃8C时，的度数是.

A

BC

1

11.如图，在中，ZACB=90°,tanZBAC=BC=2,AD=l,线段AO绕点A旋转，点尸

为CD的中点，则BP的最大值是.

12.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CA=C2=3,线段C£>绕点C在平面内旋转，过点B作的

垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为,最小值

为__________________.

C

/<KE

D

AB

13.一副三角板如图1摆放，把三角板AO8绕公共顶点。顺时针旋转至图2,即时，/I的大小

14.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2五,点。是AC的中点，连接8。，将△BCO绕点8

旋转，得到△BEF.连接CF,当C尸〃AB时，CF=.

15.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a(a>0)个单位，再绕原点按逆时针方向旋转

8角度，这样的图形运动叫做图形的p(a,0)变换.如：点A(2,0)按照p(1,90°)变换后得到

点A的坐标为(-1,2),则点B(V3,-1)按照p(2,105°)变换后得到点3的坐标

为.

三.解答题(共8小题)

16.如图1,在等腰Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=CB,点。，E分别在AB,CB_L,DB=EB,连结

AE,CD,取AE中点R连结BF.

(1)求证：CD=2BF,CDLBF-,

(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.

①请直接写出与C£>的位置关系：；

②求证：CD=2BF.

图1

17.数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在RtAABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,

点。在直线上，将线段绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,过点E作E/〃BC,交直线AB

于点F.

(1)当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF=AB；

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM=EF,

连接DM,通过证明两个三角形全等，最终证出结论：

推理证明：写出图①的证明过程：

探究问题：

(2)当点。在线段8C的延长线上时，如图②：当点。在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并

直接写出线段8。，EF,之间的数量关系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的条件下，若AC=6W，CD=2BD,则EP=.

18.如图是由小正方形组成的3X4网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC三个顶点都是格点.仅

用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

(1)在图(1)中，画射线AD交BC于点。，使AD平分△ABC的面积；

(2)在(1)的基础上，在射线A£)上画点E,使

(3)在图(2)中，先画点凡使点A绕点厂顺时针旋转90°到点C,再画射线AF交BC于点G；

(4)在(3)的基础上，将线段A8绕点G旋转180°,画对应线段(点A与点M对应，点8与点

问题情境

在一次综合与实践课上,老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象.纸片△ABC和

△QEF满足/ACB=NEDF=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.

下面是创新小组的探究过程.

操作发现

(1)如图1,取AB的中点。，将两张纸片放置在同一平面内，使点。与点尸重合.当旋转ADEF纸

片交AC边于点X、交2C边于点G时，设48=尤(1＜尤＜2),BG=y，请你探究出y与x的函数关系

式，并写出解答过程.

问题解决

(2)如图2,在(1)的条件下连接G”，发现△CGH的周长是一个定值.请你写出这个定值，并说明

理由.

拓展延伸

(3)如图3,当点尸在AB边上运动(不包括端点A、B),且始终保持NAEE=60°.请你直接写出△

DEF纸片的斜边EF与AABC纸片的直角边所夹锐角的正切值(结果保留根

0(F)

图1图2图3

20.已知NMAN=a(0°<a<45°),点B,C分别在射线AN,AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转

180°-2a得到线段过点。作AN的垂线交射线4W于点E.

(1)如图1,当点。在射线AN上时，求证：C是AE的中点;

(2)如图2,当点。在NMAN内部时，作。尸〃AN,交射线AM于点R用等式表示线段EF与AC的

数量关系，并证明.

A

图1图2

21.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的

交点)A,B,C,。的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).

(1)以点。为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△4B1C1,画出△4B1C1；

(2)直接写出以Ci,B\,C为顶点的四边形的面积；

(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分/8AC,写出点E的坐标.

4

22.在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。为直线8C上任意一点，连接AD将线段绕

点。按顺时针方向旋转90°得线段即，连接BE.

【尝试发现】

(1)如图1,当点。在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为；

【类比探究】

(2)当点。在线段的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CZ)的数量关系并证

明；

【联系拓广】

(3)若AC=8C=1,CD=2,请直接写出sin/ECD的值.

23.在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=BC,过点2作BD〃AC.

(1)如图1,若点。在点8的左侧，连接C。，过点A作AELCZ)交8C于点E.若点E是BC的中点，

求证：AC=2BD；

(2)如图2,若点。在点8的右侧，连接A。，点歹是的中点，连接8尸并延长交AC于点G,连

接CF.过点/作尸交A8于点M,CN平货NACB交BG于点、N,求证：AM=CN+华BD；

(3)若点。在点8的右侧，连接A。，点歹是的中点，且AC.点P是直线AC上一动点，连

接尸尸，将FP绕点P逆时针旋转60°得到厂。，连接8Q,点R是直线A。上一动点，连接酸，QR.在

点P的运动过程中，当8。取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR,连接FT.在

点R的运动过程中,

图2备用图

2024年中考数学真题知识点分类汇编之图形的平移与旋转（二）

参考答案与试题解析

一.选择题（共9小题）

1.平面坐标系xOy中，点A的坐标为（-4,6）,将线段OA绕点0顺时针旋转90°,则点A的对应点A'

【考点】坐标与图形变化-旋转；全等三角形的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】B

【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质求解.

【解答】解：过A作ACLy轴于点C,过A'作A'轴于点8,

则：AC=4,CO=6,ZACO=ZA'30=90°,

AZA+ZAOC=ZAOC+ZCAA'=90°,

ZA=ZCOA',

\'AO=A'O,

：.AAOC^AA7OB（AAS）,

"B=AC=4,OB=OC=6,

：.A'（6,4）,

【点评】本题考查了坐标与图形变换-旋转，掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键.

2.在平面直角坐标系中，点尸（1,2）关于坐标原点的对称点尸'的坐标为（)

A.（-1,-2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.（1,2）

【考点】关于原点对称的点的坐标.

【专题】平移、旋转与对称；符号意识.

【答案】A

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可.

【解答】解：•••点P（1,2）,

.•.关于坐标原点的对称点P'的坐标为（-1,-2）.

故选：A.

【点评】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相

反，即点尸（尤，y）关于原点。的对称点是尸'（-尤，-y）是解题的关键.

3.点PQ,-3）关于原点对称的点是P'（2,b）,则a+b的值是（）

A.1B.-1C.-5D.5

【考点】关于原点对称的点的坐标.

【专题】平面直角坐标系；推理能力.

【答案】A

【分析】关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数.

【解答】解：：点尸（。，-3）关于原点对称的点是P'（2,6）,

；.a=-2,b—3,

••a+61,

故选：A.

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，掌握关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数是解

题的关键.

4.2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的

变化，指导农事活动.下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图

形的是（）

1/

A.B.

【考点】中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】D

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就

叫做中心对称图形，由此即可判断.

【解答】解：A、B、C中的图形不是中心对称图形，故A、B、C不符合题意；

D、图形是中心对称图形，故。符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义.

5.用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【考点】中心对称图形；截一个几何体；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】D

【分析】常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.根据中心对称图形与轴

对称图形的概念，进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图

形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相

重合，这个图形叫做轴对称图形.

【解答】解：A.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、

正方形、长方形等等，关键是中心对称图形与轴对称图形概念的应用.

6.在平面直角坐标系xOy中，点尸(1,-4)关于原点对称的点的坐标是()

A.(-1,-4)B.(-1,4)C.(1,4)D.(1,-4)

【考点】关于原点对称的点的坐标.

【专题】平面直角坐标系；符号意识.

【答案】B

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案.

【解答】解：在平面直角坐标系尤Oy中，点尸(1,-4)关于原点对称的点的坐标是(-1,4).

故选：B.

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律.

7.如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角

三角形和一个小正方形组成.在正方形ABC。中，AB=10.下列三个结论：①若tan/A。尸=梳，则所

=2；②若RtAABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点尸是AG的三等分点；③将AMG绕点A

逆时针旋转90。得到△AOG,则BG'的最大值为54+5.其中正确的结论是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考点】旋转的性质；解直角三角形；勾股定理的证明.

【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】根据尸的正切值，结合勾股定理可求出EF的值.根据的面积与正方形EFGH面

积之间的关系，得出关于AG和PG的方程，据此可解决问题.得出点G'的运动轨迹即可解决问题.

【解答】解：在尸中，

,AF3

tanZADF=而=笛

令AP=3x,DF=Ax,

则(3无)2+(4%)2=1()2,

解得x=2(舍负)，

所以AF=6,DF=8.

因为外部的四个直角三角形全等，

所以DE=A广=6,

所以EF=8-6=2.

故①正确.

因为RtAABG的面积是正方形EFG”面积的3倍,

1

所以-BG•4G=3FG2.

2

因为BG=AF=AG-FG,

所以a(XG-FG)-AG=3FG2,

整理得，

eFCP+FG-AG-AG2=0.

则6袭产+第一1=0,

FG1

解得77=7(舍负)，

AG3

则点尸是AG的三等分点.

故②正确.

由旋转可知，

ZAG'D=ZAGB=90°,

所以点G'在以A。为直径的圆上.

在RtZXABM中，

BM=V52+102=5V5.

当点8,M,G'共线时，BG'取得最大值，

此时8G'=5V5+5.

故③正确.

故选：D.

【点评】本题考查旋转的性质、勾股定理及解直角三角形，熟知图形旋转的性质及勾股定理是解题的关

键.

8.我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理.“赵

爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（）

C.既是轴对称图形又是中心对称图形

D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形

【考点】中心对称图形；勾股定理的证明；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】B

【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心,

旋转180度后与原图重合，结合选项分析即可.

【解答】解：“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形.

故选：B.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解题的关键.

9.如图，在平面直角坐标系中，D(4,-2),将RL^OCO绕点。逆时针旋转90°到△OAB位置.则点

【考点】坐标与图形变化-旋转.

【专题】平面直角坐标系.

【答案】A

【分析】根据点。的坐标得出OC=4,CD=2,根据旋转得出OA=OC=4,AB=CD=2,从而得到B

的坐标为(2,4).

【解答】解：(4,-2),

；.OC=4,CD=2,

:旋转，

：.OA=OC=4,AB=CD=2,

：.B(2,4),

故选：A.

【点评】本题考查了坐标系中旋转的特点，掌握旋转前后两个图形全等是解题的关键.

二.填空题(共6小题)

10.如图，在△ABC和△AOE中，AB=AC,ZBAC=ZDAE=4Q°,将△AQE绕点A顺时针旋转一定角

度，当A£»〃BC时，/BAE的度数是30°或150°.

A

D

E/\

BC

【考点】旋转的性质；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】30°或150°.

【分析】当点。在点A的左侧时，由等腰三角形的性质求出NA5C=65°,由平行线的性质可求出N

BAD=70°,则可求出答案；当点。在点A的右侧时，根据可求出答

案.

【解答】解：当点。在点A的左侧时，如图1所示.

1

ZABC=(180°-ZBAC)=70°.

'JAD//BC,

：.ZBAD=ZABC=10°,

ZBAE=ZBAD-ZDAE=10°-40°=30°.

当点。在点A的右侧时，如图2所示.

AZ\

AD

图2

9

：AB=ACfZBAC=40°,

：.ZACB=^(180°-ZBAC)=70°.

'JAD//BC,

：.ZDAC=ZACB=70°,

ZBAE=ZBAC+ZZ)AC+Z£>AE=40°+70°+40°=150°.

・••当AO〃5C时，NR4E的度数为30°或150°.

故答案为：30°或150°.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关

键.

1

11.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,tanZBAC=BC=2,AD=\,线段AO绕点A旋转，点尸

【考点】旋转的性质；解直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的位置关系.

【答案】2A/2+

【分析】作AC的中点Q.连结PQ,作以。为圆心PQ为半径的圆.P。是△AC。的中位线，PQ=^AD=

厂点尸是圆。上的点，可求B尸的最大值.

【解答】解：作AC的中点连结尸。，作以。为圆心PQ为半径的圆.

；.PQ是△AC。的中位线,

：.PQ=^AD=^.

线段A。绕点A旋转时，点P在以。为圆心尸。为半径的圆上移动，

当BP经过点。时8尸的值最大.

■:BC=2,tanZBAC=J,

・・・AC=4,

.\AQ=CQ=2.

VBQ2=BC2+Ce2=8,

:.BQ=2a（负数不合题意舍去）.

的最大值为2/+标

故答案为：2&+全

【点评】本题考查了图形旋转的性质，点和圆的位置关系，勾股定理.关键是得到点P所在的圆，利

用点和圆的位置关系可以得到BP的最大值.

12.如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转，过点8作的

垂线，交射线于点E.若CD=1,则AE的最大值为2企+1,最小值为」鱼-1_.

【考点】旋转的性质；等腰直角三角形.

【专题】构造法；平移、旋转与对称；模型思想.

【答案】2V2+1；2V2-1.

【分析】根据题意识别出点E是在以48为直径的圆上运动，点。是在以C为圆心，以1为半径的圆

上运动，所以当/BAE最小，AE最大,NBAE最大，AE最小，再根据已知长度计算就可以.

【解答】M：'：BE±AE,

：.ZBEA^90°,

点E是在以AB为直径的圆上运动,

VC£>=1,且CD是绕点C旋转，

...点。是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，

'：AB=立AC=3位,

・••当cosNB45最大时，AE最大，当cos/84后最小时，AE最小.

①如图，当AE与圆。相切于点。，且。在△ABC内部时，NBAE最小，AE最大,

VZADC=ZCDE=90°,

：.AD=y/AC2-CD2=2V2,

9

：AC=ACf

：.ZCEA=ZCBA=45°,

：.DE=CD=\,

此时AE=2/+1,即AE的最大值为2/+1,

，一-、

/✓、\

：C\

、.冲E

②如图，当AE与圆C相切于点。，且。在△ABC外部时，NBAE最大,AE最小,

同理可得4。=2迎，DE=1,

此时4£=2或一1,即AE的最小值为2a-1,

故答案为：2V2+1；2V2-1.

【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理等，解

题的关键是识别出隐圆模型，作出合适的辅助线.

13.一副三角板如图1摆放，把三角板A08绕公共顶点。顺时针旋转至图2,即AB〃。。时，/I的大小

为75°.

BC

【考点】旋转的性质；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】75.

【分析】根据旋转的性质可知：旋转后的三角形A08和原来的△AOB一样，再根据平行线的性质，可

以得到NB=N8OQ=45°,然后根据三角板的特点，可知/。=30°,最后根据三角形外角的性质，

即可求得N1的度数.

【解答】解：由已知可得，

ZB=45

'：AB//OD,

NB=/BO£)=45°,

由图可得，ND=30°,

：.Z1=ZBOD+ZD=450+30°=75°,

故答案为：75.

【点评】本题考查旋转的性质、平行线的性质、三角形外角的性质、三角板的特点，解答本题的关键是

明确题意，利用数形结合的思想解答.

14.如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=2，L点。是AC的中点，连接80,将△BCD绕点8

旋转，得到△8EK连接CF,当C尸〃时，CF=2+/或乃-2.

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理

能力.

【答案】2+V^或2.

【分析】根据旋转的性质可知：△DCB-FEB,根据勾股定理可以求得8。的值，然后再根据平行线

的性质和勾股定理、锐角三角函数，可以求得CG和GF的值，从而可以求得b的值；还有一种情况

就是点尸在点C的左侧时，同理可以求得CF的值.

【解答】解：作BGLCP于点G,如图所示，

VZACB=90°,AC=BC=2近,点。是AC的中点,

：.CD=V2,NABC=45。,

：.BD=yjBC2+CD2=J(2V2)2+(V2)2=V10,

由旋转的性质可知：&DCB冬AFEB,

:.BD=BF=V10,

"."CF//AB,

：.ZABC=ZBCG=45°,

:*CG=BC,sin/BCG=2也x孝=2,

：.BG=VBC2-CG2=2,

：.GF=y/BF2-BG2=J(V10)2-22=V6,

：.CF=CG+GF=2+V6；

当点。运动点/时，此时CA//AB,

同理可得，GF'=显,CG=2,

：.CF'=V6-2；

故答案为：2+连或连-2.

/,^<<7

A«B

【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

15.定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移。(a>0)个单位，再绕原点按逆时针方向旋转

8角度，这样的图形运动叫做图形的PQ,9)变换.如：点A(2,0)按照p(1,90°)变换后得到

点A的坐标为(-1,2),则点B(V3,-1)按照p(2,105°)变换后得到点3的坐标为_(-V2,

V2).

【考点】坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】（一四，V2）.

【分析】根据题中的定义，画出示意图，结合图形旋转及平移的性质即可解决问题.

【解答】解：由题知，

将点2（V3,-1）向上平移2个单位所得点M的坐标为（b，1）.

如图所示，

过点M作了轴的垂线，垂足为R

则。尸=g，MF=1.

在RtAMOF中,

tanZMOF=黑=孚，OM=Jl2+(V3)2=2,

所以/MOF=30°.

由旋转可知，

B'0=M0=2,ZMON=105°,

所以。尸=135°.

过点夕作y轴的垂线，垂足为E,

则N8'OE=135°-90°=45°,

所以OE是等腰直角三角形.

又因为2'0=2,

所以8,E=OE=V2,

所以点B的坐标为（-a,V2）.

故答案为：（-五,V2）.

【点评】本题考查坐标与图形变化-平移及坐标与图形变化-旋转，能根据题意画出示意图及熟知图形

平移和旋转的性质是解题的关键.

三.解答题(共8小题)

16.如图1,在等腰RtZXABC中，ZABC=90°,AB=CB,点。，E分别在AB,上，DB=EB,连结

AE,CD,取AE中点尸，连结BE

(1)求证：CD=2BF,CD1BF；

(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.

①请直接写出BF与CD的位置关系：BFLCD；

②求证：CD=2BF.

【考点】几何变换综合题.

【专题】证明题；几何直观.

【答案】(1)证明过程见解析；(2)BFLCD,(3)证明过程详见解析.

【分析】(1)证明△A2E咨△C8DCSAS)得出/曲再根据直角三角形斜边上得中线等于

斜边的一半得出BF=\AE=AF,再利用等角转化即可求证；

(2)①这一问主要是猜想，还需要利用第二问的思路去证明，先证AAGB经△BOC得到ZABG=/BCD

=ZBAN,再利用8字型得到ZABC=/ANC=90°,即可得证;②利用倍长中线证△AGF0zXEBRSAS),

再证△AGBgABDC(SAS),即可得证.

【解答】(1)证明：在AABE和△C5O中，

/ABE=/CBD,BE=BD,

：.AABE^ACBD(SAS),

：.AE=CDfZFAB=ZBCD.

・・・F是RtAABE斜边AE的中点，

：.AE^2BF,

：.CD=2BF,

1

9：BF=^AE=AF,

：.ZFAB=ZFBA.

:・/FBA=/BCD,

9：ZFBA+ZFBC=90°,

：.ZFBC+ZBCD=90°.

：.BFLCD；

(2)①3凡LCD；

理由如下：延长5b到点G,使FG=BF,连结AG.延长BE到使BE=BM,连接AM并延长交

CD于点N.

证AAGB名△BQC(具体证法过程跟②一样).

工/ABG=NBCD,

・・,/是AE中点，B是中点，

・・・3/是△A8M中位线，

：.BF//ANf

：.ZABG=ZBAN=/BCD,

：.ZABC=ZANC=90°,

：.AN±CD,

U：BF//AN,

：.BF±CD.

故答案为：BFLCD；

②证明：延长5/到点G,使FG=BF,连结AG.

A.

£j

9：AF=EF,FG=BF,ZAFG=ZEFB,

：.AAGF^AEBF(SAS),

；・NFAG=NFEB,AG=BE.

：.AG//BE.

：.ZGAB+ZABE=1SO°,

VZABC=ZEBD=90°,

ZABE+ZDBC=1SO°,

；・NGAB=NDBC.

•・・BE=BD,

：.AG=BD.

在AAGB和△BDC中，

'：AG=BD,/GAB=/DBC,AB=CB,

：.AAGB^^BDC(SAS),

：.CD=BG.

・；BG=2BF,

：.CD=2BF,

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线

的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键.

17.数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究.在中，ZACB=90°,ZBAC=30°,

点。在直线3。上，将线段绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,过点E作所〃5C,交直线A3

于点?

(1)当点。在线段8c上时，如图①，求证：BD+EF=AB；

分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM=EF,

连接。通过证明两个三角形全等，最终证出结论：

推理证明：写出图①的证明过程：

探究问题：

(2)当点。在线段8c的延长线上时，如图②：当点。在线段C8的延长线上时，如图③，请判断并

直接写出线段3D,EF,AB之间的数量关系；

拓展思考：

(3)在(1)(2)的条件下，若AC=6b，CD=2BD,则EF=10或18.

【考点】几何变换综合题.

【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】(1)证明见解析过程；

(2)图②：AB=BD-EF,图③：AB=EF-BD；

(3)10或18.

【分析】(1)在AB边上截取AM=EF,连接。M,根据题意证明出(SAS),得到AF

=DM,然后证明出是等边三角形，得到进而求解即可；

(2)图②：在2。上取点X,使①连接AH并延长到点G使AG=AF,连接。G,首先证明出

△ABH是等边三角形，得到N60°,然后求出/D4E,然后证明出△物£会△GAZXSAS),

得至(JEF=Z)G,ZAFE=ZG,然后证明出△QHG是等边三角形，得到。H=DG=ER进而求解即可；

图③：在EF上取点”使AH=AF,同理证明出△胡”名八4。8(44S),得到AB=EH,进

而求解即可；

(3)根据勾股定理和含30°角直角三角形的性质求出BC=6,AB=12,然后结合C£>=2BD,分别(1)

(2)的条件下求出8。的长度，进而求解即可.

【解答】(1)证明：在Rt^ABC中，ZACB=90°,/8AC=30°,点。在直线8c上，将线段绕

点A顺时针旋转60°得到线段AE,过点E作E尸〃BC,交直线AB于点?在A2边上截取

连接。如图1,

：.ZB=90°-ZBAC=90°-30°=60°.

,:EF〃BC,

：.ZEFB=ZB=60°.

又・・・NE40=6O°,

・•・/EFB=/EAD.

又ZBAD=ZEAD-NEAF,ZAEF=ZEFB-ZEAF,

：.ZBAD=ZAEF.

又・・・AO=AE,AM=EFf

：.ADAM^AAEF(SAS).

：.AF=DM.

：.ZAMD=ZEFA=1SO°-ZEFB=180°-60°=120°.

：.ZBMD=1SO°-ZAMD=180°-120°=60°.

VZB=60°,

・•・ZBMD=NB=ZBDM.

・・・△SAW是等边三角形.

；・BD=BM=DM,

9：AB=AM+BM,

,AB=EF+BD；

(2)解：图②：AB=BD-EF,证明如下：

如图2.1所示，在5。上取点H,使BH=AB,连接A"并延长到点G使AG=AR连接。G,

图2.1

VZABC=60°,

・•・△ABH是等边三角形，

：.ZBAH=60°,

・・,线段A0绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,

；・NDAE=60°,AE=AD,

：.NBAH=NDAE,

：.ZBAH-ZEAH=ZDAE-ZEAH,即NA4E=NM4。,

又・.・AG=Ab,

.'.△ME^AGAD(SAS),

：・EF=DG,NAFE=NG,

■:BD//EF,

：.ZABC=ZF=ZG=60°,

VZr>HG=ZAHB=60°,

・•・△OHG是等边三角形，

：.DH=DG=EF,

：.AB=BH=BD-DH=BD-EF；

图③：AB=EF-BD,证明如下：

如图2.2所示，在EF上取点H使AH=AR

图2.2

,:EF〃BC,

：.ZF=ZABC=60°,

VAH=AF,

•・.△AHb是等边三角形，

；・NAHF=NHAF=60°,

AZAHE=120°,

・・,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,

：.AD=AE,ZDAE=60°,

：.ZDAB+ZEAH=1SO°-ZEAD-ZHAF=60°,

VZD+ZDAB=ZABC=60°,

：.ZD=ZEAH,

\9ZDBA=180°-ZABC=120°=NEHA,

又・・・AD=AE,

：./\EAH^AADB(A4S),

：.BD=AHfAB=EH,

,:AH=FH,

：.BD=HF,

：.AB=EH=EF-FH=EF-BD：

(3)解：如图3.1所示，

图31

'：ZBAC=30°,ZC=90°,

：.AB=2BC,A^^BCa+AC1,

：.(2BCy=^C2+(6V3)2,

：.BC=6,

：.AB^2BC=12,

■;CD=2BD,BC=BD+CD,

1

：.CD=”C=2,

由(1)可知，BD+EF=AB,

：.EF=AB-BD=12-2=10；

如图3.2所示，当点。在线段8C的延长线上时,

图3.2

'：CD<BD,与CO=28D矛盾，

，不符合题意；

如图3.3所示，当点。在线段CB的延长线上时,

：.BD=BC=6,

由（2）可知，AB=EF-BD,

：AB=2BC=12,

EF=AB+BD=12+6=18.

综上所述，所=10或18,

故答案为：10或18.

【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30°角直角

三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点.

18.如图是由小正方形组成的3X4网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC三个顶点都是格点.仅

用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.

（1）在图（1）中，画射线交8c于点。，使平分AABC的面积；

（2）在（1）的基础上，在射线上画点E,使NECB=/ACB；

（3）在图（2）中，先画点R使点A绕点厂顺时针旋转90°到点C,再画射线AF交2C于点G；

（4）在（3）的基础上，将线段43绕点G旋转180°,画对应线段MN（点A与点M对应，点8与点

N对应）.

【考点】作图-旋转变换;

【专题】作图题；几何直观.

【答案】见解析.

【分析】(1)根据三角形中线的定义画出图形；

(2)作点A故8c的对称点A,,连接CA'交射线ADF于点E,点E即为所求；

(3)构造等腰直角三角形ABC即可；

(4)取格点P,Q,E,W,K,L,连接PQ,EW,KL,PQ交射线AF于点M,EW交KL于点、J,连

接延长肱7交BC一点N,线段即为所求(证明AAgG之△MNG,可得结论).

【解答】解：(1)如图1中，线段即为所求；

(2)如图2中，点C,射线AR点G即为所求;

(3)如图2中，线段MN即为所求.

【点评】本题考查作图-旋转变换，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知

识解决问题.

19.综合与实践

问题情境

在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象.纸片△ABC和

△QEF满足/=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.

下面是创新小组的探究过程.

操作发现

(1)如图1,取的中点。，将两张纸片放置在同一平面内，使点O与点尸重合.当旋转△DEF纸

片交AC边于点”、交边于点G时，设4〃=尤(l<x<2),BG=y,请你探究出y与x的函数关系

式，并写出解答过程.

问题解决

(2)如图2,在(1)的条件下连接GH,发现△CGH的周长是一个定值.请你写出这个定值，并说明

理由.

拓展延伸

(3)如图3,当点P在AB边上运动(不包括端点A、B),且始终保持NAPE=60°.请你直接写出△

以方纸片的斜边£尸与△回(7纸片的直角边所夹锐角的正切值2+V32-V3(结果保留根号).

图1图2图3

【考点】几何变换综合题.

【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】(1)y与尤的函数关系式为y=|(l<x<2)；

(2)AC//G的周长为2；

(3)2+b或2-技

2222

【分析】(1)证明△AF»SZ\JBGF,AH'BG^AF-BF,求出48=>JAC+BC=V2+2=2/，

可得4F=BF=&,故久y=V^x&,=2,从而y与无的函数关系式为y=((1vx<2)；

(2)求出CH=2-x,CG=2-y,可得G”=<CH2+CG2=V(2-%)2+(2-y)2=

y/x2+y2—4(x+y)+8=y/(x+yY—2xy—4(x+y)+8,将xy—2代入得GH=

J(x+y)2-4(久