2024年中考数学一轮复习提高讲义：数学规律型问题探索

数学规律型问题探索

知识梳理

数学规律型问题，即按照一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题，解决这类问题的关键

是仔细分析前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴含的规律.此类型题常涉及以下内容：

⑴运算规律或关系；

⑵数字关系或规律；

(3)图形关系或规律；

⑷操作规律.

具体方法和步骤如下：

(1)通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；

(2)猜想符合规律的一般性结论；

(3)验证或证明结论是否正确.

典型例题

例1

观察下列各数：0,3,8,15,24,…试按此规律写出的第100个数是—.第n个数是—.

分析解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数.

解我们把有关的量放在一起加以比较：

给出的数：0,3,8,15,24,…

序列号：1,2,3,4,5,…

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1.因此，第n项是/—1,第100项是1002-1.故答

案为：9999,*1.

例2

如图6-l(a)所示,图中是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层

均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层.将图6-l(a)倒置后与原图6-1⑶拼成如图6-l(b)所示的形状，这样我们可以

算出图6-l(a)中所有圆圈的个数为1+2+3+…+几=也等.

第1层0.00-00

第2层dooQQP

00-000

如果图6-l(a)中的圆圈共有12层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按如图6-l(c)所示的方式填上一串连续

的正整数1,2,3,4,…，则最底层最左边这个圆圈中的数是多少；(2)我们自上往下，在每个圆圈中都按如图6-

1(d)所示的方式填上一串连续的整数-23,-22,-21,....求图6-l(d)中所有圆圈中各数的绝对值之和.

分析(1)当图中圆圈共有12层时，最底层最左边这个圆圈中的数是11层的数字之和再加1;

(2)首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数.

解⑴图6-l(c)中依次排列为1,2,4,7,11...,如果用后项减前项依次得到1,2,3,4,5…，正好是等差数列，再展开原数

列可以看出第一位是1,从第二位开始后项减前项得到等差数列，分解一下：1,1+1』+1+2,1+1+2+3,1+1+2+3+4,…，从

分解看，第n个圆圈的个数应为l+(l+2+3+4+...+n),而l+2+3+4+...+n正好是连续自然数和的公式推导，上面已给

出了公式：1+2+3+…+n=竺F厕第n项公式为1+吟2已知共有12层，那么求图6-1(c)中最左边最底

层这个圆圈中的数应是12层的第一个数，那么1+11x(11+1)/2=67.

(2)已知图中的圆圈共有12层,按如图6-l(d)所示的方式填上-23,-22,-21,…，那么可运用等差数列求和公式得第一

层到第十二层的圆圈总数为：(1+12)x昔=78个,78个圆圈中有23个负数，1个0,54个正数，再利用分段求

和得到图6-l(d)中所有圆圈的和.即第一段:S=警邂X则数=(|-23|+|-1|)x§=276,第二段=(1

+54)Xy=1485,两段相加后得1761.

例3

用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按如图6-2所示的方式铺地板，则第⑶个图形中有黑色瓷砖―

图6-2

分析这一题的关键是求第n个图形中需要几块黑色瓷砖.

解在这三个图形中，最先出现的4块黑瓷砖不变，变化的是后面出现的黑瓷召专数量.它们的数量分别是，第一

个图形中多出(0X3块黑瓷砖,第二个图形中多出lx3块黑瓷砖,第三个图形中多出2x3块黑瓷砖，依次类推，

第n个图形中多出(5-1)X33块黑瓷砖.所以，第n个图形中一共有4+(n-l)x3块黑瓷砖.故答案为:10,3n+l.

例4

如图6-3所示，是一回形图，其回形通道的宽与OB的长均为1,回形线与射线OA交于点A1人A，.…若从

点O到点4的回形线为第1圈(长为7),从点A1到点A2的回形线为第2圈，…，依此类推.则第10圈的长为—

分析根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，逐圈分析，推出通用公式，再代入计算.

解我们从简单的情形出发，从中发现规律，第1圈的长为1+1+2+2+1,第2圈的长为2+3+4+4+2,第三圈的长为

3+5+64-6+3,,第四圈的长为4+7+8+8+4,…归纳得到第10圈的长为10+19+20+20+10=79.

例5

在数学活动中，小明为了求升点+/+/+-+景勺值(结果用n表示)，设计如图6-4(a)所示的图形.

22“232’2"

(1)请你利用这个几何图形求"/+/+2+•••+5的值为一.

22“2$2'2"

⑵请你利用图6-4(b),再设计一个能求畀或+套+或+…+击的值的几何图形.

图6-4

分析由所给图形可以看到，当n等于某数时，剩下部分的图形面积为煮则几何图形的面积为1-弟

解(1)1-味.

⑵可设计如图6-5(a)(b)(c)(d)所示的方案(答案不唯一):

双基训练

1.拉面馆的师傅能把一根很粗的面条，先两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的

面条拉成了许多根细面条，如下面图6-6所示.请问按图中所示的方式这样第一次可拉出256根面条.

第一次第二次第三次

图6-6

2.用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图6-7所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖4块，那

么第(n)个图案中有白色地砖一块.

(1)(2)(3)

图6-7

3.观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：1,强，卷…则第n个数为—

4yio

4.观察下列顺序排列的等式：

9x0+1=19x1+2=119x2+3=219x4+5=41,...,猜想:第n个等式应为:.

5.已知下列等式：

①d=I2;

@13+23=32;

③d+23+33=62;

@13+23+33+43=IO2;

由此规律知，第⑤个等式是__________.

6.如图6-8所示，请观察下列球的排列规律（其中•是实心球，C是空心球）：

•ooeeoooooeooeeoooooeooeeoooooe-

图6-8

从第1个球起到第2014个球止,共有实心球一个.

7.如图6-9所示,下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,

第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为一.

★★

★★★★★★

★★★★★★★★★★★★

★★★★★★

★★

图6-9

8.如图6-10所示，图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m=—（用含n的代数式

表小）.

图6-10

9.大于1的正整数m的三次幕可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+53=7+9+11,43=13+15+17+19,…

若rtf分裂后，其中有一个奇数是2013,则m的值是（）.

A.43B.44C.45D.46

10.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（）.

0426486

A.38B.52C.66D.74

11.如图6-11所示，请你认真观察和分析图中数字的变化规律，由此得到图中所缺的数字是（）.

A.32B.29—

C.25D.23/1

图6-11

12.如图6-12所示，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图

案需13根火柴，……依此规律，第11个图案需（）根火柴.

A.156B.157C.158D.159

13.我国古代文献《周易》上记载了“八卦”的由来，当时的人们认为世界上的万事万物归根结底是由阴阳两种

基本元素构成的，就把它们化成了两种卦爻，阳爻为阴爻为“一”.将阳爻和阴爻每次取三个，就会形成8种不

同的排列方式，这与德国数学家莱布尼茨(1646—1716)创造的二进制竟不谋而合.表6-1就反映了“八卦”图符与二进

制间的对应关系，根据表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是().

表6-1

====三

000110100111001101

A.100,011B.010,011C.011,101D.101,110

14.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数

称为“正方数”.如图6-13所示，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之

和.下列等式中，符合这一规律的是().

图6-13

A.20=6+14B.25=9+16C.36=16+20D.49=21+28

15.观察下列三角形数阵：则第50行的最后一个数是().

23

456

78910

II12131415

A.1225B.1260C.1270D.1275

16.观察图6-14(a),寻找规律，图6-14(b)(c)(d)分别是从图6-14(a)中截取的一部分，其中a,b,c的值分别为().

1234

2468

36912

481216

・・・

(b)(c)(d)

图6-14

A.20,29,30B.18,30,26C.18,20,26D.18,30,28

17.观察下列各式：

(1)1=I2

(2)2+3+4=32

(3)3+4+5+6+7=52

（4）4+5+6+7+8+9+10=72

请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是().

A.1005+1006+1007+...+3016=20112

B.1005+1006+1007+...+3017=20112

C.1006+1007+1008+...+3016=20112

D.1007+1008+1009+...+3017=20112

18.定义一种对正整数n的运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为人/2x(其中k是

使学为奇数的正整数)，并且运算重复进行.例如：取n=26,则：回告回#回告回……，若n=15,则第15次

“F”运算的结果是().

A.5B.10C.15D.20

19.观察下列各组数字：

①0,3,8,15,24,…

②2,5,10,17,26,...

③0,6,16,30,48,...

(1)第一组有什么规律？

(2)第二、三组分别跟第一组有什么关系？

⑶取每组的第7个数，求这三个数的和.

20.先观察工+工=已―工）+仁—工）=1--=-,—+—+—=f-

1X22X31127\237331x22x33x4\1

再计算-11F1-―^的值.

1X22X33X4n（n+l）

能力提升

21.如图6-15所示，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1,

2,3,…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移

动到第6号角.....若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是().

22.一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图6-16所示,则断去部分的/」蛔的个数可能

图6-16

23.如图6-17所示，观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在().

1291613

第I个第2个第3个第4个

正方形正方形正方形正方形

图6-17

A.第502个正方形的左下角B.第502个正方形的右下角

C.第503个正方形的左上角D.第503个正方形的右下角

24.如图6-18所示，从A地至！JC地，可供选择的方案有三个，分别是走水路、走陆路、走空中.从A地至IJB地

有2条水路、2条陆路可供选择.从B地到C地有3条陆路可供选择.走空中的话可以从A地不经过B地直接到C

地.那么从A地到C地可供选择的方案一共有().

A.20种B.8种C.5种D.13种

图6-18

25.如图6-19所示，一位小朋友按图中的规则练习数数，数到2009时应对应的指头是().

A.大拇指B.食指C.中指D.无名指、

26.把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：图6-19

(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),...,现用等式4M=Q/)表示正奇数M是第i组第j个数(从左往

右数)i如4=(2*3),则&oi3=()-

A.(45,77)B.(45,39)C.(32,46)D.(32,23)

27.如图6-20所示，图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式：l+3+5+7+...+(2n-l)=—

_.(用n表示，n是正整数)T।।怛

图6-20

28.有一列数：第一个数为=1,第二个数为x2=3,第三个数开始依次记为x3,x4xn;从第二个数开始,

每个数是它相邻两个数和的一半(秒冷=")

⑴求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；

(2)根据⑴的结果，推测.%8=；

(3)探索这一列数的规律，猜想第k个数.=.(k是大于2的整数)

29.正整数按如图6-21所示的规律排列，则第十行，第十一列的数字是.

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行12510

111

第二行4--3611118

1111

第三行9--8-712

19—

1I

第四行16—15—14--1320

第五行25--24--23—22

图6-21

30.(1)如图6-22(a)所示，是由几个大小完全一样的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示

在该位置小正方体的个数，请你在图622(b)中画出该几何体的主视图和左视图.

(b)

图6-22

(2)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1,1,2,3,5,8,13,,其

中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的边长长度构造如图6-23

所示的正方形：

再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个……正方形拼成如图6-24所示的长方形，并记为①，②，③，④，…

2

□□iEZ

①②③④

图6-24

相应长方形的周长见表6-2：

表6-2

序号①②③④

周长610y

仔细观察图形，上表中的x=

若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形周长是.

拓展资源

31.探索：⑴一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成四部分，三条直线最多可以把平

面分成一部分，四条直线最多可以把平面分成一部分，试画图说明.

（2）n条直线最多可以把平面分成几部分？

32.将正方形ABCD的各边按如图6-25所示的方式进行延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A

1,Az,Ag，…,按此规律厕点A2012不在射线上.

图6-25图6-26

33.如图6-26所示，电子跳蚤游戏盘为△ABC,AB=8,AC=9,BC=10,如果电子跳蚤开始时在BC边上的点Po,BP0

=4第一步跳蚤跳到AC边上点Pi,且（CPi=CP。;第二步跳蚤从点Pi跳到AB边上点P2，.且AP2=AP];第三步跳

蚤从点P2跳回到BC边上点P3,且打3=BP2;…….跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为点Pn（n为正整数），

则点B与点P2012之间的距离为（）.

A.3B.4C.5D.6

34.如图6-27所示，是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个

35如图6-28所示，在标有刻度的直线1上，从点A开始,

以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；

以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；

以CD=4