2024年中考数学圆复习讲义：隐圆

【原题呈现】

如图1所示，在RtAABC中,/ABC=9(F,BA=BC^aABC绕点A逆时针旋转角a(0°<a<90。)”得到△ADE.

连接BD并延长交CE于点F.

(1)如图2所示，当a=45。时,求证:CF=EF.

(2)在旋转过程中：

①问题⑴中的结论是否仍然成立?证明你的结论

②连接CD,当小CDF为等腰直角三角形时，求汝若的值.

【研题策略】

1.RtAADE是由.RtAABC绕点A逆时针旋转得到，属于共顶点的旋转，旋转过程中始终保持有△EAC

DAB的特性，模型上属手拉手，旋转相似形，如图3所示.

2.如图4所示因△EACSAZMS得^ACE=UBD,,力口之乙FGC=NBG4“圆”形毕露，来路活水清晰，得

A,B,C,F四点共圆.

AB

图3

3.为了更好地阐明“四点共圆”的来路，摸清如何才能让四点“圆”形毕露，我们现做如下的知识铺垫.

四点共圆常见的判定方法(或适用背景)有如下三种：

(1)已知四边形ABCD若Z5+ZD=180。,厕A,B,C,D四点共圆，如图5所示.

简述：若四边形对角互补，则四点共圆.

图5

若四边形的一个外角等于它的内对角也属此情形，如图6所示.

若对角分别是90。,，属此情况的特例，如图7所示.

在实际应用中，若乙ABC=90°,,A,C,B三点可看成在以AC为直径的圆中，如图8所示.

图8图9

⑵如图9所示若（OA=OB=OC=OD,,由圆的基本定义，则A,B,C,D四点共圆在实际应用中，若有（

OB=OC=则B,C,D三点在以O为圆心QB为半径的圆上.

⑶AC.BD相交于点E,若Z.B=则A,B,C,D四点共圆，如图10所示.

有了以上的点共圆知识储备，让我们重新回归试题，纵观全题，RtAADE在整个旋转过程中，△EAC-AD

AB始终保持，也就是说始终有NACE=乙1BD,符合点共圆中的第③种情况，A,B,C,F四点共圆，这种特性在

本题的两问中都可延续使用.

4.换一个角度，RtAADE在旋转中始终保持等腰直角三角形的情况，也可以采用化斜为直，运用一线三直角

模型处理.

思路

1.如图11所示.由A,B,C,F四点共圆，乙4BC=90。可知AC为圆的直径，因此可得乙4FC=90。..在旋转过程中

AE=AC不变，由三线合一可得（CF=EF.^FAC=*因A,B,C,F共圆，导角可得"BC=乙FAC=泉tan期勺值可转

化成求tcm/FBC的值

2.如图12所示，⑵中第①问可从/EDF=/FBC出发，构造EG||BC,证明△GEF=△BCF.

3如图13所示，(2)中第①问也可从斜直角出发，构造一线三直角模型，证明AAPB=ABNC,AEDM^ADA

P,AEFM之△CFN.

解

(1)解法一如图14所示，连接AF.

ADAC

•・•—=—^BAC=乙EAC=45°,

ADAEf

：.△ABDACE.

・•・NABD=NACE.

所以A,B,C,F四点共圆.

因为/ABC=90。，

所以AC为直径.

/AFC=90°.又AE=AC,ACF=EF.

解法二当a=45。时，如图15所示，有AADE=^ABC=90°,AEAD=^CAB=45°,AE=AC,AD=AB.

在4CAE中,/ACE=NAEC=67.5。.

在仆DAB中,/ABD=NADB=67.5。.

ZFDC=ZADB=67.5°.

ZFDC=ZDCF.

图15

CF=DF.

在RtAEDC中,/CED=/EDF=22.5°.

・・・EF=DF..・・EF=CF.

(2)①成立.

证法一如图16所示，连接AF.

E

ABACAr\「AC

—=—/BAD=Z.EAC,

ADAE

：.△ABDsaACE.

/.ZABD=ZACE.

所以A,B,C,F四点共圆.

因为NABC=90。,所以AC为直径.

ZAFC=90°.

又AE=AC,；.CF=EF.

证法二如图17所示，过点E作EG〃CB交BF的延长线于点G.

VAD=AB,/.ZADB=ZABD.

,/ZEDG+ZADB=ZCBF+ZABD=90°,

ZEDG=ZCBF.

EG〃CB,；.NG=NCBF.

ZEDG=ZG.

EG=ED.

VED=BC,.".EG=BC.

ZEFG=ZCFB,.\AFEG^AFCB(AAS).

/.EF=CF.

证法三如图18所示，分别过点A,C,E,作2P1BF,,垂足为P,(CN18凡垂足为N,EM±BF交BF的延长

线于点M.

易证△EMD04DPA,得EM=PD.

易证△APB名BNC彳导CN=BP.

在等腰三角形ABD中,APLBD,得PD=PB.

故EM=BP=CN.

故4EMF0ZkCNF,因止匕EF=CF.

图18

证法四如图19所示，过点C作CP〃DF交ED的延长线于点P,EP交BC于点Q.

由/EDF=/BDQ,/EDF=/DBC,得/BDQ=NDBQ.

/.DQ=BQ.

又CP〃BD得NQCP=/QBD,NQPC=/QDB,贝！|/QCP=/QPC,可彳导CQ=PQ.

故CQ+QB=PQ+DQ,PD=BC=DE.

因此喋=*=1,即EF=CF.

②情况一，当/FDC=90。时:

解法一如图20所示由⑵中第1问知A,B,C,F四点共圆,NF4C=乙FBC=/当DF=DC,/CDF=90。时,△ABD-

△ACE.

BD_AD_1

''CE-AE~\f2

鱼厂口i

设BO=a,EC=/a厕在RtACDF中，CF=|CE=ja,CD=——CF——a.

22

tan-=tanZ.CBF=—hi.

2BDa=2

图20

解法二如图21所示，当.DF=DC/CDF=90。时,C,D,B在以CB的中点O为圆心的圆上，连接ODQA,则OD

=OB.

因为AD=AB,

所以OA是BD的中垂线，即AG垂直平分BD.

a八*「OB1

••・tan-=tanZ-OAB=—

2AB2

情况二，当/DCF=90。时:

图21

解法一如图22所示油⑵中第1问知A,B,C,F四点共圆,Z.FAC=乙FBC=今

当CF=CD,NDCF=90°时,

,/AABD^AACE,

BD_AD_1

CE~AE~y[2

设BD=a,EC=V2a,CF=|C£=yd.

在RtACDF中,.FD=V2CF=a.

作CH_LBF,垂足为H,:DH=^FD=CH-^^a.

又一i

tan-=tanZ.CBF=—,1-

2BHa+-a3

解法二如图23所示，当CF=CD,NDCF=90。时,NCDB=135tCB为定长，设△CDB外接圆圆心为O,且NCOB=9

0°.过点O作OH_LCB,垂足为H,作OM_LAB,垂足为M厕四边形OHBM是正方形反

CL

明二％。

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