河北省邢台市名校联盟2024届高三上学期期中数学试题

2023~2024学年高三（上）质检联盟期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上，对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、不等式、函数与基本初等函数、一元函数的导数及其应用、计数原理、随机变量及其分布列、成对数据的统计分析、三角函数、平面向量及其应用与复数、数列。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数满足，则A.2 B.4 C. D.3.“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知数列满足，，则A.2 B. C. D.20235.如图，在直角梯形中，，，，，点在边上，且，则A.1 B.2 C. D.6.现有红色、黄色、蓝色的小球各4个，每个小球上都标有不同的编号.从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，且至少有一个红色小球，不同取法有A.160种 B.220种 C.256种 D.472种7.笛卡尔在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传，其实能画出心型曲线的方程有很多种.心形曲线如图所示，其方程为，若为曲线上一点，则的取值范围为A. B. C. D.8.某公司计划在10年内每年某产品的销售额（单位：万元）等于上一年的1.2倍再减去2.已知第一年（2022年）该公司该产品的销售额为100万元，则按照计划该公司从2022年到2031年该产品的销售总额约为（参考数据：）A.2135.5万元 B.2235.5万元 C.2335.5万元 D.2435.5万元二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点中心对称D.在区间上单调递增10.某商店的某款商品近5个月的月销售量（单位：千瓶）如下表：第个月12345月销售量2.53.244.85.5若变量和之间具有线性相关关系，用最小二乘法建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是A.点一定在经验回归直线上B.C.相关系数D.预计该款商品第6个月的销售量为7800瓶11.已知，则A.B.C.D.当，时，的最小值为412.在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，表示把中每个1都变为0，0，每个0都变为1，所得到的新的有序实数组，例如，则.定义，，若，则A.中有个1B.中有个0C.中0的总个数比1的总个数多D.中1的总个数为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量与的夹角为，，则______.14.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______.15.已知某等差数列的前7项和与前8项和的乘积等于，则该等差数列的公差的取值范围是______.16.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.18.（12分）函数在上的零点从小到大排列后构成数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19.（12分）已知是斜边上一点，，.（1）求的值；（2）若，求.20.（12分）甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中妝球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.（1）求前4个回合甲发球两次的概率；（2）求第4个回合甲发球的概率；（3）设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望.21.（12分）已知数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）数列满足，，设数列的前项和为，证明：.22.（12分）（1）证明：函数在上单调递减.（2）已知函数，若是的极小值点，求的取值范围.2023~2024学年高三（上）质检联盟期中考试数学参考答案1.B，，.2.C设，则，，故.3.A由，可得或.故“”是“”的充分不必要条件.4.A，，，，…..5.C以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.设，，，，解得，即.6.A若取出的球中有1个红球，不同的取法有种.若取出的球中有2个红球，不同的取法有种.故不同取法有种.7.A记与轴非负半轴所成的角为，心形曲线关于轴对称，不妨取.设点，则，，代入曲线方程可得，则，所以.8.D设该公司在2022年，2023年，…，2031年的销售额（单位：万元）分别为，，…，.依题意可得，则，所以数列是首项为90，公比为1.2的等比数列，则，即，则，故从2022年到2031年该产品的销售总额约为2435.5万元.9.ACD的最小正周期为，A正确.的对称中心为，，对称轴为，，单调递增区间为，，B错误，C，D正确.10.AB，，样本点中心一定在经验回归直线上，即，则，A，B正确.变量与成正相关，相关系数，C错误.当时，，预计该款商品第6个月的销售量为6280瓶，D错误.11.ACD依题意可得，，则，A正确.由，得，所以，B错误.，C正确.当，时，，，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，D正确.12.AC因为，依题意，，设中有项为1，项为0，所以则，则当为奇数时，，当为偶数时，，当为奇数时，，当为偶数时，，所以中有个1，中有个0，故A正确，B错误.当为奇数时，，当为偶数时，，中0的总个数比1的总个数多，故C正确，由，所以中1的总个数为，故D错误.13.3，所以.14.因为在区间上单调递增，所以当时，恒成立，，，所以.15.设该等差数列为，公差为，的前项和为，则，所以，即，整理得，则，解得.16.由题意得，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可.令函数，即与的图象有3个不同交点.当时，此时，如图1，与的图象有2个不同交点，不满足题意.当时，如图2，要使与的图象有3个不同交点，则直线与直线在第二象限有1个交点，.当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令，得，解得（负值舍去）.当时，与的图象有3个不同交点.综上，的取值范围为.图1 图2 图317.解：（1）由图可得，的最小正周期.因为，且，所以.因为的图象关于直线对称，所以，，解得，.因为，所以.故.（2）由，得.当，即时，取得最大值，最大值为；当，即时，取得最小值，最小值为故在上的值域为18.解：（1）函数的最小正周期为函数在上的零点分别为数列是以为首项，为公差的等差数列，即当为奇数时，.数列是以为首项，为公差的等差数列，即当为偶数时，.综上，（2）..19.解：（1）因为，所以.因为，所以.又因为，所以，即..（2）设，则.在中，，即，解得.故.20.解：（1）前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：第一种情况，甲第1，2回合发球，乙第3，4回合发球，其概率为.第二种情况，甲第1，3回合发球，乙第2，4回合发球，其概率为.第三种情况，甲第1，4回合发球，乙第2，3回合发球，其概率为.故前4个回合甲发球两次的概率为.（2）第2回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.第3回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.第4个回合甲发球的概率为.（3）可以取1，2，3，4.当时，；当时，；由（1）得，当时，；当时，.的分布列为1234.21.（1）解：当时，，解得.当时，，相减得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故.（2）证明：因为，所以.，两式相减可得，所以，.令函数，，.因为，所以，所以在上单调递减..故.22.（1）证明：.令函数，.当时，，所以在上单调递增.因为，所以当时，恒成立，故在上单调递减.（2）解：.令函数，.当，即或时，存在，使得当时，，即在上单