第八章组合变形教学文稿

第十章组合变形§10.1概述§10.2斜弯曲§10.3拉伸(压缩)与弯曲§10.4纵弯曲§10.1概述Fhg水坝qFhg组合变形：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。组合变形问题的基本解法是叠加法条件是：（1）小变形假设。（2）载荷和位移成线性关系：比例极限内。其基本步骤是：（1）将载荷分解，得到与原载荷等效的几组简单载荷，使构件在每组简单载荷作用下只产生一种基本变形。（2）分别计算构件在每种基本变形情况下的应力。（3）将每种基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于简单应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需要按照强度理论来进行强度计算。本章讨论斜弯曲、拉压与弯曲、弯曲与扭转等的组合变形情况§10.2斜弯曲ahbyzq檩条外力的作用点在截面形心处，但是外力作用线并没有沿着形心主轴。杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不位于外力所在地纵向平面内，这种弯曲称为斜弯曲。现在以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时的应力与位移的计算方法。设作用在梁自由端的集中力F通过截面形心，且与竖向对称轴之间的夹角为j。将力F沿y、z轴方向分解在Fy单独作用下，z轴为中性轴；而在Fz单独作用下，y轴为中性轴。可见斜弯曲是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。Fy和Fz各自单独作用时，距离固定端为x的横截面上，绕z轴和y轴的弯矩分别为可见弯矩My和Mz也可以从分解向量M来求得材料在线弹性范围内工作，则对其中的每一个平面弯曲，均可以用弯曲正应力的计算公式。对于x截面在第一象限内某点C(y,z)处，与弯矩Mz和My对应的正应力都应该是压应力，故上两式弯矩均为绝对值Fy和Fz共同作用时，应用叠加法，即得C点的正应力此式表明横截面上的正应力是坐标y、z的线性函数，即为平面方程。FBED由右图可知，在x截面上角点B处有最大拉应力，角点D处有最大压应力，它们的绝对值相等。E和F点处的正应力为零，它们的连线即是中性轴，可见B点和D点就是距离中性轴最远的点。FBED对整个梁来说，横截面上的最大正应力在危险截面的角点处，其值为由于角点处的切应力为零，所以应该单项应力状态来建立强度条件。材料的拉压强度相同，则斜弯曲的强度条件为l由第七章的知识可知在Fy和Fz单独作用下自由端的挠度因为wy和wz是正交的，所以当Fy和Fz共同作用时自由端截面的总挠度为yz若以b角表示总挠度与y轴之间的夹角，则式中，Iy和Iz是横截面的形心主惯性矩。由于举行截面地Iy≠Iz，所以b≠j。这表明梁在斜弯曲是的挠曲平面与外力所在地纵向平面不重合。jF例1外力F通过截面形心，且与y方向的夹角j＝15°，材料许用应力[s]=170MPa,试校核此梁的强度。2m2myzF解：梁跨中截面上的弯矩最大，故为危险截面，该截面上的弯矩值为在两个形心主惯性平面那地弯矩分量分别为从型钢表查得25a号工字钢的弯曲截面系数将这些值代入公式，可得此梁满足强度条件将这些值代入公式，可得如果在此例中若F力的作用线与y轴重和，即j＝0，则此梁横截面上的最大正应力为对于圆形截面因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计算公式为：注意：斜弯曲矩形横截面依然存在中性轴，而且中性轴一定通过横截面的形心，但不垂直于加载方向。此时的界面的中性轴为与合弯矩矢量相平行的圆截面直径。或者为与Fy与Fz合力垂直的直径为中性轴。+=§10.3拉压与弯曲一、轴向拉压和弯曲的组合变形lFFlFFFl+==由于在最大拉应力和最大压应力处为单向应力状态，则强度条件例2

AB梁为工字钢，材料为Q235钢，许用应力[s]=100MPa。试按正应力强度选择工字钢型号。2.2m2m2mBACDFAxFAyBADM13xxFN11.8解：由图中的几何关系可得取AB为研究对象由BC杆的轴力可以得到AB杆的弯矩和轴力图2.2m2m2mBACDM13xxFN11.8由正应力强度条件有查型钢表，其中W＝141cm3A＝26.1cm2最大压应力在D截面的边缘，其值为故无需重新选择截面型号二、偏向拉伸(压缩)xzyO当直杆受到与杆的轴线平行但不通过截面形心的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。设F力作用点的坐标为zk、yk。将力向杆端截面的形心简化。可见偏心拉伸实质上是轴向拉伸和两个平面弯曲的组合变形。这时各横截面上的轴力和弯矩分别相同，即当材料在线弹性范围内工作内，在离力作用稍远的那些横截面上，将三个内力所对应的正应力叠加起来，即得任一横截面上任一点C(y,z)的应力表达式xzyO由正应力的表达式可以求出最大拉应力和最大压应力分别为危险点处为单向应力状态，假设材料的拉压强度不等，则偏心拉压的强度条件为例3

铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力[

t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。

解：（1）计算横截面的形心、面积、惯性矩（2）立柱横截面的内力

（3）立柱横截面的最大应力（2）立柱横截面的内力

（4）求压力FFlaS§10.4弯曲与扭转13S平面zMzMt4321yx13可以看出，对于许用应力相同的材料，1、3点同等危险，只需要对其中一点进行强度校核即可。由于圆截面的WP＝2Wz，为计算方便，将强度表达式改写式中，Wz为圆截面的弯曲系数；M和T分别是危险截面上的弯矩和扭矩。而称为按第三强度理论得到的相当弯矩。称为按第四强度理论得到的相当弯矩。以上分析的圆截面的第三、第四强度理论的相当弯矩也同样适用于空心圆截面杆的弯曲与扭转的组合变形。yz例4图示一45号钢制的实心圆轴。齿轮C的直径dC＝200mm，齿轮D的直径dD＝100mm。材料的许用应力[s]=90MPa，试按第四强度理论求轴的直径。120mm200mm500mmBACD120mm200mm500mmBACD0.874210.7282.4解：将齿轮上的切向力向轴线简化。由于圆截面不会发生斜弯曲，故可以把弯矩My与Mz的矢量求出求第四强度理论的相当弯矩根据公式建立强度条件为代入数据有所以取轴的直径为68mm。2m3mBACO例5图示结构。AB杆直径d＝101mm的圆截面杆，其许用正应力[s]=170MPa。试用第四强度理论校核AB杆的强度。解：将作用在BC杆上的载荷向B截面的形心简化。根据简化后的载荷图，作出相应的内力图ABT图FN图M图T图FN图M图由内力图可知A为危险截面A截面总弯矩A截面最大弯曲正应力A截面的轴向拉伸应力A截面总的拉应力T图A点的应力状态如图所示按照第四强度理论，其强度条件为即AB杆的强度满足要求。§10.5纵弯曲xyxzyxyll/2本节讨论小挠度的情形，即小刚度秆在小偏心压缩问题。挠曲线近似微分方程7-1为了考虑由挠度引起的附加弯矩，需要求出偏心压杆的挠曲线方程。

w为任一x截面处的挠度，则截面上的弯矩为引入记号则上式可以改写为二阶齐次线性微分方程通解为xyll/2两端铰支压杆的位移边界条件x＝0处，w＝0x＝l处，w＝0从而w与F及EIz之间的关系隐含在k之中。由对称性可知，最大挠度d发生在杆的中点，将x＝l/2代入，得由