期末专项复习：全等三角形 二十个必考点（原卷版）

全等三角形二十个必考点【华东师大版】题型先知【考点1利用全等图形求网格中的角度和】 【考点2将已知图形分割成几个全等的图形】 【考点3添加条件使三角形全等】 【考点4灵活选用判定方法证明全等】 【考点5尺规作图与全等的综合运用】 【考点6证明全等的常见辅助线的作法】 【考点7证一条线段等于两条线段的和（差）】 【考点8全等中的倍长中线模型】【考点9全等中的旋转模型】 【考点10全等中的垂线模型】 【考点11作等腰三角形】 【考点12利用三线合一求值】 【考点13利用三线合一证明】 【考点14利用等角对等边证明边长相等】 【考点15利用等角对等边证明】 【考点16等边三角形的判定与性质】 【考点17垂直平分线的判定与性质】 【考点18等腰三角形中的新定义问题】 【考点19角平分线的判定与性质的综合求值】 【考点20角平分线的判定与性质的综合证明】

举一反三【考点1利用全等图形求网格中的角度和】【例1】（2022·山东·禹城市督杨实验学校八年级阶段练习）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【变式1-1】（2022·江苏省灌云高级中学城西分校八年级阶段练习）如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3=________度．【变式1-2】（2022·江苏·八年级单元测试）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P＋∠Q＝__________度．【变式1-3】（2022·山东·济南市槐荫区教育教学研究中心二模）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=______度．【考点2将已知图形分割成几个全等的图形】【例2】（2022·全国·八年级专题练习）沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成四个全等的图形．【变式2-1】（2022·江苏·八年级专题练习）方格纸上有2个图形，你能沿着格线把每一个图形都分成完全相同的两个部分吗？请画出分割线．【变式2-2】（2022·江苏·八年级课时练习）试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影．【变式2-3】（2022·全国·八年级专题练习）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等形．”理解应用：我们可以把4×4网格图形划分为两个全等图形．范例：如图1和图2是两种不同的划分方法，其中图3与图1视为同一种划分方法．请你再提供四种与上面不同的划分方法，分别在图4中画出来．【考点3添加条件使三角形全等】【例3】（2022·全国·八年级专题练习）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式3-1】（2022·重庆·中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【变式3-2】（2022·安徽淮南·八年级期末）如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BD； B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【变式3-3】（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB，CD相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(

)A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点4灵活选用判定方法证明全等】【例4】（2022·湖南·八年级单元测试）具备下列条件的两个三角形一定是全等三角形的是（

）．A．有两个角对应相等的两个三角形B．两边及其中一条对应边上的高也对应相等的两个三角形C．两边分别相等，并且第三条边上的中线也对应相等的两个三角形D．有两边及其第三边上的高分别对应相等的两个三角形【变式4-1】（2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习）我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE=AF，GE=GF，则△AEG≌△AFG的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【变式4-2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，那么图中全等的三角形有（

）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对【变式4-3】（2022·浙江·八年级单元测试）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（

）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°【考点5尺规作图与全等的综合运用】【例5】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC外找一个点A'（与点A不重合），并以BC为一边作△A'BC，使之与△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，则符合条件的点A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连结AD，CD．由作法可得：△ABC≅△CDA的根据是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【变式5-2】（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt△ABC，使∠B=90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______【变式5-3】（2022·北京·101中学九年级开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ②当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ③当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ其中所有正确结论的序号是______________．【考点6证明全等的常见辅助线的作法】【例6】（2022·江苏·宿迁青华中学七年级阶段练习）（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是．（2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由（3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小．【变式6-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，则∠B=（

）A．50∘ B．40∘ C．40∘或70【变式6-2】（2022·全国·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若AB=AC,∠ADB=∠ADC，求证：AD平分∠BAC.【变式6-3】（2022·全国·八年级课时练习）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上，DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．（1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；（2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．【考点7证一条线段等于两条线段的和（差）】【例7】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求证：CD＝AB＋AD【变式7-1】（2022·安徽淮北·八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的平分线，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，则四边形ABDC的周长为（

）A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a-b D．a+2b【变式7-2】（2022·山东烟台·七年级期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；(2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．(3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AE，CD为△ABC的角平分线，AE，CD交于点F．（1）如图1，若∠B=60°．①直接写出∠AFC的大小；②求证：AC=AD+CE．（2）若图2，若∠B=90°，求证：S△ACF【考点8全等中的倍长中线模型】【例8】（2022·江西吉安·七年级期末）（1）基础应用：如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD利用旋转全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）推广应用：应用旋转全等的方式解决问题如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；（3）综合应用：如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12∠BAD，试问线段EF、BE、FD【变式8-1】（2022·山东德州·八年级期末）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，【变式8-2】（2022·山东·高唐县赵寨子中学八年级期中）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．

（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；

（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；

（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．【变式8-3】（2022·全国·八年级）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．【考点9全等中的旋转模型】【例9】（2022·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD【变式9-1】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，则△ABD与△AEC的面积之和为（A．36 B．21 C．30 D．22【变式9-2】（2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，DB长______厘米．【变式9-3】（2022·全国·八年级课时练习）综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝12∠ABC，试探索线段MN、AM、CN（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝12∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为【考点10全等中的垂线模型】【例10】（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，∠EAB+∠DAC=度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【变式10-1】（2022·陕西省西安爱知中学七年级期末）（1）【问题发现】如图1，△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．（2）【问题提出】如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积．（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面积为12且CD的长为6，求△BCD的面积．【变式10-2】（2022·安徽·九年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则AGCG=【变式10-3】（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【考点11作等腰三角形】【例11】（2022·山东青岛·九年级专题练习）如图，已知：点P和直线BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，点M落在BC上．【变式11-1】（2022·福建省福州屏东中学八年级期中）我们知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一个顶角等于36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，请用两种不同的尺规作图在BC上找点D，使得△ABD是黄金三角形，并说明其中一种做法的理由．【变式11-2】（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，射线CM∥AB．(1)在线段AB上取一点E，使得CE=CB，在射线CM上确定一点D，使△CDE是以CE为底边的等腰三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接AD，求证：AD=BC．【变式11-3】（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）已知∠α，线段a，求作：等腰△ABC，使得顶角∠A=∠α，BC上的高为a．【考点12利用三线合一求值】【例12】（2022·河北保定·八年级期末）如图，一位同学拿了两块同样的含45°的三角尺，即等腰直角△MNK，等腰直角△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a，猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为（

）A．12a2 B．13a2 C．14a2 D．【变式12-1】（2022·广东·深圳市布心中学七年级期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E中同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE，以下结论：①AD=DC；②CM⊥AE；③AE-BE=2CM；④∠BCM=∠CBE，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式12-2】（2022·浙江·平阳苏步青学校八年级阶段练习）如图，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是(

)A．4 B．6 C．8 D．12【变式12-3】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若DE＝4，则CF的长为_____.【考点13利用三线合一证明】【例13】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．求证：(1)△AHE≌△BCE；(2)AH=2BD．【变式13-1】（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，连接EF交AD于G，试判断AD与EF垂直吗？并说明理由．【变式13-2】（2022·北京·垂杨柳中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，其中AD，BE都是△ABC的高．求证：∠BAD＝∠CAD＝∠EBC．【变式13-3】（2022·山东青岛·七年级期末）已知，在ΔABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是AB边上的一动点（不与点A、B(1)如图①，若E运动到BD上，过点A作CE的垂线交CD于点G，CE于点F，CB于点H，求证：CG=BE；(2)如图②，若E运动到AD上，过点A作CE的垂线与CE延长线交于点F，延长AF交CD延长线于点G，试猜想CG、【考点14利用等角对等边证明边长相等】【例14】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线，分别交AB，AC于E，F，则△AEF的周长是_____.【变式14-1】（2022·湖南长沙·八年级期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为__cm．【变式14-2】（2022·浙江·乐清市知临寄宿学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AC上一点，AE＝AB，连接DE.(1)求证：△ABD≌△AED；(2)已知∠ABC＝2∠C且BD＝5，AB＝9，求AC长．【变式14-3】（2022·福建·厦门双十中学八年级期末）如图，为的角平分线．(1)如图1，若于点，交于点，，．则_______；(2)如图2，于点，连接，若的面积是6，求的面积；(3)如图3，若，，，则的长为_______．（用含的式子表示）【考点15利用等角对等边证明】【例15】（2022·天津·八年级期中）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，AB＝AC，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，求证：BD＝CE．【变式15-1】（2022·浙江·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点B作AD的垂线，垂足为点D，DE∥AC，交AB于点E，(1)求证：△BDE是等腰三角形；(2)求证：CD=BE．【变式15-2】（2022·陕西西安·七年级期末）已知∠AOB=60°，小新在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为120°（即∠DPE=120°）的角尺来作∠AOB的角平分线．问题发现(1)如图1，他先在边OA和OB上分别取OD=OE，再移动角尺使PD=PE，然后他就说射线OP是∠AOB的角平分线．请问小新的观点是否正确，为什么？问题探究(2)如图2，小新在确认射线OP是∠AOB的角平分线后，一时兴起，将角尺绕点P旋转了一定的角度，若角尺旋转后恰好使得DP∥OB，发现线段OD与OE有一定的数量关系．请你直接写出线段OD与OE的数量关系，并说明理由．【变式15-3】（2022·江西·吉安县文博国际学校八年级开学考试）如图①，ΔABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F(1)图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．(2)如图②，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？(3)如图③，若ΔABC中∠B的平分线BO与∠ACG平分线CO交于O，过O点作OE∥BC，交AB于E，交AC于F．EF与BE、CF【考点16等边三角形的判定与性质】【例16】（2022·全国·八年级期中）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面积为m，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是（）A．25m B．13m C．【变式16-1】（2022·河南·郑州市第四初级中学八年级期中）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝2b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A．12a+2b B．12a+43【变式16-2】（2022·广东·东华学校八年级期中）如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，(1)求证：BD=AE，并求出∠DOE的度数；(2)判断△CFG的形状并说明理由；(3)求证：OA+OC=OB．【变式16-3】（2022·广东·汕头市金平区金园实验中学八年级期末）晓芳利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：初步发现：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AE交BD延长线于点F，求证：∠AFB＝60°；深入探究：如图2，在正三角形纸片△ABC的BC边上取一点D，作∠ADE＝60°交∠ACB外角平分线于点E，探究CE，DC和AC的数量关系，并证明；拓展创新：如图3，△ABC和△DCE均为正三角形，连接AE交BD于P，当B，C，E三点共线时，连接PC，若BC＝3CE，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明：（1）AP-3PDPC（2）AP+PC+2PDBD-PC+PE【考点17垂直平分线的判定与性质】【例17】（2022·广东·广州市第九十七中学八年级期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM=CN；（2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数．【变式17-1】（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分线上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，求证：（1）AG＝CF；（2）BC﹣AB＝2FC．【变式17-2】（2022·山西临汾·八年级阶段练习）情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证．证明：∵DM是边AB的垂直平分线，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C，则∠BAC-解得∠BAC＝105°．情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系．(1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______．(2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）．(3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．【变式17-3】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，CA＝CB，过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM＝AN，连结BN并延长交射线AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．【猜想】如图①，当∠C＝30°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN＝∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．【探究】如图②，若∠C＝β．（1）求证：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小为______度（用含β的代数式表示）．【应用】如图③，当∠C＝120°时，AM平分∠BAC，若AM、BN交于点F，DE＝12DF，DE＝1，则△DEF的面积为______【考点18等腰三角形中的新定义问题】【例18】（2022·山西临汾·八年级阶段练习）综合实践在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，则△ABD≌△ACE(SAS)．(1)【初步把握】如图2，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有_______≌________．(2)【深入研究】如图3，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，求证：(3)【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．【变式18-1】（2022·福建厦门·八年级期末）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图，在△ABC中，∵AD⊥BC于D，且BD=AD，∴△ACD是直角三角形，△ABD是等腰三角形，∴△ABC是等直三角形，AD是△ABC的一条等直分割线段．(1)如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直分割线段．(2)若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等腰三角形．【变式18-2】（2022·浙江·八年级单元测试）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD=CE．(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．【变式18-3】（2022·河南省直辖县级单位·八年级期末）阅读下列材料，解答问题：定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1），如果△ABM与△BCM均为等腰三角形，那么线段BM叫做△ABC的完美分割线．(1)如图1，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=36∘，BM为△ABC的完美分割线，且CM<AM，则∠C=°，∠AMB=(2)如图2，已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=108∘,AC=CN，求证：AN为(3)如图3，已知△ABC是一等