专题05 乘法公式的应用-2021-2022学年八上期末（解析版）

试卷第=page3030页，共=sectionpages3131页试卷第=page3131页，共=sectionpages3131页乘法公式的应用1．我们将进行变形，如：，ab＝等．根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b2＝10，，则ab＝．（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如图，长方形ABFD，DA⊥AB，FB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为．【答案】（1）4；（2）255；（3）10【分析】（1）将a2+b2＝10，（a+b）2＝18代入题干中的推导公式就可求得结果；（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可；（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）a2b2[（a+b）2﹣（a2+b2）]2ab＝ab＝10．【详解】（1）∵a2+b2＝10，（a+b）2＝18，∴ab4，故答案为：4（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴（25﹣x）2+（x﹣10）2＝[（25﹣x）+（x﹣10）]2﹣2（25﹣x）（x﹣10）＝152﹣2×（﹣15）＝225+30＝255，（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，∵DA⊥AB，FB⊥AB∴四边形DABE为直角梯形则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）（a2+b2）[（a+b）2﹣（a2+b2）]2ab＝ab＝10故答案为：10【点睛】此题考查了完全平方公式的变式应用能力，关键是能数形结合应用完全平方公式．2．如图，有长为m，宽为n的长方形卡片，边长为m的正方形卡片B，边长为n的正方形卡片C，将卡片C按如图1放置于卡片A上，其未叠合部分（阴影）面积为，将卡片A按如图2放置于卡片B上，其未叠合部分（阴影）面积为．（1）S1=________，S2=________；（用含m、n的代数式表示）（2）若S1+S2=24，则图3中阴影部分的面积________；（3）若mn=8，mn=12，求图4中阴影部分的面积．【答案】（1），；（2）24；（3）50【分析】（1）如图1，阴影面积卡面A的面积卡片的面积；如图2，阴影面积卡片的面积卡片A的面积；（2）如图3，阴影面积卡片面积卡片面积，而由已知，可解出，即可依此解答；（3）由于已知若，，有代数式，，所以在运算过程中出现：，要转化成，，才能用已知条件的数值代入．【详解】解：由题意得：卡片A的面积，卡片的面积，卡片的面积，（1）由题意得：，，故答案为：，；（2）∵，，∴，∵，∴∴，故答案为：24；（3），，，图4中阴影部分的面积∵，，，答：图4中阴影部分的面积是50．【点睛】本题考查完全平方公式的运用，（1）（2）常规性问题，（3）是本题的难点，首先用分割法求出阴影面积，整块面积减去直角三角形面积；其次是m²+n²+mn=（m-n）²+3mn的理解并运算．3．如图1是一个长为2，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按照图2的方式拼成一个大正方形．（1）图2中，中间空白正方形的边长等于．（2）请用两种不同的方法表示图2中空白正方形的面积：方法1；方法2．（3）比较（2）中的方法1和方法2，试写出，，这三个代数式之间的等量关系：．（4）若，，请利用（3）中的结论，求的值．【答案】（1）a-b；（2），；（3）=；（4）6．【分析】（1）观察图形得出图②中的空白部分的正方形的边长等于a-b；（2）方法1：求出空白正方形的边长，从而求其面积，方法2：运用大正方形的面积减去四个长方形的面积求得空白正方形面积；（3）根据两种方法表示的空白正方形面积相等可求解，即（a+b）2=（a-b）2+4ab；（4）利用（3）中等量关系求解．【详解】解：：（1）根据图形可观察出：图2中，中间空白正方形的边长等于a-b，故答案为：a-b；（2）方法1：小正方的边长为a-b，面积可表示为：（a-b）2，方法2：大正方形的面积为：（a+b）2，四个长方形的面积和为4ab，所以小正方形面积可表示为：（a+b）2-4ab；故答案为：，；（3）由题意可得：=；故答案为：=；（4）由（3）可得=，∵，，∴3=27-4ab，解得：ab=6．【点睛】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察．4．（1）请写出三个代数式（a+b）2、（a-b）2和ab之间数量关系式_______．（2）应用上一题的关系式，计算：xy=-3，x-y=4，试求x+y的值．（3）如图：线段AB=10，C点是AB上的一点，分别以AC、BC为边长在AB的异侧做正方形ACDE和正方形CBGF，连接AF；若两个正方形的面积S1+S2=32，求阴影部分△ACF面积．【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）x+y=±2；（3）S△ACF=17．【分析】（1）利用平方差公式计算出（a+b）2-（a-b）2的结果即可；（2）把xy=-3，x-y=4，代入（1）式即可求解；（3）设AC=x，BC=y，则x2+y2=32，x+y=10，根据完全平方公式的变形求出xy的值，即可得到结果．【详解】解：（1）（a+b）2-（a-b）2=；故答案为：（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）∵xy=-3，x-y=4，（x+y）2-（x-y）2=4xy，∴（x+y）2-42=4(-3)，即（x+y）2=4，∴x+y=±2；（3）解：设AC=x，BC=y，则x2+y2=32，x+y=10，∵2xy=(x+y)2-(x2+y2)=100-32=68，∴xy=34即S△ACF=AC×CF=xy=17．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何意义，关键是能用算式表示图形面积并进行拓展应用．5．如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：；方法二：；（2）观察图②，试写出，，，这四个代数式之间的等量关系；（3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求的值；（4）求的值．【答案】（1）；；（2）；（3）25；（4）100【分析】（1）利用两种方法表示出大正方形面积，第一种用组成正方形的两个小正方形+4个三角形面积，第二种用正方形面积公式边长的平方即可；（2）根据各自表示的面积写出四个代数式之间的等量关系即可；（3）利用面积求出，（a+b）2=49，把原式变形a2+b2=（a+b）2-2ab，整体代入计算即可得到结果．（4）将算式适当变形，利用完全平方公式进行解答即可．【详解】解：（1）方法一：；方法二：（a+b）2；故答案为：；（a+b）2；（2）a2+2ab+b2=（a+b）2；（3），（a+b）2=49，∴a2+b2=（a+b）2-2ab，=（a+b）2-4×，=49-4×6，=25；（4），=，，，=100．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．我们将完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，可以得到一些新的等式，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]等等．请利用这些变形后的等式解决下列问题：（1）已知a2+b2＝15，（a+b）2＝3，求ab的值；（2）若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值；（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若2AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为．【答案】（1）-6；（2）255；（3）5【分析】（1）将a2+b2=15，（a+b）2=3代入题干中的推导公式就可求得结果；（2）设25-x=a，x-10=b，则（25-x）2+（x-10）2=a2+b2=（a+b）2-2ab，再代入计算即可；（3）设AD=AC=a，BE=BC=b，则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）-a²-b²=[（a+b）²-（a²+b²）]=×2ab=ab=5．【详解】解：（1）∵a2+b2=15，（a+b）2=3，∴ab=[（a+b）2﹣（a2+b2）]=×（3-15）=-6；（2）设25-x=a，x-10=b，由（a+b）2=a2+2ab+b2进行变形得，a2+b2=（a+b）2-2ab，∴（25-x）2+（x-10）2=[（25-x）+（x-10）]²-2（25-x）（x-10）=15²-2×（-15）=225+30=255；（3）设AD=AC=a，BE=BC=b，∵2AC•BC＝10，∴AC•BC＝5，则图中阴影部分的面积为（a+b）（a+b）-（a²+b²）=[（a+b）²-（a²+b²）]=×2ab=ab=5．【点睛】此题考查了完全平方公式的变式应用能力，关键是能数形结合应用完全平方公式．7．图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为．（2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；（3）观察图，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式，，；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知，，求的值．【答案】（1）；（2）方法①：，方法②：；（3）；（4）29．【分析】（1）根据图形即可得出图中小正方形的边长为；（2）直接利用正方形的面积公式得到图中阴影部分的面积为；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图中阴影部分的面积为；（3）根据图中阴影部分的面积是定值得到等量关系式；（4）利用（3）中的公式得到．【详解】解：（1）图中小正方形的边长为．故答案为；（2）方法①：；方法②：；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以；（4）由（3）得：，，，．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．8．数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图②的大正方形．（1）仔细观察图①、图②，请你写出代数式，，之间的等量关系是____．（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题：①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1）；（2）①3，②【分析】（1）分别用表示出图①和图②，从而即可得出等式；（2）①通过（1）中的结论变形即可求解；②设，通过等量代换及（1）中的结论即可求解．【详解】解：（1）．（2）①，．．，．②设，则，．，．．．．即．．【点睛】本题主要考查完全平方公式，数形结合及灵活应用是解题的关键．9．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x+y=5，xy=，则x-y=；（3）拓展应用：若（2021-m）2+（m-2020）2=7，求（2021-m）（m-2020）的值【答案】（1）；（2）或；（3）【分析】（1）由图知大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个长方形的面积，分别计算代入即可得正确答案；（2）将相关数值代入第一问的关系式，即可解得正确答案；（3）将式子变形，代入相关数值，即可得到答案．【详解】解：（1）由图知：（2）∵∴∵∴∴或故答案为：或（3）∵且∴【点睛】本题考查完全平方式的应用，根据公式解题是关键．10．阅读材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m，n的值．解：∵m2-2mn+2n2-8n+16=0，∴（m2-2mn+n2）+（n2-8n+16）=0，（m-n）2+（n-4）2=0，∴（m-n）2=0，（n-4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2-10a-12b+61=0，求c的取值范围；（2）已知P=2x2+4y+13，Q=x2-y2+6x-1，比较P，Q的大小．【答案】（1）1＜c＜11；（2）P＞Q．【分析】（1）利用配方法求出a和b的值，再利用三角形三边关系求出c的取值范围即可；（2）用配方法得出P-Q的值大于0即可．【详解】解：（1）∵a2+b2-10a-12b+61=0，∴a2-10a+25+b2-12b+36=0，∴（a-5）2+（b-6）2=0，∵（a-5）2≥0，（b-6）2≥0，∴a-5=0，b-6=0，解得：a=5，b=6，∵a，b，c，是△ABC的三边长，∴6-5＜c＜6+5，即：1＜c＜11；（2）由题知P-Q=2x2+4y+13-（x2-y2+6x-1）=x2-6x+9+y2+4y+4+1=（x-3）2+（y+2）2+1＞0，∴P＞Q．【点睛】本题主要考查了配方法解决实际问题以及三角形三边关系，熟练掌握配方法是解题的关键．11．发现与探索．小丽的思考：代数式（a﹣3）2+4无论a取何值（a﹣3）2都大于等于0，再加上4，则代数式（a﹣3）2+4大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：（1）说明：代数式a2﹣12a+20的最小值为﹣16．（2）请仿照小丽的思考求代数式﹣a2+10a﹣8的最大值．【答案】（1）；（2）17【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，根据平方结果为非负数确定出最小值即可；（2）原式利用完全平方公式配方后，根据平方结果为非负数确定出最大值即可．【详解】解：（1）原式，无论取何值，，，则的最小值为；（2），即，原式，则的最大值为17．【点睛】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．12．数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：．（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：方法1：_________________；方法2∶_________________．（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式?（3）①已知，，请利用（2）中的等式，求的值．②已知，，请利用（2）中的等式，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①；②1【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积即可解答；（2）根据（1）求得的结果，利用两种方法求得的阴影面积相等即可解答；（3）①根据即可得到，由此求解即可；②根据可得，由此求解即可．【详解】解：（）方法1：阴影部分面积为4个相同的小长方形的面积之和，∴阴影部分面积=；方法2：阴影部分面积=大正方形的面积-小正方形面积∴阴影部分面积=．故答案为：，；（）∵（1）中两种方法求得的阴影部分面积相等，∴；（）①∵，，，∴，∴；②，，，∴，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据阴影部分的面积与大正方形的面积-小正方形的面积相等列式计算是解题的关键．13．乘法公式的探究及应用．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：；方法2：．（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，ab之间的等量关系：；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：，，求ab的值；②已知，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①7；②16【分析】（1）方法1：利用整个大的图形是正方形可得边长为可得面积，方法2：再利用大的正方形由两个小的正方形与两个长方形组成，可得面积；（2）利用图形面积相等，可得公式；（3）①由，可得，再整体代入求值即可；②设，则，，再求解，从而整体代入可得答案.【详解】解：（1）根据图形可得图2大正方形的面积表示为或故答案为：，；（2）由（1）题可得，故答案为：；（3）①由，可得∴当，时，②设，则，则可求得由整体思想得，【点睛】本题考查的是利用图形面积证明完全平方公式，完全平方公式的变形，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，熟悉公式变形是解题的关键.14．例如：若，，求的值．解：因为，所以，即：，又因为，所以根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若，，求的值；（2）填空：若，则______；（3）如图所示，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，分别以、作正方形和正方形，长方形的面积是12，则的值为______．【答案】（1）12；（2）6；（3）5【分析】（1）求出，利用完全平方公式展开即可求出的值；（2）类比（1）先求出的和，再利用完全平方公式求解即可；（3）结合图形，得出，，参照题目给出的方法求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，即，又∵，∴，∴（2）∵，∴，，∵，∴，答案为：6（3）∵，，∴∴∴∴或（舍去）故答案为5．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，充分理解题意，树立数形结合思想是正确解答的关键．15．如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：______，方法2：________；（2）从中你发现什么结论呢？_________；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知，，求的值；②已知，求的值．【答案】（1），；（2）；（3）①28；②．【分析】（1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；（2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论；（3）①由（2）的结论，代入计算即可；②设，，则，，求即可．【详解】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即，方法2，从边长为的大正方形面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，故答案为：，；（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，，故答案为：；（3）①，，又，；②设，，则，，，答：的值为．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键．16．阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值，探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为；当x＝2时，x2+2x+5的值为，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+l+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+的最小值为，这时相应的x＝．根据上述探究，请解答：（1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值．（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由．【答案】探究一：8，13；探究二：4，-1；（1）当x=-4时，代数式-x2-8x+17有最大值是33；（2）【分析】探究一：把x=1和x=2分别代入代数式x2+2x+5中，再进行计算即可得出答案；探究二：先将代数式x2+2x+5运用完全平方公式变形后得：（x+1）2+4，可得结论；（1）将代数式-x2-8x+17运用完全平方公式变形后可得结论；（2）存在A=B，列式可得x和y值，相乘可得x•y的值．【详解】解：探究一：当x=1时，x2+2x+5=12+2+5=8；若x=2，x2+2x+5=22+2×2+5=13；故答案为：8，13；探究二：x2+2x+5=（x2+2x+1）+4=（x+1）2+4，∵（x+1）2是非负数，∴这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x=-1．故答案为：4，-1；（1）∵-x2-8x+17=-（x+4）2+33，∴当x=-4时，代数式-x2-8x+17有最大值是33；（2）∵A=-x2-8x+17，B=9y2+12y+37，当A=B时，则B-A=0，∴（9y2+12y+37）-（-x2-8x+17）=0，9y2+12y+4+x2+8x+16=0，（3y+2）2+（x+4）2=0，∴3y+2=0，x+4=0，∴x=-4，y=，∴x•y=-4×（）=．【点睛】此题考查了完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．17．阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）探究：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）代数式﹣x2﹣2x有最（填“大”或“小”）值为；（3）应用：比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小：（4）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）﹣2，1；（2）大，1；（3）x2﹣1＞2x﹣3；（4）当花圃的宽为10m，长为20m时花圃面积最大，最大面积为200m2【分析】（1）将原式配方即可；（2）将原式配方即可判断；（3）先做差，然后配方，判断配方后的式子大于0即可；（4）设矩形花圃的宽为xm，则长为（40-2x）m，根据矩形的面积公式列出函数关系式，再配方，根据函数的性质求最值．【详解】解：（1）x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，故答案为：-2，1；（2）∵-x2-2x=-（x2+2x）=-（x2+2x+1-1）=-（x+1）2+1，又∵（x+1）2≥0，∴-（x+1）2≤0，∴-（x+1）2+1≤1，∴-x2-2x的最大值为1，故答案为：大，1；（3）x2-1-（2x-3）=x2-1-2x+3=x2-2x+2=（x-1）2+1，∵（x-1）2≥0，∴（x-1）2+1≥1＞0，∴x2-1＞2x-3；（4）设矩形花圃的宽为xm，则长为（40-2x）m，∴矩形的面积S=（40-2x）x=-2x2+40x=-2（x2-20x）=-2（x-10）2+200，∵（x-10）2≥0，∴-（x-10）2≤0，∴-（x-10）2+200≤200，∴当x=10时，S有最大值200（m2），此时，40-2x=20（m），∴当花圃的宽为10m，长为20m时花圃面积最大，最大面积为200m2．【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．18．问题情境：阅读：若满足，求的值．解：设，，则，，所以请仿照上例解决下面的问题：问题发现（1）若满足，求的值．类比探究（2）若满足，求的值．拓展延伸（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积为200，四边形和都是正方形，是长方形，求四边形的面积（结果必须是一个具体数值）．【答案】（1）21；（2）1009；（3）900【分析】（1）令a=3-x，b=x-2，整体代入后利用完全平方公式求解；（2）令a=2021-x，b=2020-x，再利用完全平方公式求代数式的值；（3）设a=x-20，b=x-10，由题意列出方程ab=200，再结合正方形和矩形的面积公式求四边形MFNP的面积．【详解】解：（1）设a=3-x，b=x-2，则ab=-10，a+b=1，∴（3-x）2+（x-2）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=12-2×(-10)=21；（2）设a=2021-x，b=2020-x，则a-b=1，∴a2+b2=2019，∴（2021-x）（2020-x）=ab=-[（a-b）2-（a2+b2）]=-×（12-2019）=1009；（3）由题意得：EF=DG=x-20，ED=FG=x-10，∵四边形MEDQ和四边形NGDH是正方形，四边形QDHP是长方形，∴MF=EF+EM=EF+ED=（x-20）+（x-10），FN=FG+GN=FG+GD=（x-10）+（x-20），∴MF=FN，∴四边形MFNP是正方形，设a=x-20，b=x-10，则，a-b=-10，∵长方形EFGD的面积为200，∴ab=200，∴S正方形MFNP=（a+b）2=（a-b）2+4ab=（-10）2+4×200=900．【点睛】本题考查了整体思想和完全平方公式的应用，在解题的时候关键是用换元的方法将给定的式子和所求的式子进行替换，这样会更加容易看出来已知条件和所求之间的关系．19．小明在学完《整式的乘除》后发现，许多的计算法则或公式均可由图形变换过程中的面积关系来说明。以下是他的探究过程，请你将其补充完整：探究一：将左图中的大长方形分割变换成右图中的三个小长方形．（1）左图中大长方形的面积可表示为：______．（2）右图中三个小长方形的面积和可表示为：______．（3）根据左右两个图形的面积关系得到的恒等式是：______．探究二：如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．（1）请用两种不同的方法用含、的代数式表示图②中阴影部分（小正方形）的面积．方法①______．方法②______．（2）根据图②中阴影部分面积的不同表示法，试写出，，这三个代数式之间的等量关系式：______．应用：根据探究二中的等量关系，解决如下问题：若，，则求的值．【答案】探究一：（1）；（2）；（3）；探究二：（1）；（2）；应用：49【分析】探究一：（1）根据长方形的面积的计算方法即可得出答案；（2）分别表示出每一个长方形的面积即可；（3）由（1）（2）可得恒等式；探究二：（1）方法①阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，方法②阴影部分可以看作从边长为的正方形面积减去四个长为，宽为的长方形面积即可；（2）由方法①，方法②可得等式；应用：类比得出：，再代入计算即可．【详解】探究一：(1)图1左图是长为，宽为的长方形,因此面积为，故答案为：，（2）三个长方形的面积和为，故答案为：，（3）由（1）（2）可得，故答案为;探究二：（1）方法①阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，方法②阴影部分可以看作从边长为的正方形面积减去四个长为，宽为的长方形面积，即，故答案为：,（2）由方法①②可得，，故答案为：；应用：类比可得,即，,答：当时的值为49.【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同方法表示同一个图形的面积是得出正确答案的关键．20．先阅读下面材料，再解决问题：在求多项式的值时，有时可以通过“降次”的方法，把字母的次数从“高次”降为“低次”．一般有“逐步降次法”和“整体代入法”两种做法．例如：已知，求多项式的值．方法一：∵，∴，∴原式．方法二：∵，∴，∴原式．（1）应用：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）；（2）拓展：已知，求多项式的值（只需用一种方法即可）．【答案】（1）；（2）5【分析】（1）由题意可得把=0变形为，然后整体代入即可得出答案；（2）由题意可得把变形为，代入在利用“逐步降次法”即可得出答案；【详解】解：（1）∵=0，∴，∴原式===（2）∵，∴，∴原式======5【点睛】本题考查了代数式的值，理解“逐步降次法”和“整体代入法”并能熟练应用是解决本题的关键．21．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）观察图2，请你直接写出下列三个代数式（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系为；（2）运用你所得到的公式解答下列问题：①若m、n为实数，且m＋n＝－2，mn＝－3，求m－n的值．②如图3，S1、S2分别表示边长为a，b的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上．若S1＋S2＝20，AB＝a＋b＝6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）；（2）①±4；②8【分析】（1）根据图2，用面积相等列出等量关系即可；（2）①由第一问知：，结合已知条件，代入数值，求解即可；②由题意知：，，所以可以由，得到的值，即可得到阴影部分的面积．【详解】解：（1）（2）①由第一问知：故所以即②因为所以因为所以又因为，且所以所以【点睛】本题考查完全平方公式的实际应用，掌握好数形结合思想是解题关键．22．阅读理解：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．参考上述过程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，则x2+y2＝，（x+y）2＝；（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．【答案】（1）5，1；（2）124【分析】（1）根据x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，可求出x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，进而再求出（x+y）2的值，（2）把（m﹣p）看作一个整体，就转化为（1），再利用（1）的方法求解即可．【详解】解：（1）∵x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，∴x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝9﹣4＝5，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝5﹣4＝1，故答案为：5，1；（2）∵m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，∴（m﹣p）2+n2＝（m﹣p+n）2﹣2（m﹣p）n＝100+24＝124．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式．23．如图1是一个长为4b、宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是．（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值．（3）变式应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值．【答案】（1）（a﹣b）2+4ab＝（a+b）2；（2）±4；（3）-8【分析】（1）由观察图形可得，（a-b）2+4ab=（a+b）2；（2）由（1）题结论（a-b）2+4ab=（a+b）2可得，（a-b）2=（a+b）2-4ab，将x+y=5，xy=代入，可求得（x-y）2的值，最后就可求出结果；（3）由（a+b）2=a2+2ab+b2得，ab=(a+b)2−(a2+b2)2，运用整体代入法可求出结果．【详解】解：（1）由题意得图1中长方形面积为4ab，图2中阴影部分面积是（a﹣b）2，整体面积是（a+