2025高考物理一轮复习讲义：卫星变轨问题、双星模型

第3课时专题强化：卫星变轨问题双星模型

旧标要求】1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。

3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。

考点一卫星的变轨和对接问题

1.卫星发射模型

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道I上，卫星在轨道I上做

匀速圆周运动，有吟学=哈，如图所示。

⑵在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，嘤V用,卫星做离心运

动进入椭圆轨道H。

(3)在椭圆轨道B点(远地点)，将做近心运动，再次点火加速，使)普=/^一，

进入圆轨道III。

2.变轨过程分析

(1)速度：设卫星在圆轨道I和III上运行时的速率分别为。1、。3，在椭圆轨道II上过A点和8

点时速率分别为VB，四个速度关系为04＞。1＞。3＞诙

(2)加速度

在A点，轨道I上和轨道n上的加速度关系a14三OUA，在B点，轨道II上和轨道III上的加速

度关系GIB三。岫，4B两点加速度关系。a3。(均选填”或“＜”)

(3)周期

卫星在I、II、III轨道上的运行周期4、T2、Ta的关系为T、＜TKT、。

(4)机械能

在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能立恒。若卫星在I、II、III轨道的机械能分别为目、及、

E3,从轨道I到轨道II和从轨道II到轨道m都需要点火加速，则机械能关系为昌延组。

【例1】(2023•江苏南京市期中)地球、火星的公转轨道可近似为如图所示的圆，“天问一号”

火星探测器脱离地球引力束缚后通过霍曼转移轨道飞往火星，霍曼转移轨道为椭圆轨道的一

部分，在其近日点、远日点处分别与地球、火星轨道相切。若仅考虑太阳引力的影响，则“天

问一号”在飞往火星的过程中（）

火星轨道

O；

太阳/'

''--7霍曼转移轨道

A.速度变大B.速度不变

C.加速度变小D.加速度不变

答案C

解析“天问一号”在飞往火星的过程中，从近日点到远日点速度变小，故A、B错误；

根据臀=7加i可知，"天问一号"与太阳之间的距离变大，加速度变小，故C正确，D错

、口

7天。

【例21（2024•江苏扬州市宝应区曹甸高级中学月考）嫦娥五号完成探月任务后于2020年12月

17日成功返回地球。图中椭圆轨道I、100公里环月轨道II及月地转移轨道III分别为嫦娥五

号从月球返回地球过程中所经过的三个轨道示意图，下列关于嫦娥五号从月球返回过程中的

说法正确的是（）

A.在轨道n上运行时的周期小于在轨道I上运行时的周期

B.在轨道I上运行时的加速度大小始终大于在轨道II上时的加速度大小

c.在N点时嫦娥五号经过点火加速才能从轨道II进入轨道m

D.在轨道I上，嫦娥五号在N点时的动能比在M点时的动能大

答案C

解析轨道n的半径大于椭圆轨道I的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道n上运行

时的周期大于在轨道I上运行时的周期，故A错误；在轨道I上的N点和轨道II上的N受

到的万有引力相同，所以在两个轨道上经过N点时的加速度大小相等，故B错误；从轨道n

到月地转移轨道III做离心运动，在N点时嫦娥五号需要经过点火加速才能从轨道II进入轨道

III,故C正确；在轨道I上运行时，由开普勒第二定律知在N点时速度小，即嫦娥五号在N

点时的动能比在M点时的动能小，故D错误。

【例3】（2023•江苏盐城市高级实验中学模拟）如图所示，北京时间2022年11月12日10时03

分，搭载着天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在我国文昌航天发射场准时点火发

射，天舟五号货运飞船入轨后顺利完成状态设置，于北京时间11月12日12时10分，采取

自主快速交会对接模式，成功对接于空间站天和核心舱后向端口，从而转入组合体飞行阶段，

中国航天员也首次在空间站迎接货运飞船的来访。结合材料信息，下列说法正确的是（）

A.天舟五号是从空间站后上方通过加速实现交会对接的

B.天舟五号是从空间站后下方通过加速实现交会对接的

C.天舟五号是从空间站后下方通过减速实现交会对接的

D.天舟五号是从空间站后上方通过减速实现交会对接的

答案B

解析天舟五号正常在轨运行时，由万有引力提供做匀速圆周运动的向心力，而对接时需要

天舟五号加速，做离心运动上升到较高的轨道。故选B。

考点二双星或多星模型

1.双星模型

（1）绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。

⑵特点

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即&詈=如。12八，警詈=m2co22r2。

②两星的周期、角速度相同，即丁1=丁2,。1=。2。

③两星的轨道半径与它们之间的距离的关系为厂1+72=八

【例4】（2023•江苏泰州市模拟）如图所示，“食双星”是两颗相距为d的恒星A、B,只在相

互引力作用下绕连线上O点做匀速圆周运动，彼此掩食（像月亮挡住太阳）而造成亮度发生周

期性变化的两颗恒星。观察者在地球上通过望远镜观察“食双星”，视线与双星轨道共面。

观测发现每隔时间7两颗恒星与望远镜共线一次，己知引力常量为G,地球距A、B很远，

可认为地球保持静止，贝!］（）

A.恒星A、B运动的周期为T

B.恒星A的质量小于B的质量

兀2d3

C.恒星A、B的总质量为涕

D.恒星A的线速度大于B的线速度

答案C

解析每隔时间T两颗恒星与望远镜共线一次，则两恒星的运动周期为T'=2T,故A错误;

24兀2

根据万有引力提供向心力有Gm3B4K

=H3,由题图知rA〈FB,则%A>"ZB,故

兀2d3

B错误；由B选项得，两恒星总质量为M=AHA+^B=GT11,故C正确；根据0=口忆两恒星

南速度相等，则。A<OB,故D错误。

2.多星模型

所研究星体所受万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度

或周期相同。常见的多星模型及其规律：

Gm2GMm

m•----•-----•mma

\RR；①(2R)2十~向

、•

常见的三__，，

星模型

，'：\

(2)^j-Xcos向

L.'：\30°X2=ma

/人'

J/0、、、、、'、

m*二-------------%m

；kTH

①~^-Xcos45°义2+石、2一根〃向

&二，『LNW

常见的四

m、—一

星模型

・m

/：\7

②L2Xcos30°X2+L一加〃向

—(前

m工二：。二二产

【例5】如图所示，质量相等的三颗星体组成三星系统，其他星体对它们的引力作用可忽略。

设每颗星体的质量均为m,三颗星体分别位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，它们绕

某一共同的圆心。在三角形所在的平面内以相同的角速度做匀速圆周运动。已知引力常量为

G,下列说法正确的是（）

m

,，

；/、、、\

m,二---------二、团

A.每颗星体所需向心力大小为2库

B.每颗星体运行的周期均为2祇/号

C.若「不变，星体质量均变为2m,则星体的角速度变为原来的4倍

D.若机不变，星体间的距离变为4厂，则星体的线速度变为原来的;

答案B

解析任意两颗星体间的万有引力大小&=聋，每颗星体受到其他两个星体的引力的合力

r_

为F=2F0cos30°=V3Gp-,A错误；由牛顿第二定律可得广=徵号,其中/=—^—=

当3解得每颗星体运行的周期均为T=2TT\A与，B正确；星体原来的角速度①=半=

若「不变，星体质量均变为2根，则星体的角速度。'=新=寸娑，则星体的

2兀//

角速度变为原来的镜倍，C错误；星体原来的线速度大小。=下^,若根不变，星体间的

距离变为4r,则星体的周期T，=2cJ^^=16D^^=8T,星体的线速度大小。'=^7~

Trrr1

X4厂'=—,则星体的线速度变为原来的》D错误。

考点三星球“瓦解”问题黑洞

1.星球的瓦解问题

当星球自转越来越快时,星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘

起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提

供向心力，即G%租=一。2见得当①＞、1窄时,星球瓦解，当。cj窄'时，

星球稳定运行。

2.黑洞

黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞

运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的艰

倍）超过光速时，该天体就是黑洞。

【例612018年2月，我国500m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，

其自转周期T=5.19mso假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67X10F

N-m2/kg2o以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（）

A.5X109kg/m3B.5X1012kg/m3

C.5X1015kg/m:D.5X1018kg/m3

答案C

解析毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有机又知看tr3,

整理得密度22潦3=667Xl（）—3uXx3'（51419X1（尸）2kg/n?仁5.2X1015kg/m3,故选C。

【例7】科学研究表明，当天体的逃逸速度（逃逸速度为其第一宇宙速度的吸倍）大于光速时，

该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为公地球的半径为R,地球的环绕速度（第

一宇宙速度）为。1，光速为c,则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（）

2vi-R2kdRko，R2kvfR

B.kC.=

答案D

解析地球的第一宇宙速度为则黑洞的第一宇宙速度为

并且有啦。2＞。，联立解得r＜爷岂，所以D正确，A、B、C错误。

课时精练

|力基础落实练

1.（2024.江苏南通市期中）神舟十六号载人飞船返回过程，在A点从圆形轨道I进入椭圆轨道

II,8为轨道II上的一点，如图所示，关于神舟十六号飞船的运动，下列说法中正确的是（）

A.在轨道II上经过A的速度大于经过B的速度

B.在轨道H上运动的周期大于在轨道I上运动的周期

C.在轨道II上经过A的动能小于在轨道I上经过A的动能

D.在轨道D上经过A的加速度小于在轨道I上经过A的加速度

答案C

解析飞船在轨道n上从A到8的过程中，万有引力做正功，由动能定理可知在轨道n上经

尹

过A的速度小于经过2的速度，故A错误；飞船绕地球运行，由开普勒第三定律可知弁=匕

半长轴越大，周期越大，故在轨道II上运动的周期小于在轨道I上运动的周期，故B错误；

飞船在A点从轨道I进入轨道II要点火减速，则在轨道n上运动经过A点的速度小于在轨道

I上经过A点的速度，即在轨道II上经过A的动能小于在轨道I上经过A的动能，故C正确;

飞船在A点受到的万有引力一定，由牛顿第二定律可知在轨道II上经过A点的加速度等于在

轨道I上经过A的加速度，故D错误。

2.欧洲木星探测器于2023年4月发射，将于2031年7月抵达木星，如图所示，假设欧洲木

星探测器进入木星表面前，在木卫一与木卫四之间先绕木星做匀速圆周运动，下列说法正确

//、、、

欧洲

，

木

星

探?,售襦』

测

呼v。：

、r

、

、/

、

、~~......-/

、杰卫四一，

A.欧洲木星探测器做匀速圆周运动的角速度大于木卫一的角速度

B.欧洲木星探测器做匀速圆周运动的线速度小于木卫四的线速度

C.若使欧洲木星探测器能被木星捕获，必须减小其机械能

D.若使欧洲木星探测器能被木卫四捕获，必须减小其机械能

答案C

解析根据6^^=加。2厂=布7,解得欧洲木星探测器的公转轨道

半径大于木卫一的公转轨道半径，则欧洲木星探测器的角速度小于木卫一的角速度；欧洲木

星探测器的公转轨道半径小于木卫四的公转轨道半径，故欧洲木星探测器的线速度大于木卫

四的线速度，故A、B错误；若要让欧洲木星探测器被木星捕获，必须减小其机械能，让其

做近心运动；若要让欧洲木星探测器被木卫四捕获，必须增大其机械能，让其做离心运动，

故C正确，D错误。

3.（2023•江苏盐城市伍佑中学阶段检测）经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，

“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每颗恒星的大小远小于两星体之间的距离，而且

双星系统一般远离其他天体。两颗质量分别为m1、/2的星体A、B组成的双星，在相互之间

的万有引力作用下，绕连线上的。点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星体之间的距

离为L,质量之比为m1：“22=3：2。则可知（）

A.A与B做圆周运动的角速度之比为2：3

B.A与B做圆周运动的线速度大小之比为3：2

C.A做圆周运动的半径为声

D.B做圆周运动的半径为犯

答案C

解析A、B双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，故角速

度相等，A项错误；A与B所需向心力大小相等，mia>~ri=m2a>2r2,即〃21八=%2r2,因为

A、B质量之比为mi：m2=3:2,则轨道半径之比n：冷=2：3,所以A做圆周运动的半径

为,L,B做圆周运动的半径为向乙，C项正确，D项错误；根据■"可知，角速度相等，A

与B做圆周运动的线速度大小之比等于轨道半径之比为2：3,B项错误。

4.（2024•江苏徐州市期初考）我国航天局宣布国家已批准通过了行星探测工程，计划在未来的

10至15年间展开并完成对小行星、火星、木星等行星的取样返回的研究。若从地球上直接

发射一个探测器，探测器被小行星捕获，需由高轨道适当位置启动发动机进入椭圆转移轨道,

再由椭圆轨道适当位置变速进入环绕小行星表面运动的轨道，这个过程简化示意图如图所示,

已知圆轨道I、III共面，椭圆轨道平面与轨道I平面的夹角为a,则下列说法正确的是（）

A.探测器从轨道I上经过P点比轨道II上经过尸点的加速度大

B.探测器从轨道I进入轨道n需要在p点向前喷气

C.探测器在地球上的发射速度大于11.2km/s

D.探测器在轨道H上从尸点运动到。点的过程中机械能增大

答案c

解析探测器从轨道I上经过P点和轨道II上经过P点所受的万有引力尸=-^相同，故加

速度相同，故A错误；由于轨道n平面与轨道I平面有夹角，故不能只向前喷气，故B错误；

发射的探测器是为了完成小行星的探测，故发射速度大于11.2km/s,故C正确；探测器在轨

道H上从尸点到。点的过程中只有万有引力做功，故机械能不变，故D错误。

5.2022年11月12日，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射

到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接

技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，

两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷

射燃气的方向可能正确的是（）

天舟五色喷气方向天舟五苫暗々■方向

运行方向:尹二-、运行方向口£取方向

AB

天舟;五号天舟4号

运行方向受关I、、运行方仲坨寺

/全间站喷气、、/空间站喷气、、、

方向方向

CD

答案A

解析要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要

V-

想不脱离原轨道，根据咛，则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方面有沿轨道

向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力方向与喷气方向相反，

则图A是正确的。

6.（2023•江苏省昆山中学模拟）银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的

星体S1和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点。做匀速圆周

运动（如图所示）。由天文观察测得圆周运动周期为T,Si到。点的距离为n，Si和S2的距离

为r,已知引力常量为G,Si、S2均可视为质点。由此可求出Si的质量为（）

4兀2&-厂］）3

4712r^厂一小

A.-G?~B:

「47r2n347r2r2n

D-GT2

答案A

解析根据题意可知，双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，

2

对S2有G罩丝=加爷"一川，

4兀2产（7—7］）

解得mi—-G75-

故B、C、D错误，A正确。

7.（2023•江苏常州市前黄中学月考）如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年

的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连线上中间某

个点公转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质

量不变，则以下说法中正确的是（）

A.质量较大的恒星比质量较小的恒星线速度更大

B.每颗星的加速度均变小

C.双星系统周期逐渐变小

D.双星系统转动的角速度变小

答案c

解析设两颗恒星的质量分别为M,m,二者间的距离为L,根据万有引力提供恒星做圆周

运动的向心力，有心得=Ma＞2fi=Mai,ma＞2r?.—ma2,所以ai=GmGM

声，念=下,,由于

两颗恒星正在缓慢靠近，即L减小，所以每颗星的加速度均变大，故B错误；根据几何关系

°（啰附,L减小，双星系统转动的角速度变大，根据角速

ri+r2=i,联立上式可得。=

度与周期的关系T=^■可知,周期变小，故C正确，D错误；根据G^^=Mco2ri,C^^=mco2r2

可得肃=令，根据角速度与线速度的关系o=or可得晟=£=令，所以质量较大的恒星比质量

较小的恒星线速度更小，故A错误。

8.（2023•江苏南京市考前特训）中国空间站在轨运行周期T=1.54h,地球半径为R,重力加

速度g取9.8m/s2o在2022年，某次避险变轨中首先变轨到更高的轨道（A到8过程），险情

之后，再回到原运行轨道（C到A过程）。己知卫星运行方向与地球自转方向相同，下列说法

正确的是（）

A.空间站距地面的高度为/i=4唔g一R

B.第一次加速后的速度比第二次加速后的速度小

C.变轨避险的过程，空间站先经过两次减速进入更高轨道，再经过两次加速回到原轨道

D.空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多16次

答案A

解析对于近地卫星有C^^=mg,对中国空间站在轨运行过程有G（黑=""璋，

解得h=心票一R,A正确；A到8过程是由低轨道变轨到高轨道，需要在切点A处加速，

则有0A圆＜办椭，在切点B处加速后由椭圆低轨道变轨到圆高轨道，在两个圆轨道上，根据

G^^=my,解得v=\F^,由于5处圆轨道的轨道半径大于A处圆轨道轨道半径，则有

VAS^VBBl,则有OB圆＜。4阈＜。4神，即弟一■次加速后的速度比第—**次加速后的速度大，B错误；

根据变轨规律，进入高轨道需要加速，进入低轨道需要减速，即变轨避险的过程，空间站先

经过两次加速进入更高轨道，再经过两次减速回到原轨道，C错误；空间站轨道如果在赤道

27r27r

平面内，一天内经赤道上空同一位置最多n次，则有〒・T同步一丫7同步=（〃-1>2兀，解得

/空/地

15.58,可知空间站轨道如果在赤道平面内，一天内经赤道上空同一位置最多15次，D错

沃、口。

IE能力综合练

9.一近地卫星的运行周期为To,地球的自转周期为T,则地球的平均密度与地球不致因自转

而瓦解的最小密度之比为（）

A为C<D4

答案D

解析对近地卫星，有$耨=皿$）2R,地球的质量兀/，联立解得以地

球赤道处一质量为加0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于等于它随地球一起旋

转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不致因自转而瓦解的最小密度为P2,则有

=加0序>R,M=P2-^7IR3,联立解得。2=音5,所以/=亲，故选D。

10.如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四

个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，

引力常量为G。下列说法中正确的是（）

A.星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心

B.每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为弋仁土哀包

C.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍

D.若边长L和星体质量机均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小变为原来的

4倍

答案B

解析四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心

一定是正方形的中心，故A错误；由也G停L）2=6+也'）若^=