2025年小学数学《几何》曲线型-圆-4星题（含解析）全国版

几何-曲线型几何-圆-4星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

圆B1.了解有关圆的概念和性质少考

2.学习圆的周长和面积公式的推导

3.运用圆的性质以及周长和面积公

式进行计算

知识提要

圆

•概念

圆是由一条曲线围成的平面图形.

圆中心的一点叫圆心，用。表示.

连接圆心和圆上任意一点的线段是半径，通常用字母r表示.

通过圆心并且两端都在圆上的线段是直径，通常用字母d来表示.

直径所在的直线是圆的对称轴.

・性质

圆有无数条半径，无数条直径，并且所有半径都相等，所有直径都相等;

在同圆或等圆中，直径是半径的2倍.d=2r；

圆有无数条对称轴；

圆绕着圆心任意旋转，所得到的图形与原来的圆重合；

所有平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的.

•公式

圆的周长公式：C=2-rrr

圆的面积公式：S=Ttr2

精选例题

圆

1.在图中所示的10x12的网格图中，猴子KING的图片是由若干圆弧和线段组成，其中最大

的圆的半径是4,图中阴影部分的面积是.（圆周率兀取3）

【答案】21.5

【分析】根据半径为4可观察得出小正方形的边长为1,

阴影部分的面积=大圆面积-空白面积.

大圆的面积:

5=yrx42=48,

空白面积：

3

S=5x24--X7rxl2x2+7rx22=10+4.5+12=26.5,

4

阴影部分面积:

48—26.5=21.5.

2.如图所示的7个圆相切于一点，若圆的半径分别是（单位：分米）：1,2,3,4,5,6,

7,则图中阴影部分的面积是平方米.（兀取3）

【答案】0.84

【分析】阴影面积为：

7TXI2+7TX(32—22)+7TX(52—42)+7TX(72—62)

=7TX1+7TX(3+2)+7TX(5+4)+7TX(7+6)

=28兀

=84(平方分米)

=0.84(平方米).

3.如图所示的图形由1个大的半圆弧和6个小的半圆弧围成，已知最大的半圆弧的直径为1,

则这个图形的周长为（圆周率用兀表示）.

【答案】71

【分析】若大圆里有若干个小圆，且大圆的直径等于这些小圆的直径和，则大圆的周长等于

所有小圆的周长和，则该图形周长等于一个大圆的周长，7ld=TT.

4.如图所示，已知最大的圆的直径是100cm,则最小的圆的直径是cm.

【答案】50

【分析】

已知最大的圆的直径是100cm,而最大的圆的直径刚好是大正方形的对角线所以大正方形的

面积为

100x1004-2=5000(cm2)

图中的小正方形旋转为右图：由此可见，小正方形的面积为大正方形面积的一半.所以小正方

形的面积为

5000+2=2500(cm2)

所以小正方形的为50cm而最小的圆的直径刚好等于小正方形的边长，即最小的圆的直径是

50cm.

5.在荷兰的小镇卡茨赫弗尔，2013年6月建成了一个由三个半圆组成的城市雕塑，三个半圆

的直径分别为24.2m,19.3m,4.9m,这个雕塑的原始图形来自于阿基米德《引理集》中的鞋

匠刀形(Arbelos),即下图中阴影部分所示的图形，那么，该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长

为(圆周率用71表不).

【答案】24.2/r

【分析】

三个半圆的周长和

(19.3x7T+4.9x7T+24.2x兀)+2=24.2兀

6.一只羊被拴在一个长为4米，宽为3米的长方形的羊圈内，在B处有一个缺口，羊可以自

由出入，拴绳长9米，那么羊能够到达的地方的面积约为平方米.（n取3.14）

【答案】50.465

【分析】长方形的对角线长为5,在羊圈外，羊能够到达的图形包括J个半径为4的圆以及

生个半径为1的圆，所以羊能够达到的总面积为3x4+：xirx42+；xnxl2X

444

50.465（平方米）.

7.如图所示，已知大圆的半径为2,则阴影部分I与n的面积之和为（圆周率用兀表

示）.

【答案】71-2

【分析】I和n部分面积为［大圆-直角边为2的等腰直角三角形，如图所示:

I和n部分面积和为

1_1

—7TX——2X2=7T—2.

42

8.如图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的

中点，那么阴影部分的面积是.（11取3.14）

A10D

B

【答案】51.75

【分析】

,111

102+—X7TX-x5x15+-x(15+5)x5

2

=1004-12.511-87.5

=51.75.

9.如右图所示，4BCD是边长为10厘米的正方形，且4B是半圆的直径，则阴影部分的面积

是平方厘米.（取兀=3.14）

【答案】17.875

【分析】详解：如图2所示，阴影部分面积等于梯形4BCD的面积减去一个四分之一圆的

面积，即（5+10）x5+2—qx52兀=17.875.

10.如图所示，已知大圆的半径为2,则阴影部分的面积为（圆周率用兀表示）.

【答案】4兀一8

【分析】可以把中间的四个叶子形状的图形分成两半，刚好可以补到正方形外边的空白处.

所以大圆的面积减去内接正方形的面积，就是阴影部分的面积.

4x4

S阴=71x2?―--=4TT—8

2

11.如图所示，大圆的直径是小圆的5倍，大圆内的形曲线(图中虚线)由两段半圆弧组

成.如果已知阴影部分的面积等于4,那么图中空白部分的面积等于.

【答案】21

【分析】设小圆的半径为r,则阴影部分的面积为：

11

—[n(2r)2—2nr2]+—[n(3r)2—3nr2]=nr2+3nr2=4nr2,

所以

nr2=L

故空白面积为：

n(5r)2—4=25nr2—4=21.

12.如图，斜边为6的等腰直角三角形ABC放在半径为5的圆内，现在保持8、。和圆接触,

让三角形ABC沿箭头方向在圆内旋转一周，那么三角形ABC扫过的图形面积

是.(11取3.14)

B

【答案】75.36

【分析】连接。4并延长，交BC于E,

得到直角三角形。BE,BE=3,根据勾股定理可知，0E=5,则

。4=4-3=1.

所以扫过阴影面积为：

TT52-Hl2=24n=75.36.

13.如下图所示的四个正方形的边长都是1,图中的阴影部分的面积依次用Si，*,S3，S4表示，

则S1，S2，S3，S4从小到大排列依次是

(1)(2)(3)(4)

【答案】S2<S4<S3<S1

【分析】S],S2，S3的面积都可以算出来，^=171-1,52=1-^,利用割补的思想，S=

Z43

I.对Si，S2，S3进行排序得S2<S3<S>S4的面积不好算，但是这里只需比较大小即可.

如下左图，阴影部分为S4的面积，所以S4<[=S3.

如下右图，空白部分面积与图2空白部分面积相等，所以阴影部分为S2的面积，所以

S2<S4.所以S2Vs4Vs3<s「

14.一个长方形的长为9,宽为6,一个半径为1的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内

这圆无法运动到的部分，面积的和是.（TT取3）

【答案】1

【分析】方法一：圆在长方形内部无法运动到的地方就是长方形的四个角，而圆在角处运动

时的情况如下图，圆无法运动到的部分是图中阴影部分，那么我们可以先求出阴影部分面积，

四个角的情况都相似，我们就可以求出总的面积是阴影部分面积的四倍.

阴影部分面积是小正方形面积减去扇形面积，所以我们可以得到：

每个角阴影部分面积为

那么圆无法运动到的部分面积为

1

4x-=1.

4

方法二：如果把四个角拼起来，则阴影如下图所示，则阴影面积为

2x2-3x12=1.

15.6个半径相同的小圆和1个大圆如图摆放.大圆的面积是120,那么，阴影部分面积

是.

【答案】40

【分析】设大圆半径和小圆半径分别为R和r,画出大小圆半径会发现它们同处一个正三角

形，如下图，两条粗线分别为大圆直径和小圆直径，由正三角形性质和勾股定理，有

R2+「2=（2r）2=R2=3r2,

这说明大圆面积和小圆面积是3倍关系，即小圆面积为40；

由于三个小圆面积等于大圆面积，所以下图中红色部分面积等于灰色部分;

如下图，可以看出，上图中的两种阴影部分拼在一起可以形成扇形，一共可以形成6个120

度扇形，总和为2个小圆，又因为两种阴影部分面积相等，所以所求面积为一个小圆面积40.

16.自三角形4BC内一点P,分别向BC,CA,4B边引垂线，垂足依次为D,E,F.以

为直径分别向形外作半圆.如图所示这六个半圆面积分别记为

Si>S2，S3,S4,S5,S6.若S5-$6=2,S1-S2=1,那么$4-S3=

A

S

E

S2F

D

B

S3S4

【答案】3

【分析】连接4P,BP,CP.

则

222

AF+BD+CE=(”2-PF2)+(呐_p*+Q2_pg

BF2+CD2+AE2=(BP?-PF2)+(CP2-PD2)+(TIP2-PE2),

所以,

AF2+BD2+CE2=BF2+CD2+AE2,

两边同乘募得:

口竺f吗2生2

2\2/2\2/2\2)

工竺『坐2些2

2\2/2\2)2\2)

也就是

sx+s3+s5=s2+s4+s6.

S4-S3=Si-S2+S5-$6=1+2=3.

17.下图的4个圆半径都是10厘米，试求阴影部分的面积总和是平方厘米.（圆周

率互取近似值3）

【答案】400

【分析】将图中左边一半的阴影部分割补成下图，下图的阴影为一个圆减去9圆，余下I圆,

所以原题中整个阴影的面积为（2x|=3圆，|X3X102=400（平方厘米）.

18.下图中阴影部分的面积为平方厘米.（结果用7T表示）

V〉

20厘米

【答案】600-150n

【分析】阴影部分的面积可视为正方形减去中间空白部分的“谷子形''以及两边空白的“弯角

形”.

正方形面积为：2。2=400（平方厘米），

“谷子形”面积为：

1

-TTX202-202=200-rt一400（平方厘米），

两个“弯角形,，面积为：

（202-TTX102）+2=200-50n（平方厘米）,

阴影部分面积为：

400-（200TT-400）-（200-50TT）=600-150Tt（平方厘米）.

19.埃及人擅长数学，他们很早之前就发明了一个计算圆的面积的公式:

其中，d是圆的直径.在这个公式当中，相当于将圆周率兀取值为.（保留两位小

数）

【答案】3.16

【分析】由圆的面积公式

8d.d.

S=(g)2=7T(-)2

那么

8

7T=(—)2?x4«3.16

20.如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径R=3,则阴影部分图形的周长

为，面积为.（圆周率用加表示）

【答案】2171;

O

【分析】阴影部分图形的周长是大圆的周长加2.5个中圆的周长加5个小圆的周长:

33

2x3x7T+2.5x2x—XTT+5X2X—TT=217r

24

阴影部分图形的面积是大圆的面积减2.5个中圆的面积：

953927

3'兀——X（—YTI=—7T

28

21.如图，正方形边长为80厘米，。为正方形中心，力为。B中点，在正方形内以4点为圆心,

为半径的圆，以B为圆心，为半径的圆与正方形的一边围成了一个特殊的图形，将这

个图形绕。点顺时针旋转三次能够得到一个风车的形状.那么这个风车（阴影部分）的面积

是平方厘米（兀取3.14）

【答案】912

【分析】大圆的半径R,则

(2R)2=802+802,

则

R2=3200,

那么

R

r2=(―)2=800,

则阴影图形的面积为

45901

99292

(―^x冗xX—――xyrxr——r)x4

,3603602)

11

(-x7Tx3200--X7Tx800-400)x4

84

(400n—200Tl—400)x4

=912（平方厘米）.

22.如下图所示，4B是半圆的直径，。是圆心，AC=CD=DB,M是CD的中点，H是弦CD

的中点.若N是0B上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积

是平方厘米.

M

H

【答案】2

【分析】连接。C、OD、0H,由于C、。是半圆的两个三等分点M是CD的中点，H是弦

C。的中点，可见这个图形是对称的.由对称性可知C。与4B平行，由此可得：△CHN的面

积与△CH。的面积相等，所以，阴影部分面积等于扇形C。。面积的一半，而扇形C。。的面

积又等于半圆面积的；，所以，阴影部分面积等于半圆面积的；，为12x；=2（平方厘米）.

23.如图是小明用一些半径为1厘米、2厘米、4厘米、8厘米的圆、半圆、圆弧和一个正方形

组成的一个鼠头图案，图中阴影部分的总面积为平方厘米.

【答案】64

【分析】半径为1厘米的圆的面积为：

TTXI2=TT（平方厘米）;

半径为2厘米的圆的面积为：

7TX22=4TT（平方厘米）；

半径为4厘米的圆的面积为：

ITX42=16Tt（平方厘米）;

半径为8厘米的圆的面积为：

TTx82=64ir（平方厘米）;

所以阴影部分的面积为：

1

4Xn+(16n-4n)+8X8--X64TT=64(平方厘米).

24.如图所示的图案由半圆构成，已知最大的圆的半径R=3,则阴影部分面积与最大的圆面

积之比为.

【答案】3:8

【分析】大圆的面积为S=TTXR2=ER2

阴影部分的面积为：

191/?91,1,3,

S阴影=［耳口氏2（,）1*5=C-nR2-g^2）x5=-TTR2

所以阴影部分和大圆的面积比为」

3

TTT?2:—TTT?2=3:8

8

25.在一个长方形内画三个圆，这个长方形最多可以被分成部分.

【答案】15

【分析】想要分成的部分最多，则要求三个图形分别相交且和长方形的四条边分别相切，则

共分成15部分，如下图：

1

3144

26.如右图所示，这是由一个半径为4的圆把四分之一的圆周翻折而得的图形，此图形的面积

为.（取兀=3.14）

【答案】41.12

【分析】详解：如图1所示，阴影部分面积等于直角三角形ABCD的面积加上一个半圆即

4X84-2+iX42TT=8TT+16=41.12.

2

27.下图中，AB是圆。的直径，长6厘米，正方形BCOE的一个顶点E在圆周上，4ABE=

45。，那么圆0中非阴影部分的面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于平方

厘米(取TT=3.14).

【答案】10.26

【分析】经过分析可以得到：圆0中非阴影部分面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的

差，就是大圆的面积减去正方形的面积.正方形的面积可以用对角线x对角线+2得到.

32X3.14-6x6+2=10.26.

2&下图中，阴影部分面积为多少？(715=3)

AHD

BGC

【答案】4.5

【分析】方法一：阴影=小圆一柳叶=4.5；

方法二：阴影=小正方形EHFG=3x3-2=4.5.

29.如图，直角三角形4BC中，是圆的直径，且48=20,阴影甲的面积比阴影乙的面积

大7,求BC长.(.71=3.14)

【答案】15

【分析】因为两块阴影部分都是不规则图形，单独对待它们无法运用面积公式进行处理，而

解题的关键就是如何把它们联系起来，我们发现把两块阴影加上中间的一块，则变成1个半圆

和1个直角三角形，这个时候我们就可以利用面积公式来求解了.

因为阴影甲比阴影乙面积大7,也就是半圆面积比直角三角形面积大7.

半圆面积为：［XTTX1。2=157,则直角三角形的面积为157—7=150,可得BC=2x

150+20=15.

30.如图，三角形4BC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB

长40厘米.求BC的长度？（兀取3.14）

【答案】32.8厘米

【分析】图中半圆的直径为ZB,所以其面积为3x202x72200x3.14=628.

空白部分③与①的面积和为628,②-①=28,所以②、③部分的面积和628+28=656.

有直角三角形4BC的面积为xBC=|x40xBC=656.所以BC=32.8厘米.

31.如图所示，大圆周长是小圆周长的？i（n>1）倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚

动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？

【答案】71-1或?1+1.

【分析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离.

设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为力”.

⑴在内测滚动时，如图⑴所示，因为圆心滚动的距离为27rx(n-1).

所以小圆绕自己的圆心转动了：修=-1(圈)•

⑵在外侧滚动时，如图⑵所示.

因为圆心滚动的距离为2nx（n+1）.

所以小圆绕自己的圆心转动了：型篝=n+1（圈）.

2TT

32.面上有7个大小相同的圆，位置如图所示.如果每个圆的面积都是10,那么阴影部分的面

积是多少？（兀取3.14）

【答案】20

【分析】阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形.这个图形可以割补成一个顶

角为60。的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分的面积等

于两个圆的面积，为20.

33.如图所示，小半圆的直径在大半圆直径上，且线段EF平行于大圆直径与小圆相切，若

EF=5厘米，求大半圆比小半圆面积多多少？（注：n取3.14）

【答案】9.8125平方厘米.

【分析】

不妨设大半圆的半径是R小半圆的半径是r,我们将小半圆的圆心与大半圆的圆心重叠，那

么面积差就是圆环的一半，根据

1__

s=5n(R2-r2),

三角形40F是直角三角形，根据勾股定理：

R2-r2=(|)=2.52,

所以面积差是S=3.14x2.52+2=9.8125(平方厘米).

34.在右图所示的正方形4BCD中，对角线AC长2厘米.扇形4DC是以。为圆心，以4。为

半径的圆的一部分.求阴影部分的面积.

【答案】1.14平方厘米

2222

【分析】如右图所示，Sr=^AD-^-AD,S2+S3=XAD=XAC-

4LZ\Z/Zo

-AD2.

2

因为4c2=2AD2=4,

所以阴影部分的面积为：

^XAD2-^AD2+^TTXAC2AD2=^nxAC2-1/1C2=TT-2=1.14（平方厘米）.

另解：观察可知阴影部分面积等于半圆面积与扇形ADC面积之和减去正方形4BCD的面积,

所以阴影部分的面积为彳xAU+/xAC2-AD2=1.14（平方厘米）.

35.把四个直径为8c租的圆柱形饮料瓶捆扎在一起，截图如下图，那么围绕一周的绳子长度是

多少？

【答案】57.12cm

【分析】为绕一周的长度，分为四段弧和四段直线段.

四段弧形，考虑实际情况，以下图为例：

曲直交换的位置，从而得知每段对应圆周的四分之一，总共正好一个周长，即irxd,

得25.12cm.

四段直的，每段长为直径，所以为8X4=32czn.总计围绕一周的长度为57.12cm.

36.图中有7个相同的面积为10的圆，那么阴影部分面积是多少.

【答案】20

【分析】如图，三个小箭头形状能拼成一个半圆，所以原图面积为2个圆，为20

37.如图，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘4直径为10厘米，盘B直径为40

厘米，盘C直径为20厘米.问：4顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米？(71■取

3.14.)

【答案】31.4

【分析】4顺时针转一周时，。顺时针转［周，同轴的8也顺时针转g周，从而绳索被拉动

的距离等于B的半个圆周长即兀x20262.8,这时重物应该上升去gX62.8=31.4.所以重

物上升31.4厘米.

38.如下图所示，图中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的.问：涂有

阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多少？

【答案】5

11

【分析】不妨设1是最小的半圆的半径.于是其余两种半圆的半径便是3和4.分别用Si

及S2表示涂有阴影及未涂阴影部分的面积，由图可知

2222

51=71(1+|X1+|X(4-3))=5TT,

52=nX4?—Si=UTT.

所以

SI：S2=5:11.

39.如图，在一块面积为12.56平方厘米的纸板中，裁出了2个同样大小的圆纸板.问：余下

的纸板的总面积是多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】6.28平方厘米

【分析】大圆的面积是12.56平方厘米，可求出大圆的半径是2厘米，那么小圆的半径是1

厘米，面积是3.14平方厘米.阴影部分的面积是12.56-3.14-3.14=6.28平方厘米.

40.如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1.求阴影部分的

面积.

【答案】2.5

【分析】由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形.

由右图可见，阴影部分面积等于:大圆面积减去一个小圆面积，再加上120。的小扇形面积

（即;小圆面积），所以相当于;大圆面积减去|小圆面积.而大圆的半径为小圆的3倍，所

363

以其面积为小圆的32=9倍，那么阴影部分面积为x9—I）x兀x12=X兀=2.5.

\63/6

41.如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个

圆.哪个图中阴影部分的面积大？为什么？

【答案】两图中阴影部分的面积相等.

【分析】设正方形的边长为a,每一个圆的半径为r,则正方形的每一条边上都有/个圆，

从而正方形内部共有fx2个圆，于是这些圆的总面积为：S阴影

2r2r明私2r2r4

可见阴影部分的面积与正方形的面积的比是固定的，也就是说阴影部分的面积只与正方形的边

长有关系，与圆的半径无关，无论圆的半径怎样变化，只要正方形的边长不变，那么阴影部分

的面积就是一定的.

由于上图中两个正方形的边长相同，所以两图中阴影部分的面积相等.

42.如图，大圆半径为小圆的直径，已知大圆半径是20厘米，那么阴影面积是多少？（IT取

3.14)

【答案】456平方厘米

【分析】

如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正

方形，那么阴影面积是大圆减正方形面积.大圆半径为20厘米，则正方形面积是

1

S=-x402=800（平方厘米），

阴影面积是

S=202n-800=456（平方厘米）.

43.有10个同心圆，任意两个相邻的同心圆半径之差等于里面最小圆的半径.小圆半径为1

厘米，求所有阴影面积的和（n=3.14）

【答案】78.5平方厘米.

【分析】将所有阴影放在同一个扇形内，如下图，所以S阴影=[x3.14xl（）2=

78.5（平方厘米）.

44.如图，在一块面积为28.26平方厘米的圆形铝板中，裁出了7个同样大小的圆铝板.问:

余下的边角料的总面积是多少平方厘米？（兀取3.14）

【答案】6.28.

【分析】28.26X3.14=32,大圆半径是3厘米.小圆半径是1厘米，所以边角料面积为

28.26-7xI2x3.14=6.28平方厘米.

45.用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板.问：所

余下的边角料的总面积是多少平方厘米？

【答案】8

【分析】大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积：大圆面积=m-2：7r夫2=1：9,

小圆面积=36x[=4,7个小圆总面积=4x7=28,

边角料面积=36-28=8（平方厘米）.

46.下图中的大正方形边长为4厘米，每个圆弧皆是半径为1厘米的半圆或四分之一圆，请问

【答案】10

【分析】将图形分割如下图所示，阴影部分可拼成10个小正方形.所以阴影部分面积为

47.有一辆杂技自行车，前轮的半径是4A分米，后轮的半径是3^分米，那么当后轮转的圈数

比前轮多10圈的时候，这辆车前进了多少米？（圆周率取近似值3.14.）

【答案】113.04米.

【分析】由于前后轮的半径比是45:3]=27:22,所以前后轮的周长比也是27:22,那么

当转过相同路程时，前后轮转过的圈数比是22:27,所以当后轮转的圈数与前轮多转10圈时，

车的前轮转了U77X22=44圈，后轮转了54圈，前进了2x3.14x43x44x3=113.04

27—LL111（J

米.

48.如图所示，两条线段相互垂直，全长为30厘米.圆紧贴直线从一端滚动到另一端（没有离

开也没有滑动）.在圆周上设一个定点P,点P从圆开始滚动时是接触直线的，当圆停止滚动

时也接触到直线，而在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的.那么，圆的半径是多少厘

米？（设圆周率为3.14,除不尽时，请四舍五入保留小数点后两位.如有多种答案请全部写出）

【答案】4.47或2.31.

【分析】如上图：因为在圆滚动的全部过程中点P是不接触直线的，所以这个圆的运动情况

有两种可能.一一种是圆滚动了不足一圈，根据P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了

270°.另一种是圆在第一条直线上滚动了将近一圈，在第二条直线上又滚动了将近一圈，根据

P点的初始位置和终止位置，可知圆滚动了

270°+360°=630°.

因为两条线段共长30厘米，所以270。的弧长或者630°的弧长再加上两个半径是30厘米.

2nrx——+2r=30（厘米）,

或者

630i,

2nrx——+2r=30（厘米）,

36U

所以圆的半径是4.47厘米或2.31厘米.

49.如图是一个对称图形.比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积与灰

色部分面积什么关系.

【答案】相等

【分析】图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的;，

则4个小圆的面积之和等于大圆的面积.而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为

黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等.

50.已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以。1、。2、3为圆心，求阴影

部分的面积.（兀=3）

【答案】150平方厘米

【分析】图中两块阴影部分的面积相等，可以先求出其中一块的面积.而这一块的面积，等

于大正方形的面积减去一个90。扇形的面积，再减去角上的小空白部分的面积，为：

S正方形一S扇形一[3正方形一S圆）+4]=20X20—%X（20）2-[（20x20-IOOTT）+4]

=75（平方厘米），

所以阴影部分的面积为75x2=150（平方厘米）.

51.如图，15枚相同的硬币排成一个长方形，一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起

始位置.问：这枚硬币自身转动了多少圈？

【答案】见解析.

【分析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时，由于三个硬币的圆心构成一个等边三角

形，所以这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆旋转了

180°—60°-60°=60°.

而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120°.

当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆

旋转了

360°-60°-60°-90°=150°.

而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了300。.

长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有

8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边.

120°X8+300°X4=2160",

所以这枚硬币转动了2160。，即自身转动了6圈.

另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2兀即滚动了一圈.

52.如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动，当小铁

环沿大铁环滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？

【答案】3

【分析】如图，同样考虑小圆的一条半径04,当小圆在大圆的外侧滚动一周，即滚动了大

圆的半周时，半径。4滚动了540。，滚动了一圈半，所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时，小圆

自身转了3圈.

也可以考虑小圆圆心转过的距离.小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个

圆的周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，

所以本题中小圆自身转了3圈.

53.奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径为8厘米的五个环

组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是

77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积.（n=3.14）

【答案】4.1平方厘米.

【分析】⑴每个圆环的面积为：

TTx42-TTx32=711=21.98（平方厘米）

⑵五个圆环的面积和为:

21.98X5=109.9（平方厘米）

⑶八个阴影的面积为:

109.9-77.1=32.8（平方厘米）

⑷每个阴影的面积为:

32.8+8=4.1（平方厘米）

54.下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。

【答案】257平方厘米.

【分析】直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的

空白部分是4个四分之一圆，利用割补法，可以得到下图。其中的阴影部分的面积与原图相同,

等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为

（2r）2+-nr2x2=102+3.14x50a257（厘米）.

55.如图，直角三角形4BC中，是圆的直径，且48=20,阴影甲（上方阴影）的面积比

阴影乙（下方阴影）的面积大7,求BC长.（TT取3.14）

B

【答案】15

【分析】阴影甲和阴影乙的面积差等于半圆的面积减去直角三角形ABC的面积，半圆的面

积为:xnx（g）=50n=157,

所以SAABC=157-7=150,BC=王=嘤=15.

/iDNU

56.如图，是一个边长是12厘米的正方形，阴影部分的面积是多少平方厘米？（兀=3.14）

【答案】41.04

【分析】根据容斥原理，阴影面积是

11

x3.14+-x122x3.14--X12x12=41.04（平方厘米）.

82

57.如图（1）是一个直径是3厘米的半圆，是直径.如图（2）所示，让2点不动，把整

个半圆逆时针转60。，此时B点移动到。点.请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

（兀取334）

c

(6(r

B

(2)

【答案】4.71平方厘米

【分析】图中阴影部分面积为整个图形面积减去半圆的面积，而整个图形面积为一个半圆面

积与一个圆心角为60。的扇形面积之和.因此阴影面积等于圆心角为60。的扇形面积，即！x

O

yrx32=4.71.

58.如下图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的

黑点是这些圆的圆心.则花瓣图形的面积是多少平方厘米？(IT取3)

【答案】19

【分析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解.

如上图，连接顶角上的4个圆心，可得到一个边长为4的正方形.可以看出，与原图相比，正

方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在

这些地方，这样得到一个正方形，还剩下4个;圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面

4

积为42+TTXI2=19（平方厘米）.

在求不规则图形的面积时，我们一般要对原图进行切割、移动、补齐，使原图变成一个规则的

图形，从而利用面积公式进行求解.这个切割、移动、补齐的过程实际上是整个解题过程的关

键。

59.如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10,它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积

为多少？

【答案】24-4.5TT

【分析】S阴影=S直角三角形—S半圆，

设半圆半径为r,直角三角形面积用r表示为：等+等=8r

又因为三角形直角边都已知，所以它的面积为6X8=24,

所以8r=24,r=3

所以S阴影=24—JX9兀=24—4.5TT

60.如图所示，正方形CD的面积是64平方厘米，E、F分别为所在半圆弧的中点.求阴影

部分的面积.（兀取3.14）

BD

【答案】73.12平方厘米.

【分析】从图中可以看出，两块空白图形的面积等于半圆面积加上正方形面积减去△AED

的面积，即

8x8+7TX42+2—8x12+2=41.12

而阴影部分面积等于整个图形面积减去空白的面积，即

8x8+7x42—41.12=73.12（平方厘米）.

61.如图所示，一块半径为2厘米的圆板，从位置①起始，依次沿线段48、BC、CO滚到位

置②.如果4B、BC、CD的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？（兀

取3.14,答案保留两位小数.）

【答案】228.07

【分析】小圆滚动时所经过的区域如下图所示.

半圆FEQ、半圆/KL的面积之和是4兀平方厘米；长方形"BQ、BHIP、