2025年粤教沪科版高三数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤教沪科版高三数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、如图中的程序框图运行结果M为（）

A.3B.C.D.12、有50件产品，编号为0，1，2，，49，现从中抽取5个进行检验，用系统抽样的方法抽取样本的编号可以为（）A.5，10，15，20，25B.5，13，21，29，37C.8，22，23，1，20D.1，11，21，31，413、在Rt△ABC中，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，且该图中共有x个三角形与△ABC相似，则x=（）A.0B.1C.2D.34、若焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A.1B.16C.1或16D.5、若复数z=（a-1）+i（a∈R）是纯虚数，则=（）A.-1B.iC.-iD.16、与圆（x-3）2+（y+1）2=2相切；且在两坐标轴上有相等截距的切线有（）

A.1条。

B.2条。

C.3条。

D.4条。

7、【题文】矩阵M=的逆矩阵为()A.B.C.D.8、已知函数是上的偶函数，若对于都有且当时，则（）A.B.C.D.19、正三棱锥P-ABC内接于球O，球心O在底面ABC上，且AB=则球的表面积为（）A.16πB.8πC.4πD.2π评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、已知函数f（x）=2x+log3x+cosx，则f′（x）=____．11、（文）函数y=+log2x（x+2）的定义域为____．12、数列{an}的前n项和Sn=2n2-1，则a5=____．13、某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的a的值为____．

14、不等式|2x-3|＜x+1的解集是____．15、已知=12则向量在向量上的夹角余弦为.16、在区间[－3,3]上随机取一个数x使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．17、【题文】已知直线和直线则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为___________.评卷人得分三、判断题(共5题，共10分)18、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）19、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）20、空集没有子集．____．21、任一集合必有两个或两个以上子集．____．22、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、证明题(共2题，共20分)23、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点。

（1）求证：AE⊥BF；

（2）求证：AB1⊥BF；

（3）棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP，若存在，确定点P位置；若不存在，说明理由．24、在平面直角坐标系中，设向量；其中θ∈（0，π）．

（1）若；求sinθ和cosθ的值；

（2）设，且，若，求证：．评卷人得分五、综合题(共1题，共3分)25、已知向量．

（1）若，求向量与的夹角；

（2）当时，函数的最大值为1，最小值为，求p、q的值．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】【分析】执行程序框图，依次写出得到的x，y，M的值即可．【解析】【解答】解：执行程序框图；有。

x=1

y=2

M=

故选：C．2、D【分析】【分析】利用系统抽样性质求解．【解析】【解答】解：选项A和选项B中的样本数据没有均匀分布在总体中；故A和B都错误；

选项C的样本数据间隔不相等；且没有均匀分布在总体中，故C错误；

选项B的样本数据间隔相等；且均匀分布在总体中，故D正确．

故选：D．3、C【分析】【分析】利用直角三角形的性质和同角的余角相等，可证出Rt△ABC∽Rt△ACD，且Rt△ABC∽Rt△CBD．再根据∠DCE不确定，随AC、BC的比值变化而变化，得到Rt△DCE与Rt△ABC不一定相似，可得x=2．【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中；∠ACB=90°，CD⊥AB

∴∠ACD=90°-∠A=∠B；

因此Rt△ABC∽Rt△ACD；

同理可得：Rt△ABC∽Rt△CBD；

得到与△ABC相似的三角形有△ACD；△CBD两个

又∵∠DCE不确定；随AC；BC的比值变化而变化

∴Rt△DCE与Rt△ABC不一定相似

综上；若图中共有x个三角形与△ABC相似，则x=2

故选：C4、A【分析】【分析】根据焦点在y轴上可得到m＜4，对选项验证即可得到答案．【解析】【解答】解：∵焦点在y轴上∴m＜4；∴排除B，C，D

故选A．5、B【分析】【分析】先用复数z是纯虚数，求出a，然后把a代入，令复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解析】【解答】解：复数z=（a-1）+i（a∈R）是纯虚数；所以a=1

所以=

故选B．6、C【分析】

圆的圆心（3，-1），半径是原点在圆外，与（x-3）2+（y+1）2=2相切；

且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两条，即y=x或y=-x；

斜率为-1的直线也有两条；即y=-x，或y=-x+4

所以共3条．

故选C．

【解析】【答案】与（x-3）2+（y+1）2=2相切；且在两坐标轴上截距相等的直线，必有过原点的直线和斜率为-1的两条直线．

7、D【分析】【解析】

试题分析：先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，根据题意，由于矩阵M=的行列式为=-1，故可知矩阵M=的逆矩阵为故选D.

考点：逆矩阵。

点评：本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵M的特征值，关键是求其行列式，正确写出矩阵M的特征多项式【解析】【答案】D8、A【分析】【解答】因对于x≥0，都有则∴函数的周期为T=4，∵函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，x∈[0，2），f（x）=log2（x+1）∴选A.9、C【分析】解：∵正三棱锥P-ABC内接于球O，球心O在底面ABC上，且AB=

∴球的半径为=1；

∴球的表面积为4πR2=4π．

故选：C；

由正三棱锥P-ABC内接于球O，球心O在底面ABC上，且AB=求出球的半径，即可求出球的表面积．

本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．【解析】【答案】C二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】【分析】根据导数的运算法则解答．【解析】【解答】解：f′（x）=（2x+log3x+cosx）′=（2x）′+（log3x）′+（cosx）′=2xln2+-sinx．

故答案为：2xln2+-sinx．11、略

【分析】【分析】由0指数幂的底数不等于0，分式的分母不等于0，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0列不等式组得答案．【解析】【解答】解：由，解得0＜x＜或或x＞2．

∴函数y=+log2x（x+2）的定义域为（0，）∪（；2）∪（2，+∞）．

故答案为：（0，）∪（，2）∪（2，+∞）．12、略

【分析】【分析】直接利用a5=S5-S4结合已知的Sn求得答案．【解析】【解答】解：由Sn=2n2-1；得。

．

故答案为：18．13、-1【分析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解析】【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

Sia是否继续循环。

循环前011/

第一圈120是。

第二圈13-1是。

第三圈041是。

第四圈150是。

第五圈16-1是。

依此类推；a的值呈周期性变化：1，0，-1，1，0，-1，

第2012圈12013-1否。

故最终的输出结果为：-1；

故答案为：-1．14、{x|＜x＜4}【分析】【分析】分两种情况：2x-3大于等于0和小于0，根据绝对值的代数意义分别化简绝对值，得到两个一元一次不等式，求出两解集的并集即为原不等式的解集．【解析】【解答】解：当2x-3≥0，即x≥时；原不等式化为2x-3＜x+1；

解得：x＜4，不等式的解集为：≤x＜4；

当2x-3＜0，即x＜时；原不等式化为3-2x＜x+1；

解得：x＞，不等式的解集为：＜x＜；

综上，原不等式的解集为{x|＜x＜4}；

故答案为：{x|＜x＜4}．15、略

【分析】．考点：平面向量的数量积、模、夹角.【解析】【答案】16、略

【分析】由绝对值的几何意义知：使|x＋1|－|x－2|≥1成立的x值为x∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P＝＝【解析】【答案】17、略

【分析】【解析】

试题分析：设抛物线上的动点的坐标为它到到直线和的距离之和为则=当时，

考点：直线与抛物线的位置关系及二次函数的最值.【解析】【答案】三、判断题(共5题，共10分)18、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√19、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√20、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．21、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．22、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、证明题(共2题，共20分)23、略

【分析】【分析】（1）取AD中点G；连接FG；BG，通过证明FG⊥AE，AE⊥BG，BG∩FG=G，证明AE⊥平面BFG，说明AE⊥BF．

（2）连A1B，证明AB1⊥A1B，AB1⊥BF，AE∩AB1=A，证明BF⊥平面AB1E．（8分）

（3）存在，取CC1中点P，连接EP、C1D说明AP⊂平面AB1E，由（2）知BF⊥平面AB1E；推出AP⊥BF．

方法2：（1）建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2a，证明+0=0，；得到AE⊥BF．

（2）利用=0，，∴BF⊥AB1，且AB1∩AE=A，说明BF⊥平面AB1E．

（3）设点P（2a，2a，z），0≤z≤2a，则=（2a，2a，z），若AP⊥BF，+2az=0；

求出z得到P（2a，2a，c），即点P在CC1中点处．【解析】【解答】（1）证明：取AD中点G；连接FG；BG；

则FG⊥AE；

又∵△BAG≌△ADE；∴∠ABG=∠DAE；

∴AE⊥BG；又∵BG∩FG=G；

∴AE⊥平面BFG；

∴AE⊥BF．（8分）

（2）证明：连A1B，则AB1⊥A1B；

又AB1⊥A1F，∴AB1⊥平面A1BF；

∴AB1⊥BF；

又AE∩AB1=A；

∴BF⊥平面AB1E．

∴AB1⊥BF（8分）

（3）存在，取CC1中点P；即为所求；

连接EP、C1D

∵EP∥C1D，C1D∥AB1；

∴EP∥AB1，∴AP⊂平面AB1E；

由（2）知BF⊥平面AB1E；∴AP⊥BF．

CC1中点P．（12分）

方法2：

（1）建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2a，则

A（0，0，0），B（2a，0，0），B1（2a；0，2a），E（a，2a，0）；

F（0；a，2a）；

∴；

∴；

∴；∴AE⊥BF．（4分）

（2）∵=-4a2+0+4a2=0；

∴，∴BF⊥AB1，且AB1∩AE=A；

∴BF⊥平面AB1E．

∴AB1⊥BF（8分）

（3）设点P（2a，2a，z），0≤z≤2a，则；

若；

∴z=a，∴P（2a，2a，c），即点P在CC1中点处．（