2025年外研版2024高二数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版2024高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、关于x的不等式ax－b>0的解集是（1，＋∞），则关于x的不等式（ax＋b）（x－3）>0的解集是A.（－∞，－1）∪（3，＋∞）B.（－1,3）C.（1,3）D.（－∞，1）∪（3，＋∞）2、函数f（x）=xα，对任意的x∈（-1，0）∪（0，1），若不等式f（x）＞x恒成立，则在的条件下；α可以取的值的个数是（）

A.4

B.3

C.2

D.1

3、【题文】假设在时间间隔T内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一台手机.若这两条短信进入手机的间隔时间不大于则手机受到干扰.手机受到干扰的概率是()A.B.C.D.4、一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=2，那么原△ABO的面积是（）A.1B.C.2D.45、椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点，则实数a的值是（）A.B.1或﹣2C.1或D.16、已知函数f（x）=给出下列三个命题：

①函数f（x）为偶函数；

②函数f（x）是周期函数；

③存在xi（i=1，2，3），使得（xi，f（xi））为顶点的三角形是等边三角形．

其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.37、下列命题正确的是（）A.经过三点确定一个平面B.经过一条直线和一个点确定一个平面C.四边形确定一个平面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面8、从标有数字3，4，5，6，7的五张卡片中任取2张不同的卡片，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，则P（B|A）=（）A.B.C.D.9、过抛物线y2=4x

的焦点作一条直线与抛物线相交于AB

两点，它们的横坐标之和等于5

则这样的直线(

)

A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、三个平面最多可以将空间分为____部分．11、已知a＞0，b＞0，a+b=1，则的取值范是____．12、设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点使且则椭圆的离心率为．13、观察下表据此你可猜想出的第n行是_____________14、【题文】若向量夹角为60°，____15、已知=（2，1，3），=（-4，2，x）且⊥则|-|=______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共18分)23、某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是出现绿灯的概率都是．记这4盏灯中出现红灯的数量为当这排装饰灯闪烁一次时：（1）求时的概率；（2）求的数学期望．24、【题文】(本题满分10分)已知函数．

（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）若角是第四象限角，且求25、已知a

为实数，命题p

点M(1,1)

在圆(x+a)2+(y鈭�a)2=4

的内部；命题q?x隆脢R

都有x2+ax+1鈮�0.

若“p隆脛q

”为假命题，且“p隆脜q

”为真命题，求a

的取值范围．评卷人得分五、计算题(共1题，共9分)26、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。评卷人得分六、综合题(共1题，共3分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】试题分析：由题意1是的根，所以所以所以因此原不等式解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）．考点：不等式的解法．【解析】【答案】A2、D【分析】

当α=-1时，f（x）=x-1；

任意的x∈（-1；0）∪（0，1）；

不等式f（x）＞x不成立；

∴α≠-1；

当α=0时，f（x）=x=1；

任意的x∈（-1；0）∪（0，1）；

不等式f（x）＞x不成立；

∴α≠0；

当α=时，f（x）=x

任意的x∈（-1；0）∪（0，1）；

不等式f（x）＞x不成立；

∴α≠

当α=1时；f（x）=x；

任意的x∈（-1；0）∪（0，1）；

不等式f（x）＞x不成立；

∴α≠1；

当α=2时，f（x）=x2；

任意的x∈（-1；0）∪（0，1）；

不等式f（x）＞x不成立；

∴α≠2；

当α=3时，f（x）=x3；

任意的x∈（-1；0）∪（0，1）；

不等式f（x）＞x恒成立；

∴α=3．

综上所述；α可以取的值只有3．

故选D．

【解析】【答案】由题设条件，分别把中的六个元素逐个代入f（x）=xα；逐个进行验正，能够得到α可以取的值的个数．

3、D【分析】【解析】

试题分析：分别设两个互相独立的信号为X,Y，则所有事件集可表示为0≤x≤T,0≤y≤T.由题目得，如果收音机受到干扰的事件发生，必有|x-y|≤t.这时x，y满足约束条件的可行域为如图阴影部分。

而所有事件的集合即为正方型面积，阴影区域面积为－2×（T-t）=－（T-t）

所以阴影区域面积和正方形面积比值即为干扰发生的概率，即故选D.

考点：几何概型【解析】【答案】D4、D【分析】【解答】解：因为三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′；所以△ABO的底OB=O′B′=2．

腰A′O′=2在△ABO中为直角三角形，且高OA=2A′O′=2×2=4．

所以直角三角形△ABO的面积是．

故选D．

【分析】根据斜二测画法的原则确定三角形△ABO的底和高即可．5、D【分析】【解答】解：∵椭圆=1与双曲线=1有相同的焦点；∴它们的焦点在x轴上；

且6﹣a2=a+4（a＞0）；

解得a=1；

故选D．

【分析】由题意可知焦点在x轴上，且a＞0，c相等．6、D【分析】解：函数f（x）=

对于①；定义域为R，x为有理数，-x为有理数；

f（-x）=1=f（x）；

x为无理数；-x为无理数；

f（-x）=0=f（x）；

则f（-x）=f（x）；x∈R；

则f（x）为偶函数；

对于②；存在非零有理数T；

当x为有理数时；x+T为有理数；

f（x+T）=1=f（x）；

当x为无理数时；x+T为无理数；

f（x+T）=0=f（x）；

则f（x）为周期函数；

对于③，设三个点（x1，0）（x2，1）（x3；0）；

且x1+x3=2x2，x3-x2=比如x1=1-x2=1，x3=1+．

易满足三点构成三角形是等边三角形；故③正确．

故正确的个数为3．

故选：D．

①由偶函数的定义进行判断．

②由周期函数的定义证明。

③由解析式做出大致图象：根据图象进行判断即可．

本题主要考查了特殊函数的性质的理解和运用，考查函数的奇偶性和周期性，属于中档题．【解析】【答案】D7、D【分析】解：A；根据公理2知；必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；

B；根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知；故B不对；

C；比如空间四边形则不是平面图形；故C不对；

D；两两相交且不共点的三条直线；则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故D正确．

故选D．

根据公理2以及推论判断A；B、D；再根据空间四边形判断C．

本题主要考查了确定平面的依据，注意利用公理2的以及推论的作用和条件，可以利用符合题意的几何体来判断，考查了空间想象能力．【解析】【答案】D8、C【分析】解：从5张卡片中随机抽取2张共有C52=10种方法，事件A=“取到2张卡片上数字之和为偶数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数或两个偶数，共有C22+C32=4种结果，则P（A）=

事件B=“取到的2张卡片上数字都为奇数”，表示取出的2张卡片上的数字必须两个奇数共有=3种结果，则P（B）=

所以P（B|A）=

故选：C

先求出P（A）；P（B），根据条件概率公式计算得到结果．

本小题主要考查等可能事件概率求解问题，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．【解析】【答案】C9、B【分析】解：过抛物线y2=4x

的焦点作一条直线与抛物线相交于AB

两点；

若直线AB

的斜率不存在；则横坐标之和等于2

不适合．

故设直线AB

的斜率为k

则直线AB

为y=k(x鈭�1)

代入抛物线y2=4x

得；k2x2鈭�2(k2+2)x+k2=0

隆脽AB

两点的横坐标之和等于5

隆脿2(k2+2)k2=5k2=43

则这样的直线有且仅有两条；

故选B．

过抛物线y2=4x

的焦点作一条直线与抛物线相交于AB

两点；先看直线AB

斜率不存在时，求得横坐标之和等于2

不符合题意；进而设直线AB

为y=k(x鈭�1)

与抛物线方程联立消去y

进而根据韦达定理表示出AB

两点的横坐标之和，进而求得k.

得出结论．

本题主要考查了抛物线的应用.

解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏．【解析】B

二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】

当三个平面中首先有两个平面相交；把空间分成4部分；

再用第三个平面同时截两个相交平面；把原来的四个空间分成8个；

故答案为：8

【解析】【答案】三个平面分空间有三种不同的情况；分成的部分最多的是当三个平面中首先有两个平面相交，把空间分成4部分，再用第三个平面同时截两个相交平面，把原来的四个空间分成8个．

11、略

【分析】

∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴==2+=4，当且仅当时取等号．

∴的取值范围是[4；+∞）．

故答案为[4；+∞）．

【解析】【答案】利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

12、略

【分析】试题分析：根据椭圆的定义勾股定理得化简得即所以离心率．考点：①椭圆的定义和性质；②勾股定理．【解析】【答案】13、略

【分析】由题意得第n行左边是以为首项，2为公差的前项和，右边是所以第n行是【解析】【答案】[n(n－1)＋1]＋[n(n－1)＋3]＋＋[n(n－1)＋(2n－1)]＝14、略

【分析】【解析】

【解析】【答案】15、略

【分析】

由垂直可得数量积为0，进而可得x值，可得向量的坐标；由模长公式可得．

本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的垂直和模长的求解，属基础题．【解析】解：∵且

∴=2×（-4）+1×2+3x=0；解得x=2；

故=（2；1，3）-（-4，2，2）=（6，-1，1）；

∴==

故答案为：三、作图题(共9题，共18分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共18分)23、略

【分析】【解析】试题分析：（1）3分即时的概率为4分（2）法一：依题意，12法二：的可能取值为0，1，2，3，410分12分考点：古典概型和二项分布【解析】【答案】（1）（2）24、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：（Ⅰ）（4分）由得

所以f(x)的定义城为．4分。

[另解：由得

∴

所以f(x)的定义城为］

（Ⅱ）（6分）

＝1分。

∴．2分。

因为是第四象限角，所以．2分。

所以．1分。

____25、略

【分析】

求出命题pq

为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．

本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．【解析】解：由题意得，当p

真时，(1+a)2+(1鈭�a)2<4

解得鈭�1<a<1

当q

真时，则鈻�鈮�0

解得鈭�2鈮�a鈮�2

．

若“p隆脛q

”为假命题；且“p隆脜q

”为真命题；

则pq

一真一假，从而。

当p

真q

假时，有{a>2禄貌a<鈭�2鈭�1<a<1

无解；

当p

假q

真时，有{鈭�2鈮�a鈮�2a鈮�1禄貌a鈮�鈭�1

解得鈭�2鈮�a鈮�鈭�1

或1鈮�a鈮�2

．

隆脿

实数a

的取值范围是[鈭�2,鈭�1]隆脠[1,2].(10

分)

五、计算题(共1题，共9分)26、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。六、综合题(共1题，共3分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上A