高考数学二轮复习专题 高考客观题常考知识第4讲算法推理及创新性问题理

第4讲算法、推理及创新性问题以命题的推广给出的归纳、类比创新问题【教师备用】(2015福建省泉州五校高三联考)双曲线x2a2(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(1,3].若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k>0且k≠1”,试经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是.解析:若|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(1,3],区间前端点为1,后端点为3=31=2+12-1.若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k>0且k≠1”,经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是答案:(1,k+11.当x∈R,|x|<1时,有如下表达式:1+x+x2+…+xn+…=11两边同时积分得:0121dx+012xdx+012x2dx+…从而得到如下等式:1×12+12×(12)2+13×(12)3+…+1n+1×请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:Cn0×12+12Cn1×（12）2+13Cn2×(12解析:设f(x)=Cn0x+12Cn1x2+13Cn所以f′(x)=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+所以f(12)=012=1n+1·(1+x)=1n+1(1+12)n+1-=1n+1[(32)n+1即Cn0×12+12Cn1×(12)2+13Cn2×(12)3+…+1n答案:1n+1[(32)以新定义给出的创新问题2.(2015安徽省“江淮十校协作体”第一次联考)设函数f(x)的定义域为D,若∀x∈D,∃y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“美丽函数”.下列所给出的五个函数:①y=x2;②y=1x-1;③⑤y=2sinx-1.其中是“美丽函数”的序号有.

解析:由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数,容易判断仅有②③④符合题意.答案:②③④3.(2014安徽卷)若直线l与曲线C满足下列两个条件:(ⅰ)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是.(写出所有正确命题的编号)

①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tanx⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=lnx解析:①y=x3,y′=3x2,因此曲线C在点P(0,0)处的切线为y=0,结合函数y=x3的图象知,满足(ⅱ),故①正确.②直线x=-1为曲线C:y=(x+1)2的对称轴,不是切线,故②不正确.③y=sinx,y′=(sinx)′=cosx,因此,直线l:y=x在点P(0,0)处与曲线C相切,结合图象知满足(ⅱ),故③正确.④y=tanx,y′=(tanx)′=(sinxcosx)′=1cos2x,y′⑤y=lnx,y′=(lnx)′=1x,故曲线C:y=lnx在P(1,0)处的切线为y=x-1,但曲线y=lnx在直线y=x-1的同侧,故⑤综上知命题正确的是①③④.答案:①③④【教师备用】(2014湖北卷)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0.对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=a+b2(1)当f(x)=(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;

(2)当f(x)=(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数2aba(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析:过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线的方程为y-f(a)=f(a)(1)令几何平均数ab=af(b)+bf(a(2)令调和平均数2aba+b=af(答案:(1)x(2)x(或(1)k1x(2)k2x其中k1,k2为正常数均可)程序框图4.(2015广州市一模)一算法的程序框图如图,若输出的y=12(A)-1 (B)0 (C)1 (D)5解析:该算法的程序框图是一条件结构,功能是已知分段函数y=sinπ6x,x≤2,2【教师备用】(2015天津卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为(B)(A)-10 (B)6 (C)14 (D)18解析:执行程序:S=20,i=1,i=2,S=20-2=18;i=4,S=18-4=14;i=8,S=14-8=6,满足i>5的条件,结束循环,输出S的值为6,故选B.5.(2015山西省高三名校联盟考试)利用如图所示的程序框图在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印的点落在函数f(x)=x2-x+2的图象上的点的个数为(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:运行该程序,第一次打印点为(-3,6),不在抛物线y=x2-x+2上,x=-2,y=5,i=5,第二次打印点为(-2,5),不在抛物线y=x2-x+2上;x=-1,y=4,i=4,第三次打印点为(-1,4),在抛物线y=x2-x+2上;x=0,y=3,i=3,第四次打印点为(0,3),不在抛物线y=x2-x+2上;x=1,y=2,i=2,第五次打印点为(1,2),在抛物线y2=x2-x+2上;x=2,y=1,i=1,第六次打印点为(2,1),不在抛物线y=x2-x+2上;x=3,y=0,i=0,程序停止运行,故打印的点落在抛物线y=x2-x+2上的点的个数为2.故选B.6.(2014重庆卷)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是(C)(A)s>12 (B)s>(C)s>710 (D)s>解析:执行程序框图依次得s=910s=910×89=s=45×78=此时不满足条件,结合选项知条件应为s>710一、选择题1.(2015湖南衡阳市五校联考)对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“⊗”为:(a,b)⊗(c,d)=(ac-bd,bc+ad),运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b+d),设p,q∈R,若(1,2)⊗(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)等于(A)(A)(2,0) (B)(4,0) (C)(0,2) (D)(0,-4)解析:由(1,2)⊗(p,q)=(5,0)得p-2所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0),故选A.【教师备用】(2015湖南卷)执行如图所示的程序框图.如果输入n=3,则输出的S等于(B)(A)67 (B)37 (C)8解析:第一次循环,S=11×3,此时i=2,不满足条件,继续第二次循环,S=11×3+13×5,此时i=3,不满足条件,继续第三次循环,S=11×3+13×5+15×7=12[(1-2.(2014福建卷)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L距离”定义为||P1P2=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L距离”之和等于定值(大于||F1F2)的点的轨迹可以是(A)解析:设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),c>0,则||F1F2|=2c,依题意,得||PF1|+||PF2||y-0|=2d,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2d.①当-c≤x≤c时,x+c+c-x+2|y|=2d,即y=±(d-c);②当x<-c时,-(x+c)+c-x+2|y|=2d,即x±y+d=0;③当x>c时,(x+c)+x-c+2|y|=2d,即x±y-d=0.画出以上三种情形的图象,即可知选项A正确.故选A.3.(2015福建卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为(C)(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1解析:执行程序:i=1,S=0;S=cosπ2=0,i=2;S=0+cosπS=-1+cos3π2=-1,i=4;S=-1+cos4π【教师备用】(2014广东卷)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”(A)60 (B)90 (C)120 (D)130解析:由题意可知符合条件的元素中至少含有两个0.按照0的个数分类计算.当含有两个0时,先把0在五个位置中排好,有C52(1+C31+C31+1)=80个元素.当含有3个0,先排0的位置,有C53种排法,再对于剩下的两个数按照两个-1;一个1,一个-1;两个1来分类,共有C5【教师备用】(2015资阳市一诊)若执行如图所示的程序框图,输出S的值为3,则判断框中应填入的条件是(C)(A)k<6? (B)k<7?(C)k<8? (D)k<9?解析:由程序框图可知,第一次循环,S=log23,k=3;第二次循环,S=log23·log34=log24,k=4;第三次循环,S=log24·log45=log25,k=5;……;第六次循环,S=log28=3,k=8,结束循环,输出S=3.故选C.4.(2015广东茂名市一模)设函数y=f(x)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数fp(x)=f(x),f(x)≤p(A)fp[f(0)]=f[fp(0)] (B)fp[f(1)]=f[fp(1)](C)fp[f(2)]=fp[fp(2)] (D)f[f(-2)]=fp[fp(-2)]解析:由f(x)≤1,即x2-2x-2≤1,解得-1≤x≤3,当p=1时,f1(x)=xf1(2)=22-2×2-2=-2,f1(-2)=1,f(2)=22-2×2-2=-2,则f1[f(2)]=f1(-2)=1,f1[f1(2)]=f1(-2)=1,故选C.5.(2015宝鸡二模)已知函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过实数x的最大整数,如[-1.01]=-2,[1.99]=1,若-32≤x<3(A){0,1,2} (B){0,1,2,3}(C){-2,-1,0} (D){-1,0,1,2}解析:-32≤x<-1时,[x]=-2,2<x[x]≤所以f(x)可取2,3;-1≤x<0时,[x]=-1,0<x[x]≤1,所以f(x)可取0,1;0≤x<1时,[x]=0,x[x]=0,所以f(x)=0;1≤x<32时,[x]=1,1≤x[x]<3所以f(x)=1.所以f(x)的值域为{0,1,2,3}.故选B.6.(2015漳州二模)对于定义域为D的函数y=f(x)和常数C,若对任意正实数ξ,存在x∈D,使得0<|f(x)-C|<ξ恒成立,则称函数y=f(x)为“敛C函数”.现给出如下函数:①f(x)=x(x∈Z);②f(x)=(12)x+1(x∈Z);③f(x)=log2x;④f(x)=x其中为“敛1函数”的有(C)(A)①② (B)③④ (C)②③④ (D)①②③解析:对于函数①,取ξ=12,因为x∈Z,找不到x,使得0<|x-1|<12成立,所以函数①不是“敛1函数对于函数②,当x→+∞时,(12)x→0,所以(12)x+1→1,所以对任意的正数ξ,总能找到一个足够大的正整数x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函数②是“敛1函数对于函数③,当x→2时,log2x→log22=1,所以对于无论多大或多小的正数ξ,总会找到一个x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函数③是“敛1函数”;对于函数④,函数式可化为y=1-1x,所以当x→+∞时,1x→0,即1-1x→1,所以对于无论多小的正数ξ,总会找到一个足够大的正数x,使得0<|f(x)-1|<ξ成立,故函数④是“故选C.二、填空题7.(2014福建卷)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.

解析:因为①正确时,②也正确,所以只有①正确是不可能的;若只有②正确,①③④都不正确,则符合条件的有序数组为(2,3,1,4),(3,2,1,4);若只有③正确,①②④都不正确,则符合条件的有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,①②③都不正确,则符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上,符合条件的有序数组的个数是6.答案:6【教师备用】(2015安徽皖北协作区一模)已知集合A={(x,y)||x|+2|y|≤4},集合B={(x,y)|(x-m)2+y2≤45},若B⊆A,则实数m的取值范围是.解析:由题意,集合A中元素构成一个菱形及其内部,集合B中元素构成一个圆及圆的内部,如图,因为B⊆A,所以圆在菱形内部,故只需圆心到菱形边所在的直线的距离大于或等于半径即可,即|m+4|12+(-由对称性可知m≤2,所以实数m∈[-2,2].答案:[-2,2]【教师备用】(2015河南三市第二次调研)集合A={(x,y)|x-y+4≥0},B={(x,y)|y≥x(x-2)},则集合A∩B的所有元素组成的图形的面积为.

解析:如图,集合A∩B的所有元素组成的图形的面积为-1-14(-x2+3x+4)dx=（-13x3+32x2+4x答案:1258.观察下列等式:12=1,12-22=-3,12-22+32=6,12-22+32-42=-10,…照此规律,第n个等式可为.

解析:观察规律可知,第n个式子为12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1n(答案:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2=(-1)n+1n【教师备用】(2015福建卷)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:x4⊕x5⊕x6⊕x7=0现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.

解析:因为x4⊕x5⊕x6⊕x7=1⊕1⊕0⊕1=0⊕0⊕1=0⊕1=1≠0,所以二元码1101101的前3位码元都是对的;因为x2⊕x3⊕x6⊕x7=1⊕0⊕0⊕1=1⊕0⊕1=1⊕1=0,所以二元码1101101的第6,7位码元也是对的;因为x1⊕x3⊕x5⊕x7=1⊕0⊕1⊕1=1⊕1⊕1=0⊕1=1≠0,所以二元码1101101的第5位码元是错的,所以k=5.答案:5【教师备用】(2015济宁市二模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义f″(x)是y=f(x)的导函数y=f′(x)的导函数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.可以证明,任何三次函数都有“拐点”,任何三